2023-2024学年广东省深圳市五校联考高二上学期12月段考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省深圳市五校联考高二上学期12月段考数学试题含答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相离
C．相交且l过圆C的圆心D．相交且l不过圆C的圆心
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离，进而得到结论.
【详解】圆心到直线的距离为，
故圆心在直线上，故直线和圆相交且l过圆C的圆心.
故选：C
2．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性求得正确答案.
【详解】当时，，单调递增，
，，
所以，即.
故选：C
3．已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】因为圆的方程为，
所以圆的标准方程为，
故，解得或，
所以的取值范围为.
故选：D.
4．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（ ）
A．0B．2C．4D．12
【答案】B
【分析】利用线面垂直的性质即可.
【详解】3点时和9点时时针垂直于相邻的平面，故此时两个时针互相垂直.
∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），
相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，
故选：B
5．如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值.
【详解】由于，，根据台体的性质可知,
由于平面，平面，所以，
由于，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
平面的一个法向量为，
，即，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设二面角为，由图可知为锐角，
所以.
故选：B
6．已知正四面体，是所在平面内的点构成的集合．设集合，表示的区域的面积为，则正四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求得，进而求得正四面体的棱长，从而利用棱锥的体积公式即可得解.
【详解】记的中心为，连接，
由正四面体的性质可知平面，
因为平面，所以，
则，
所以集合，
故集合表示的是以为圆心，半径为的圆及其内部，
又表示的区域的面积为，所以，解得，
不妨设正四面体的棱长为，
则在中，由正弦定理得，即，
所以由，得，解得，
所以正四面体的体积为.
故选：C.
7．已知双曲线左、右焦点分别为，直线与双曲线右支交于点，过点作平分线的垂线，垂足是，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过联立直线的方程与双曲线的方程，求得点的坐标，从而求得，利用二倍角公式、余弦定理等知识求得.
【详解】双曲线对应，
所以，，直线过点，
由解得，则，
所以，
所以，
直线的斜率为，倾斜角为，即，
，
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得：
.
故选：B
8．平面内有一个直角边长为a的等腰直角三角形ABC，其中为直角，若沿着其中一条直角边AC旋转，使得所在平面与平面的夹角为且，此时的内(含边界)有一动点，满足到另一条直角边BC的距离与到平面的距离相等，则动点的轨迹的长度为（ ）
A．aB．aC．aD．a
【答案】A
【分析】结合题意，找到二面角的平面角，将所满足的距离转化为动点到另一条直角边BC的距离与到边的距离的比，进而找到满足条件的轨迹，利用相似等知识解得轨迹长度即可.
【详解】结合题意,如图:做垂足于点,做面于点，
连接并延长于点,
因为平面，且在平面内，所以,
因为，且,且在面内，
所以面，所以为平面与平面的二面角的平面角，
因为,结合三角函数关系，所以,
要满足动点到另一条直角边BC的距离与到平面的距离相等，
只需，即满足，故动点的轨迹为,
当点与点重合时，此时点与点重合, 点与点重合,
如图：易得出，设,所以,
即,解得，所以，,
在直角三角形中，，
解得，动点的轨迹的长度为.
故选：A.
二、多选题
9．已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P，使得B．
C．的周长为定值6D．
【答案】BCD
【分析】BC选项，由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长；A选项，由余弦定理和基本不等式得到，结合的单调性得到，A错误；D选项，设，则，表达出，求出.
【详解】BC选项，因为，
由椭圆定义得，，
故的周长为，BC正确；
A选项，由余弦定理得
，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
因为在上单调递减，且，
所以，故不存在点P，使得，A错误；
D选项，设，则，，，
故，
因为，所以，，D正确.
故选：BCD
10．已知直线.以下说法正确的是（ ）
A．直线一定经过点B．的充要条件是或
C．点到直线的距离的最大值为5D．与交点的轨迹必与有两个交点
【答案】AC
【分析】利用直线定点的求解判断A，检验判断B，利用点到直线的距离最大值的性质判断C，利用圆的定义求得与交点的轨迹方程，从而判断所过定点与其的位置关系，由此得以判断D.
【详解】对于A，因为可化为，
令，即，则，故，
所以直线一定经过定点，故A正确；
对于B，当时，，即，
，即，显然与 重合，故B错误；
对于C，点到直线的距离的最大值为到定点的距离，
所以其最大值为，故C正确；
对于D，对于，易知必过定点，
对于，易知必过定点，
又，所以与垂直，
所以与交点的轨迹是以定点与为直径两端的圆，
其圆心为，半径为，
所以与交点的轨迹方程为，
又直线一定经过定点，且，
所以直线不一定与与交点的轨迹相交，故D错误.
