2023-2024学年江苏省苏州市苏州实验中学高二上学期12月质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市苏州实验中学高二上学期12月质量检测数学试题含答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的几何性质，将已知抛物线化为标准式，利用抛物线的焦点到准线的距离，即可列式求解得出答案.
【详解】抛物线化为标准式，
则，即，
抛物线的焦点到准线的距离为，
，即，解得.
故选：C.
2．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．32D．或32
【答案】C
【分析】利用等比数列定义可得，再由可求得，即可得.
【详解】设等比数列的公比为，
由题意知，则由得，则，所以，即；
因为，所以，
所以，
故选：C.
3．已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解
【详解】因为，所以.又，
所以，即，所以，则.
所以.又，所以.
故选：C.
4．M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合图形即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为.
如图，由弦长公式知，，解得，
所以，点N在以为圆心，1为半径的圆上，
由图可知，的最小值为.
故选：B
5．已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
因为直线与C无公共点，所以，即，
所以，又，所以C的离心率的取值范围为.
故选：D.

6．已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】由与的关系式可得，由等差数列定义可得，即可得，由裂项相消求和可得，计算可得.
【详解】由，可得，
即，可得，即，
令可得，，解得或，
又因为数列是正项数列，所以；
可知数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，可得，
当时，符合，所以，
，
当时，符合，
可得，
，
因此
.
故选：C
7．已知、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理可得，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设则，,
所以，
由余弦定理可得，
故，进而可得，
令，则，，
令，所以，对称轴为，
所以在单调递减，在单调递增，
故当和时，，
故的最大值为，
所以，故的最大值为，
故选：A

8．已知椭圆的左、右焦点分别为.点在上且横纵坐标均为非负数，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率.
【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上.如图，
设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线，
切点也在的角平分线上，所以，
由椭圆的定义知，则，
所以，
所以，
所以，
.
又圆与圆的面积之比为9，
所以圆与圆的半径之比为3，
因为，所以，
即，整理得，故椭圆的离心率.
故选：A.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
二、多选题
9．在下列四个命题中，正确命题的是（ ）
A．若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
B．向量，若与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为；
C．直线的一个方向向量为；
D．若存在不全为0的实数x，y，z使得，则共面
【答案】CD
【分析】由向量可以平移的性质来判断A选项，由向量数量积和向量共线的定义来判断B选项，由直线方向向量的概念判断C选项，由向量共面定理判断D选项即可.
【详解】对于A，向量所在的直线为异面直线，因为向量是可自由平移的，
则向量可以平移到同一平面，此时共面，故A错；
对于B，向量，若与的夹角为钝角，
则，且与不共线，
即：，解得：且，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故直线的一个方向向量为，C正确；
对于D，存在不全为0的实数x，y，z，
当时，
，
由向量共面定理知一定共面,
同理，当或时，也一定共面,故D正确.
故选：CD
10．数列的前n项和为，，且当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列B．既有最大值也有最小值.
C．D．若，则.
【答案】ABD
【分析】选项A，由条件得到，再由等差数列的定义，即可判断选项A的正误；选项B和C，由选项A得到，再根据通项，即可判断出选项B和C的正误；选项D，通过放缩，即可判断选项D的正误.
【详解】因为，且当时，.两边同时取倒数可得：，
即，且，所以数列是等差数列，其公差为2，首项为2，所以选项A正确；
对于选项B和C，由选项A知，，可得，
当时，，
所以，故当时，，易知时，，
又，
所以是先递减再递增的数列，当 时，，所以最大，最小.
所以选项B正确，选项C错误；
对于选项D，当时，，
又时，，对于上式也成立，所以，
所以，当时，，
，所以选项D正确，
故选：ABD.
11．已知点F是抛物线的焦点，是经过F且相互垂直的弦，已知AB斜率为k，且，两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
B．若则
C．
D．四边形ACBD的面积的最小值为
【答案】AC
【分析】本题主要考查了向量的数量积、直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质以及利用基本不等式求最值等知识点，属于较难题，由题意可得到直线AB与CD的方程，与抛物线联立，逐项计算验证即可得到答案.
【详解】解：设，，
，AB的斜率为k，的斜率为，
点F是抛物线的焦点，，
直线AB的方程为，
直线CD的方程为，
联立，整理得，
，，
同理可得，

