2023-2024学年上海市宝山区上海大学附中高二上学期12月诊断测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市宝山区上海大学附中高二上学期12月诊断测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．二面角的取值范围是 （用区间表示）
【答案】
【分析】根据二面角的定义，即可求解.
【详解】二面角的取值范围是.
故答案为：
2．抛物线的焦点坐标是 ．
【答案】
【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.
3．双曲线的两条渐近线夹角为 ．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的斜率，由夹角公式即可求出渐近线的夹角．
【详解】因为双曲线，所以渐近线方程为或，
设两条渐近线的夹角为锐角，
则，所以夹角为．
故答案为
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法以及夹角公式，属于基础题．
4．甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.7、0.6.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 .
【答案】/
【分析】利用相互独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式，结合对立事件概率公式即可求解.
【详解】记甲乙两人中靶分别为事件，则有，，所求的事件可表示为，
所以.
故答案为：
5．已知圆和圆内切，则 .
【答案】7
【分析】根据圆与圆的内切性质即可求解.
【详解】由题意可知圆心，半径为2，圆心，半径为r.
则，即点在圆外.
又因为两圆内切，所以，则.
故答案为：7.
6．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 .
【答案】或
【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可.
【详解】若该直线过原点，显然符合题意，易得；
若该直线不过原点，显然时，直线为不符合题意，即且，
可令，，则有，
综上，或.
故答案为：或
7．已知直线和曲线有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先确定曲线的图象，再求出两个极端的位置，进而即可求解．
【详解】由，则，是圆的上半部分，
当直线与圆的上半部分的相切时，
圆心到直线的距离为直线，即，解得；
当直线过圆的上半部分的右顶点时，即，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
8．已知、是椭圆的左、右两个焦点，是椭圆上的动点，则的最小值为 .
【答案】/0.4
【分析】借助椭圆定义及基本不等式即可得.
【详解】由，得，
在椭圆上，则有，
则，
又，
当且仅当时，等号成立；
故.
故答案为：.
9．在中，，，，则顶点的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】由正弦定理化角为边后确定点的轨迹，由双曲线的标准方程求解．
【详解】∵，，∴，
∵，∴由正弦定理得，即，，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)．
该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为，
所以轨迹方程为．
故答案为：．
10．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则四面体的体积的最大值是 .
【答案】/
【分析】转换顶点，将问题转化为点到BC的距离问题.
【详解】记点到BC的距离为h，
由正方体性质可知，平面，
所以，
又，
所以，点P在底面内，且在以A为圆心，1为半径的四分之一圆内（包括圆上），
如图，易知h的最大值为2，所以四面体的体积的最大值为.
故答案为：.
11．设为圆上的两动点，且，为直线上一动点，则的最小值为 .
【答案】5
【分析】取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得.
【详解】设是中点，因为，所以，
即在以原点为圆心，为半径的圆上，
所以，所以，
又，所以，所以.
故答案为：5
12．已知曲线的方程为，下列说法中正确的序号是 .
①无论取何值，曲线都关于原点中心对称；
②无论取何值，曲线关于直线和对称；
③存在唯一的实数使得曲线表示两条直线；
④当时，曲线上任意两点间距离的最大值为.
【答案】①②④
【分析】①将曲线上任意一点关于原点的对称点坐标代入，看是否满足方程即可；②将曲线上任意一点关于直线的对称点坐标代入，看是否满足方程即可；③由联想完全平方与平方差公式，可得情况，将二次式变形为两个一次因式的乘积为的形式，验证可知；④当时，结合曲线对称性分类研究曲线上任意一点到原点的距离范围，再转化为两点间距离的最大值即可.
【详解】①设曲线上任意一点，则成立.
由，
得点关于原点的对称点也在曲线上.
故无论取何值，曲线都关于原点中心对称，①正确；
②设曲线上任意一点，则成立.
由，
得点关于的对称点也在曲线上.
又，
即点关于的对称点也在曲线上.
故无论取何值，曲线关于直线和对称，②正确；
③当时，曲线方程为，
方程可变形为，
即曲线表示两条直线，或；
当时，曲线方程为，
方程可变形为，
即曲线表示两条直线，或，
故使得曲线表示两条直线的实数不唯一，故③不正确；
④当时，，
设曲线上任意一点，
当时，则，
即，
当时，则，
即，即，
由①所得曲线关于原点对称性可知，
当时，；
当时，.
综上，对于曲线上任意一点，都有，
即曲线上任意两点间距离小于或等于圆的直径，
又存在两点两点都在曲线上，且，
故曲线上任意两点间距离最大值为，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】结论点睛：从方程数的形式研究曲线的对称性，关键在于设出曲线上任意一点，求解其对称点，将坐标代入验证方程是否仍然成立.常用两点的对称关系有：
（1）和关于轴对称；
（2）和关于轴对称；
（3）和关于原点对称；
（4）和关于直线对称；
（5）和关于直线对称.
二、单选题
13．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分条件
C．充要D．既非充分也非必要
【答案】B
【分析】计算出方程表示焦点在轴上的双曲线时的的范围进行判定即可.
【详解】表示焦点在轴上的双曲线时，
有，解得，
因为“”是“”的必要非充分条件，
故“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要非充分条件.
故选：B.
14．已知直线，,则下列说法中错误的是（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，与重合D．当时，、之间的距离为
【答案】C
【分析】对A：将点代入即可得；对B、C、D，将对应的代入即可得.