故选：AC.
11．已知点P在圆上，点，，则（ ）
A．满足的点有且只有1个
B．点到直线的距离最大值为
C．点到直线的距离分别为2和3，这样的直线恰好有三条
D．圆O被过中点的直线截得的弦长为，则直线的方程为
【答案】BC
【分析】根据圆与圆的位置关系、点到直线的距离、圆的弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，中点坐标为，，
所以以为直径的圆的方程为，半径为，
与的距离为，
，所以圆与圆相交，
所以足的点有个，所以A选项错误.
B选项，直线的方程为，
到直线的距离为，
所以点到直线的距离最大值为，所以B选项正确.
C选项，以为圆心，半径为作圆；以为圆心，半径为作圆；如下图所示，
，所以两圆外切，公切线有条，
所以点到直线的距离分别为2和3，这样的直线恰好有三条，C选项正确.
D选项，中点坐标为，
由解得或，
所以直线与圆相交所得弦长为，所以D选项错误.
故选：BC
12．已知斜率为的直线l经过双曲线的左焦点且交双曲线的渐近线于两点，交双曲线左支于点N，O为坐标原点，为双曲线的右焦点，，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率B．点到直线的距离是
C．若M是的中点，则D．点N到两渐近线距离之积等于a
【答案】ABC
【分析】设出直线l的方程，与渐近线方程联立求得坐标，利用中点坐标公式表示出AB中点的坐标，利用斜率关系建立的方程，解得的关系，求得离心率，进而得到比例关系，依次可判断选项.
【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，
由题意可知过左焦点的直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，又双曲线的渐近线方程为，
联立可得，，，
由，设中点，则的斜率为，
因为 ， ，
所以线段AB的中点的坐标为，
选项A，因为，即，
化简得，所以，可得．故A正确；
选项B，由上可知，.
直线的方程即：，
点到直线的距离为，故B正确；
选项C，，故C正确：
选项D，渐近线方程为，即.
设，则，
则点到渐近线距离之积为
，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．抛物线的焦点坐标是 .
【答案】
【分析】根据抛物线的标准方程求出，即可求出焦点坐标.
【详解】由已知条件得，，即，故抛物线的焦点坐标为.
故答案为：.
14．圆与圆的公共弦的长为 ．
【答案】
【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.
【详解】将圆与圆的方程作差可得，
所以，两圆相交弦所在直线的方程为，
圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为.
故答案为：.
15．已知，则的最大值为 .
【答案】
【分析】画出曲线，根据图象以及直线与圆的位置关系求得的最大值.
【详解】对于方程，
当时，可化为，即，
当时，可化为，即，
当时，可化为，即，
当时，可化为，即，
由此画出曲线的图象如下图所示，
设，也即，
由图可知，向右上方平移到与曲线在第一象限相切时，
取得最大值，到切线的距离为：
，解得，
所以的最大值为.
故答案为：
16．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为 .
【答案】/
【分析】先建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；再求出平面与平面的法向量及交线的方向向量；最后根据点到直线距离的向量计算方法即可求解.
【详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
设交线的方向向量为，
则，即，令，得.
因为，点，
则，，
所以点A到直线的距离为.
【点睛】关键点睛：本题考查点到直线距离的求法.解题关键在于：建立空间直角坐标系，先求出设平面的法向量及平面的法向量，再求出交线的方向向量，最后利用点到直线距离的向量计算方法求解.
四、解答题
17．某校园设置了智力答题闯关游戏，每位闯关者共有四次机会，一旦某次答对抽到的题目，则闯关成功，否则就一直抽题、答题到第4次为止.用表示答对题目，用表示没有答对题目，例如事件表示第三次才闯关成功，假设闯关者对抽到不同题目能否答对是独立的且每道题答对的概率都是0.3.
(1)在下面的树状图中填写样本点，并写出样本空间；
(2)求某闯关者第三次成功闯关的概率.
【答案】(1)样本点填写见解析，样本空间为
(2)
【分析】（1）根据树状图求得样本点并求得样本空间；
（2）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【详解】（1）由题意得：
样本空间为；
（2）因为抽到不同题目能否答对是相互独立的，
所以.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为.
(1)若点在椭圆上，点，求椭圆的标准方程；
(2)已知点P在椭圆上，且，，求椭圆的离心率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）利用椭圆的定义以及正弦定理求得正确答案.