，
所以
故C选项正确；
，，
，
故A选项正确；


，
由此可得，
，




，
当且仅当，即时取等号，
四边形ACBD面积最小值为，故D选项错误；
由抛物线性质可知，，，




，
，解得，
故B错误
故选：AC.
12．已知正方体的棱长为1，为线段的中点，点和点分别满足，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．与平面所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．点到直线的距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A选项，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理即可判断；
对于B选项，由题与平面所成角即为,计算即可判断；
对于C选项，利用展开图即可判断；
对于D选项，利用，，三点共线. ，，即此时到直线的距离最小即可判断.
【详解】对于A选项，则，
由题可知，平面，且平面，则，
又，平面，
平面，平面，则，
同理可得，，平面，
直线平面，
平面即为平面，,平面,则选项A正确；
对于选项B：如图，连接交于点，连接，知平面，
所以即为与面所成角，所以，
由在上知，所以，
因为，所以的范围是，
即直线与平面所成角的范围是，故B错误；
对于C项，把问题转化为在平面内求点使得最小，如图，作点关于线段的对称点，过点作，的垂线，垂足分别为和，
则，设，则，
故，故.
对于D项，当时，平面且，，三点共线.此时，，
即此时到直线的距离最小，最小值为.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知，则在上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【分析】利用投影向量的定义，结合空间向量数量积的坐标运算，可得在上的投影向量的坐标.
【详解】已知空间向量和，
则在上的投影向量为
.
故答案为：.
14．设数列满足，，则 ．
【答案】1036
【分析】利用累加法和错位相减法求数列的通项公式．
【详解】且,
当时，则有：
① -得
，
当时也符合上式，所以,
故答案为：1036．
15．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设的中点为，先求得点的轨迹，然后根据点的横坐标的取值范围来求得的取值范围.
【详解】设，，两式相加得，
，
，则
，即，
所以，
设是的中点，则，
所以，
，
，
所以是以为圆心，半径为的圆，
所以，，
，
所以.
故答案为：
16．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，E上存在点P，使得，且的内切圆与y轴相切，则E的离心率为 .
【答案】/
【分析】根据向量的运算得到，然后利用双曲线的性质和三角形内切圆的几何关系得到有关的方程求解即可.
【详解】不妨设点在第一象限，
因为，所以，
所以，，
又，联立可得：，
所以，即，
设的内切圆半径为，过圆心往三边作垂线，垂足分别为，如图所示，

因为的内切圆与y轴相切，故，
，，
所以，
即，即，
两边平方得，
即，则，
两边同时除以，得，解得，
因为，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果.
四、解答题
17．设等比数列的首项为2，公比为，前项的和为，等差数列满足.
(1)求；
(2)若，，求数列前项的和.
【答案】(1)或1
(2)
【分析】（1）由题意，根据等比数列的通项公式表示出，结合等差中项的应用建立方程，解之即可求解；
（2）由（1）得，求出，进而求出，则，结合分组求和法即可求解.
【详解】（1）∵为等差数列，
∴，而，
，
，
∴，解得或1.
（2）由（1），∵，∴，
∴，，
∴，
当为奇数时，，，，
当为偶数时，，，，
∴，
∴
.
18．在长方体中，，E是DC的中点.以D为原点，DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求点到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定各点坐标，计算平面的法向量为，在根据向量的距离公式计算得到答案.
（2）设直线与平面所成角为，计算，再根据计算得到答案.
【详解】（1），，所以.
设平面的法向量为，则，所以，所以.
令，则，所以是平面的一个法向量.
因为，所以到平面的距离为.
（2）设直线与平面所成角为，，，
则.
即直线与平面所成角的余弦值是.
19．已知圆C：．
(1)过的动直线l与圆C：交于A、B两点．若，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点Q向该圆引一条切线，切点为M，若（O为坐标原点），求动点Q的轨迹方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）画出图形，由题意设直线方程为，将圆的一般方程化为标准方程，结合垂径分线定理可列出方程，求出，从而即可得解.
（2）画出图形，由切线长公式结合题述等式可得，设，由两点间的距离公式代入并化简即可，注意检验动点Q是否在圆C外.
【详解】（1）如图所示：
圆C：的方程即为，其圆心，半径，
不妨设过的动直线l的方程为，不同时为0，
所以，即直线l的方程为，
所以圆心到直线l的距离为，
过作，
所以由垂径分线定理可知，解得，
又因为不同时为0，所以，
当时，满足题意的直线l的方程为，
当时，满足题意的直线l的方程为，
综上所述：满足题意的直线l的方程为或.
（2）如图所示：
由题意结合图形可知，且，，
所以，不妨设，
又因为，
所以，化简得，
又因为点Q在圆C外，
所以满足题意，
综上所述，满足题意的动点Q的轨迹方程为.
20．椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆几何性质求解即可；
（2）设，直线：，并联立直线和椭圆方程求出，，再将面积表达出即可利用求函数最值的方法求出直线.
【详解】（1）令，
由题意得：，解得，则
∴椭圆的方程为：.
（2）
由题意可知，直线斜率必存在，故设，直线：，
联立，得，。
，，
，
令，则，
又∵在单调递增，
∴当即即时，面积最大，
此时直线：.
21．已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出，坐标，结合，可求得的值，得解.
（2）设出点坐标，由点斜式方程求出直线的方程，令，求出点坐标，同理求出点坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在轴上，设该点坐标为，利用，可求出定点坐标.
【详解】（1）由题意，可设直线的方程为，
将代入，消去得，
设，，则，，
是线段的中点，
，，
即， 又轴，
垂足的坐标为，
则，，
，
对任意的恒成立，
，又，解得，
故抛物线的方程为.
（2）
设，，，由（1）可知，
，，
则，直线的方程为，
令，则，
，同理，
由抛物线的对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则定点必在轴上，
设该点坐标为，
则，，且，
，
，
或，
以为直径的圆过定点和.
22．已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上.过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由.
(3)点，直线交直线于点.设直线、的斜率分别、，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程；
（2）设，，，联立方程，利用韦达定理可得，结合圆的性质分析判断；
（3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值.
【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，，所以双曲线的方程为.
（2）双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去；
当直线的斜率不为0时，设，
联立方程组，消得，易得，
由于过点作直线交的左支于两点，
设，，则，，
可得，
因为，，
则
，
即，可得与不相互垂直，
所以不存在直线，使得点M在以为直径的圆上.
（3）由直线，得，
所以，又，
所以
，
因为，所以，且，
所以，即为定值.

【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．