2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高二上学期11月月度质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高二上学期11月月度质量检测数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线 的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先由直线方程求出直线的斜率，从而可求出其倾斜角
【详解】解：设直线的倾斜角为，
由直线得其斜率为，
所以，
因为，所以，
故选：B
【点睛】此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题
2．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可.
【详解】设所求圆方程为,
因为，，三点都在圆上，
所以，解得，
即所求圆方程为：.
故选：C.
3．如图，在正方体 中，为棱上的动点，则直线与平面所成角（过点作平面的垂线，设垂足为．连接，直线与直线相交所形成不大于的角）的正弦值的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意连接PC，可知为直线PB与平面所成的角，进而求得PB的值，从而代入化简即可得正弦值的范围．
【详解】连接，则为直线PB与平面所成的角，

设正方体的棱长为a，，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，则 ，
即直线与平面所成角的正弦值的范围是.
故选：A.
4．圆与直线相切，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点到直线的距离公式可得，进而，再利用基本不等式即可求解.
【详解】圆，
点到直线的距离为
即
化简得：
故.
故选：B
5．如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（ ）个

①的最小值为1
②四面体的体积为
③存在无数条直线与垂直
④点为所在边中点时，四面体的外接球半径为
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由公垂线的性质判断①;由线面平行的性质及锥体的体积公式判断②;根据线面垂直的判定及面面平行的判定定理结合条件判断③;利用坐标法，根据正弦定理及球的性质结合条件可求四面体的外接球半径判断④.
【详解】对于①:因为是正方体，
所以平面,平面,
又因为平面,平面,
所以,
，即是与的公垂线段，
因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，
所以当分别与重合时，最短为1，故①正确;
对于②,因为是正方体，
所以平面平面，且平面
所以平面，
当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离，
由可知，当点在上运动时，到的距离不变，
所以的面积不变，
所以所以②错误;
对于③,连接，因为平面，平面，
且,所以，
又平面，
所以平面，当不在线段端点时，
过作交于 ，过作交于，
平面交线段于,

因为平面，平面 ,
故平面，同理平面,
又平面，
所以平面平面，
故平面，又平面，
所以，因为点在线段上，
所以存在无数条直线，故③正确;
对于④,如图,以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则,
所以,