【详解】（1）因为，则右焦点，，
根据椭圆的定义有，
所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）在中，，
则为锐角，所以，
所以，
由正弦定理得.
19．已知动点与两定点，的距离的比为.
(1)求动点的轨迹方程并说明是什么图形；
(2)过点作直线l，l与点的轨迹相交于、两点，已知，若，求直线l的方程.
【答案】(1)方程为，轨迹为以为圆心，2为半径的圆
(2)或
【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解；
（2）解法一：设直线：，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，得到的面积，列出方程求得的值，即可求解；
方法二：设直线：, 联立方程组，得到，结合，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：由动点与两定点，的距离的比为，
可得，
整理得， 即，
所以动点P是以为圆心，2为半径的圆.
（2）解法一：由题意知的斜率一定存在且不等于0，
设直线：，即，
点Q到l的距离，
则弦长为，
因为，所以，
化简得，解得或，所以或，
所以直线的方程为或.
方法二：由题意知的斜率一定存在且不等于0，
设直线：, 且点，，
联立方程，整理得，
所以，即，且，
则，
因为，所以，
化简得，解得或，所以或，
所以直线的方程为或.
20．如图，在中，已知2，6，记=，且，分别是，的中点，相交于点.
(1)求的面积；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式求得，进而求得的面积.
（2）利用向量法，求得，，，进而求得的余弦值.
【详解】（1）
，
，
，，
.
（2），，
，，
，，
，
.
21．如图1所示的正方形中，对角线分别交于点，将正方形沿折叠使得与重合，构成如图2所示的三棱柱，若点在棱上.
(1)当时，证明：平面；
(2)记直线与平面所成角为，异面直线所成角为，当时，求线段的长度.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，从而求得平面的法向量，进而利用空间位置的向量法即可得证；
（2）结合（1）中结论，求得平面的法向量，利用空间向量法，结合三解函数的诱导公式得到关于的方程，从而求得的长度.
【详解】（1）因为，所以，
则，故，
又由图1易知，
故以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
在图1中，，，
则，故，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨取，则，故，
设，因为，所以，
则，
故，
所以，
又平面，所以平面.
（2）由（1）知，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨取，则，故，
设，
则，
所以，
又，则，
因为，所以，
所以，则，
因为，所以，解得，满足，
所以，即.
22．若一动圆同时与圆和圆相内切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)记动圆圆心的轨迹为，圆16上任一点处的切线l交于P,Q两点.某研究小组发现：在x轴上存在唯一点，使的周长为定值.此小组的结论对吗？请给出理由.
【答案】(1)
(2)结论正确，理由见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹方程.
（2）点是，计算出的周长为定值；当点是或时，分别取两个特殊位置验证结论不成立.
【详解】（1）设圆的半径为，由题意知：
圆和圆
因为圆分别与圆和圆内切，则：，
所以.
点是以为焦点，长轴长是10的椭圆，即：
点的轨迹方程为：.
（2）
①此小组的结论正确，下面从存在性和唯一性两个方面进行说明：
当点是，即椭圆的焦点时，的周长为定值10.
证明如下：
方法一：设点，则，，
因为是圆的切线，设切点为T，
所以，
又.
不妨设切点在轴的右侧，所以
即，
同理,
所以的周长，
所以的周长为定值10.
方法二：当切线斜率不存在时，则切线，不失一般性令
，则.
当切线斜率存在时，不妨设切点在轴的右侧，设,
因为与圆相切，
所以即
，即，
，
同理
当点是或时，的周长都不是定值证明如下：
当是时，当切线是时，不失一般性令，
则的周长为.
方法一：
令椭圆上顶点为，当切点趋近于点时，此时的周长为.
则两种情况周长不相等，即的周长不为定值.
方法二：
当切线方程是时，则，，
的周长
则两种情况周长不相等，即的周长不为定值.
当是时，当切线是时，不失一般性令，
则的周长为.
方法一：
令椭圆上顶点为，当切点趋近于点时，此时的周长为.
则两种情况周长不相等，即的周长不为定值.
方法二：
当切线方程是时，则
的周长
则两种情况周长不相等，即的周长不为定值.
【点睛】方法点睛：计算轨迹的方法：
①利用定义法：根据解析几何的定义进行轨迹的求解；
②利用直接法，求谁设谁；
③相关点法：不能直接看出动点的轨迹，动点是由于某曲线上的点的运动而运动.