【详解】对A：将点代入，有，故正确；
对B：当时，，
即，，
，
即，，
有，即，故正确；
对C：当时，，
即，即，
，即，与平行，故错误；
对D：当时，，
，即，
，故正确.
故选：C.
15．都不是不可能事件，也都不是必然事件，如果A，B是互斥事件，那么（ ），并说明理由．
A．事件与必不互斥B．是必然事件
C．A与可能互斥D．是必然事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、必然事件的定义判断．
【详解】A，B是互斥事件，当对立时，事件与也对立，一定互斥，A错；
A，B是互斥事件，则是不可能事件，因此是必然事件，B正确；
A，B是互斥事件，则，A与不可能互斥，C错；
A，B是互斥事件，不一定是必然事件，如从中任取一个数，
事件是“取的数是1”，事件是“取的数是2”，互斥，但也可能不发生，不是必然事件，D错．
故选：B．
16．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现将椭圆绕轴旋转一周后得到如图所示的椭球，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造一个底面半径为，高为的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.
【详解】椭圆的焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为，
构造一个底面半径为，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，
圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，
当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为，
则，即，故新几何体的截面面积为，
把代入，即，解得，
故半椭球的截面面积为，
由祖暅原理，可得椭球的体积为：
圆柱圆锥．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：理解祖暅原理是解决本题的关键.
三、解答题
17．在直三棱柱中，，，，、分别为棱、的中点．
(1)求异面直线与所成角的正切值；
(2)求三棱锥的全面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）找出与共面且平行于的直线，借助余弦定理即可得；
（2）分别计算每个面的面积，相加即可得.
【详解】（1）
连接，因为、分别为棱、的中点，
故为的中位线，故，
故异面直线与所成角的大小即为,
因为，，，
故，，
则，
，
则，
即，
即异面直线与所成角的正切值为；
（2）连接、、，
因为、，，
、平面，
所以平面，又平面,
故，又，
故，
又，，
则，
，
，
，
故三棱锥的全面积.
18．（1）求顶点在原点，焦点在轴上，且过点的抛物线方程；
（2）求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程.
【答案】（1）；（2）或或
【分析】（1）设出抛物线的方程，代入已知点的坐标，从而求得抛物线的方程.
（2）根据直线的斜率进行分类讨论，通过联立方程组以及判别式求得直线方程.
【详解】（1）依题意可知，抛物线的开口向下，设抛物线的方程为，
将代入得，所以抛物线方程为.
（2）当所求直线斜率不存在时，直线方程为，
此时直线和抛物线只有一个公共点.
当所求直线的斜率为时，直线方程为，
此时直线和抛物线只有一个公共点.
当所求直线斜率存在且不为零时，设直线方程为，
由消去并化简得，
由，
此时直线与抛物线相切，只有一个公共点.
综上所述，直线方程为或或.
19．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的实轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设双曲线的方程为，由双曲线的实轴长为，得到，即可求解；
（2）联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，得到的中点坐标为，代入圆的方程，即可求解.
【详解】（1）解：因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可设双曲线的方程为，即，
又因为双曲线的实轴长为，即，即，可得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）解：联立方程组，整理得，
设，则，且，
所以，
可得，即的中点坐标为，
因为段的中点在圆上，可得，解得，
所以实数的值为.
20．为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分.先按照考生原始分从高到低按比例划定A+、A、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、E共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A+和E级排名各占比5%，其余各级排名各占比10%.现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
(1)求图中的值；
(2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
(3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差（结果精确到0.1）．
【答案】(1)0.03
(2)
(3)，
【分析】（1）借助频率之和为1即可得；
（2）根据分层抽样，计算出每个区间中的人数，结合概率公式即可得；
（3）借助平均数、方差与标准差的定义计算即可.
【详解】（1），解得；
（2）由原始分在和中的频率之比为，
故抽取的6人中，原始分在中的有人，记为、，
原始分在中的有人，记为、、、，
则从人中抽取人所有可能的结果有：
，，，，，，，，
，，，，，，，
共个基本事件，
其中抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的结果有，
，，，，，，，，
共个基本事件，
故这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；
（3），
，
故其估计值为.
四、证明题
21．已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于A、B两点.
(1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；
(2)若直线过点且与圆相切，求弦长的值；
(3)若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交于P、Q两点，证明：直线PQ平行于.
【答案】(1)左焦点、右焦点，离心率；
(2)2；
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据椭圆方程求，结合焦点坐标和离心率的定义求解；(2)由直线与圆相切列方程求切线斜率，再利用设而不求法结合弦长公式求解，(3)由条件利用待定系数法求双曲线方程，联立方程组求交点，求出的坐标，再求方程，联立求坐标，求直线斜率，由此证明直线PQ平行于.
【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，因为椭圆的方程为，所以，
所以左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，离心率.
（2）圆的圆心为原点，半径为1，
当直线AB的斜率不存在时，因为直线AB过点，所以其方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆不相切，与条件矛盾，故直线AB斜率存在，因而设直线方程为，则.
联列方程：
，化简得，方程的判别式，设，，则，
所以，
即弦长的值为2；
（3）设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的
左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，
由题可知，所以，，故，
因而双曲线方程：，双曲线的渐近线方程为，
设，直线，
联立，，
同理，，
所以，，
设，
则，化简得，
所以
同理
所以
，所以
所以
，所以
因而
因而直线直线PQ.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．