则的外接圆的半径为
所以可得等腰的外接圆圆心为,
设四面体的外接球球心为，则平面，
所以可设四面体的外接球球心为，
由，
可得,解得，
所以四面体的外接球的半径为故④错误.
故选:B.
6．过点作圆的切线，所得切线方程为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【分析】根据圆的方程求出半径和圆心坐标，然后根据直线斜率是否存在分类讨论，利用点到直线的距离等于半径.
【详解】由题意得：
由圆，得到圆心坐标为，半径，
当过的切线斜率不存在时，直线满足题意；
当过的切线斜率存在时，设为斜率为k，
可得切线方程为，即，
∴圆心到切线的距离，即，
解得：，
此时切线的方程为，即，
综上，圆的切线方程为和．
故选：C
7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过作截面交于点，则四棱锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接，由题意可得平面建立空间直角坐标系，利用空间向量中点到直线距离公式计算出到直线的距离最小时的具体坐标，再用空间向量的方法计算出点到直线的距离和点到平面的距离即可.
【详解】
取的中点，连接，
因为是等腰直角三角形且，所以，，，
因为平面平面平面平面平面
所以平面所以以为原点，分别以，，的方向为，，轴的
建立空间直角坐标系，则
所以，，
因为动点在棱上，所以设，则
所以，，
，，，，
所以点到直线的距离为，
所以当时，点到直线的最小距离为，此时点是的中点即．
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以，所以，
因为点是的中点，所以点是的中点，所以，
，，
，，，，
所以点到直线的距离为，
所以梯形的面积为，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，
所以，
则点到平面的距离，
所以四棱锥的体积为．
故选：B
【点睛】方法点睛：针对于立体几何中角度范围和距离范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，熟练各种距离、各种角度的计算方式．
8．四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，设球心，根据得到，设，根据向量的夹角公式结合二次函数性质计算最值得到答案.
【详解】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，
球心在平面的投影坐标为，则设球心，
则，即，
解得，则.
设，，，，
设，则，，
则，
当时，有最大值为，
此时直线与所成的角最小，对应的正弦值为.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中的异面直线夹角问题，外接球问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中建立空间直角坐标系可以简化运算，是解题的关键.
二、多选题
9．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
【答案】AC
【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.
【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；
将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；
若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；
若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.
故选：AC.
10．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，即可满足题意．
【详解】圆心到直线的距离，
因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于，
所以， 即，
解得，
结合选项可知，BC正确，
故选：BC．
11．已知圆和圆，则（ ）
A．B．圆半径是4C．两圆相交D．两圆外离
【答案】AC
【分析】先根据配方法确定两个圆的圆心和半径，再根据圆心距和半径的关系即可判断两圆的位置.
【详解】对于B，因为圆，
所以圆的标准方程为，圆心为，半径为，故B错误；
对于A，因为圆，
所以圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，故A正确；
对于CD，因为，所以两圆相交，故C正确，D错误.
故选：AC.
12．（多选题）已知向量满足.设，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．无最大值
【答案】BD
【分析】利用平方的方法化简已知条件，先求得，然后建立空间直角坐标系，设，求得点的轨迹，根据直线和圆的位置关系求得正确答案.
【详解】因为，所以.
又，所以，解得，
因为，所以.
建立如图所示的直角坐标系，
设，
因为，所以，
整理得，即点的轨迹是：圆心为，半径为的圆，
设，则点在直线上运动，
则，令点到直线的距离为，
则，无最大值.
故选：BD
三、填空题
13．点到直线的距离为 .
【答案】
【解析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【详解】利用点到直线的距离可得：
故答案为:．
14．已知直线，，若，则 .
【答案】
【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.
【详解】若，则，解得.
故答案为：.
15．已知圆C的方程为，过直线l：（）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为 ．
【答案】
【分析】设切线长最小时直线上对应的点为，则，利用点到直线的距离公式计算的值并构建关于的方程，解方程后可得的值，从而得到所求的斜率.
【详解】设切线长最小时直线上对应的点为，则
又，因为切线长的最小值为
故，解得，故直线的斜率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象的距离问题，属于中档题.
16．如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得；
②的面积越来越小；
③四面体的体积不变.
所有正确的结论的序号是 .
【答案】①②③
【分析】建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，设出（），选项①，列出方程，求出m的值；选项②，利用点到直线距离的向量公式表达出P到直线距离，表达出的面积，进而得到答案；③把作为底，高为点P到上底面的距离，可以判断四面体的体积不变.
【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，设（），则，，令，解得：，存在点P，使得，①正确；
，，，，设点P到直线距离为，则
所以，因为，动点沿着棱DC从点D向点C移动，即从0逐渐变到2，随着的变大，变小，的面积越来越小，②正确；
以为底，高为点P到上底面的距离，因为∥底面，所以h不变，所以四面体的体积不变，③正确.
故答案为：①②③
四、解答题
17．过点作直线l，使之与点之间的距离等于2，求直线l的方程．
【答案】或．
【分析】对直线分两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式，即可得答案；
【详解】当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为，点到它的距离为2，满足题意．
当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线l的方程为，即，由点A到它的距离为2，可得，解得，
所以直线方程为．
综上所述，直线l的方程为或．
【点睛】本题考查点到直线的距离公式，考查分类讨论思想，考查运算求解能力.
18．设m为实数，已知两直线分别求下列条件下的m的值（范围）
(1)平行
(2)垂直
(3)相交
【答案】(1)
(2)
(3)且
【分析】（1）根据平行时系数的关系列方程求解即可；
（2）根据垂直时系数的关系列方程求解即可；
（3）根据直线相交表示两直线既不平行也不重合，然后结合（1）求解即可.
【详解】（1）因为，所以，解得或7（舍去），
所以.
（2）因为，所以，解得.
（3）和相交，即两直线既不平行也不重合，由（1）可知，当时，，
当时，两直线重合，
所以和相交时，且.
19．如图，正方形和所在的平面互相垂直，且边长都是分别为线段，，上的动点，且 ，平面．
(1)证明：平面；
(2)当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质得到面，即可得到，从而得到，再由，得到，即可得到，从而得证；
（2）依题意可得，即可求出时，三棱锥体积最大，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【详解】（1）证明：∵面面，且，面面，面，∴面，
又∵面，∴，∴，
又∵，∴，∴，
又∵面，面，∴面．
（2）解：依题意得，，
∴，
∴当时，三棱锥体积最大，即M，N，G为线段中点．
以B为坐标原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
设面的法向量为，
所以，取，得．
设平面的法向量为，
因为，，
所以，取，得．
所以，
又二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为
20．在如图所示的三棱锥中，已知，为的中点，为的中点，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面所成锐角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证结论正确；
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.
【详解】（1）证明：因为是的中位线，所以.
因为平面平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则点，，，，，
.
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，则.
设平面的法向量为，因为，
所以，得，取，得，则，
所以，
所以平面与平面所成锐角的余弦值为.
21．如图，在以，，，，，为顶点的多面体中，四边形是矩形，，，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得出平面的一个法向量为，结合，即可求解；
（2）分别求得平面和的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，四边形是矩形，可得，
又由平面，平面，所以，
因为，所以，
又由，且平面，所以平面，
如图所示，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，.
由平面的一个法向量为，
因为，即，即，
所以平面.
（2）由题意，得，，，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量，
可得，，
由，可得，即，
取，得，，所以.
设二面角的大小为，
则.
所以二面角的余弦值为.
【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：
1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
22．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，．分别是的中点，且，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）先证是正三角形，从而，利用面面垂直的性质定理知平面，从而，再利用面面垂直的判定定理证得结论；
（2）根据三棱锥的体积为，求出，以D为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面角可得解.
【详解】（1）连接，显然且，
∴四边形为平行四边形，
∴且，∴是正三角形，∴，
∵平面平面，且平面平面，∴平面，
又平面，∴，
又∵，平面，且，
∴平面.
（2）连接，易知，∴.
在中，，且，
∴，，
，∴
以D为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
设平面的一个法向量，由，得
取，则，所以．
设平面的一个法向量，由，得
取，则，所以．
∴，，，
设二面角所成的角为，，
经观察知为锐角，所以二面角的大小为.
【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直，及面面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),