2023-2024学年江苏省淮阴中学、姜堰中学高二上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省淮阴中学、姜堰中学高二上学期12月联考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．或0B．C．1或0D．1
【答案】A
【分析】利用直线垂直的充分必要条件判断即可.
【详解】由已知可得，解得或，
故选：A
2．已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（ ）
A．140B．180C．220D．380
【答案】B
【分析】利用等差数列的前项和的性质即可求解.
【详解】设等差数列的前项和为，则
成等差数列，
所以，
又
所以，解得.
所以等差数列的前项和为.
故选：B.
3．若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意写出焦点在轴的双曲线的标准方程，再根据该双曲线为等轴双曲线写出满足的条件，解得即可.
【详解】由于双曲线是焦点在轴上的双曲线，所以双曲线的标准方程为，
又因为双曲线为等轴双曲线，所以，解得.
故选：.
4．在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】将问题转化为求以点为圆心，以3为半径的圆和以点为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解.，
【详解】到点距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，
同理到点距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，
故两圆外切，
所以公切线有3条，
故选：C
5．如图所示，矩形的一边在轴上，另两个顶点，在函数（）的图像上.若点的坐标为（，），矩形的周长记为，则（ ）
A．216B．108C．220D．110
【答案】A
【分析】先确定点，的坐标，进而可得矩形的周长，进而可求和.
【详解】令，则，即方程若有两不等根，则这两不等根必互为倒数，
因为点，在函数（）的图像上，且点的坐标为，
则点的坐标为，的坐标为，
所以矩形的周长，
所以.
故选：A.
6．已知等比数列的前项和为，数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等比数列的性质推出，数列是以为首项，为公比的等比数列，再分别用基本量法得出，最后结合，代入数值即可算出结果
【详解】由题意可知不符合题意；
因为数列是等比数列；所以，
则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
因为数列的前项和为，
所以，通分化简可得，
而，则
因为，，代入可得，
故选：C
7．已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．D．
【答案】D
【分析】求出椭圆的焦点坐标，求出圆心和半径，求解的表达式，然后求解最值.
【详解】点为椭圆：的右焦点，设椭圆的左焦点为，
又为上一点，为圆：上一点，圆的圆心，半径为，
则，
当且仅当四点共线时取等号，
则的最大值为.
故选：D.
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列的通项公式为（）.则的前2048项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据高斯函数和对数函数的性质得；当时，；；当且时，，当时，，然后利用错位相减法求和即可求得.
【详解】；当且时，；当且时，；
当且时，；当且时，，
当且时，；当且时，，
当且时，；当且时，，
当且时，；当且时，，
当时，，记的前2048项的和为，
则，
又，
相减得
，所以.
故选：B.
二、多选题
9．已知是圆：上一点，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．过点作圆的切线，则切线方程为
D．过点作圆的切线，则切线方程为
【答案】AD
【分析】确定圆心和半径，表示和所在直线的斜率，计算得到A正确B错误，确定点在圆上，计算斜率得到切线方程，得到答案.
【详解】，即，圆心为，，
对选项AB：表示和所在直线的斜率，
如图所示：当直线与圆相切时斜率最大，此时，
故A正确，B错误；
对选项CD：点在圆上，则，故切线斜率为，
切线方程为，即，C错误D正确；
故选：AD.
10．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，记为第个图形的边长，记为第个图形的周长.为的前项和，则下列选项正确的是（ ）
（1） （2） （3）
A．数列是1为首顶，为公比的等比数列
B．数列是3为首项，4为公比的等比数列
C．若，为中的不同两项，且，则最小值是
D．若恒成立.，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据题意得到，，，，得到A正确B错误，计算得到，再利用均值不等式计算得到C正确，确定，根据函数的单调性得到，，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，，数列是1为首顶，为公比的等比数列，正确；
对选项B：，，，错误；
对选项C：，即，整理得到，
，，
当且仅当，即时等号成立，正确；
对选项D：，数列单调递增，且，
函数在上单调递增，，故，，
故的最小值为，正确；
故选：ACD
11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相交
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．当直线的㑔斜角为60°时，为线段的一个三等分点
【答案】AC
【分析】对于A：取线段的中点，过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，计算出与的关系可得结论；对于B：不妨设，取线段的中点，过作轴的垂线，垂足为，线段分别交轴于点，计算出与的关系可得结论；对于C：设，设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合计算可得答案；对于D：将直线的方程与抛物线方程联立，求出交点纵坐标可得答案.
【详解】对于A：取线段的中点，过作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 则，
则
所以以线段为直径的圆与直线相交，即必与直线相交，A正确；
对于B：不妨设，取线段的中点，过作轴的垂线，垂足为，线段分别交轴于点，
，
此时以线段为直径的圆与轴相离；B错误；

对于C：当时，设，且，
设直线的方程为，
联立，消去得，
所以，结合，解得，
所以，C正确；
对于D：当直线的㑔斜角为60°时，直线的方程为，
联立，消去得，
解得，所以，
即或
所以为线段的一个四等分点，D错误.
故选：AC.
12．设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是数列的“间隔数”，下列选项正确的是（ ）
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知，则数列是间隔递增数列
C．已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2
D．已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
【答案】BCD
【分析】根据间隔递增数列的定义，通过计算，根据其正负取值情况来判断各个选项.
【详解】对于A：设等比数列的公比为，
则，
因为，所以当时，，故A错误；
对于B：，
对于函数，明显其在上单调递增，
则，
当，即时，，B正确；
对于C：，
当为奇数时，，存在，使成立，
当为偶数时，，存在，使成立，
综上，数列是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C正确；
对于D：若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则对恒成立，
即，
解得，又该不等式的解为
所以，解得，可以得到，D正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．已知等比数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据条件确定数列的单调性和数列中项的正负即可得答案.
【详解】等比数列满足，说明数列为单调递增的等比数列，
又，可得，
则符合上述条件的数列只要满足即可
故.
故答案为：（答案不唯一）
14．设抛物线的焦点为，准线与轴交于，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，与相交于点，且点是的重心，则点到轴的距离为 .
【答案】/
【分析】确定，，根据相似得到，得到，计算得到答案.
【详解】如图所示：，是的重心，故，，
，故，故，不妨取，
，
故答案为：
15．过双曲线（）右焦点的直线交两渐近线于，两点，，为坐标原点，且内切圆半径为，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据题意画出图形，结合图形得到四边形为正方形，再根据，可求出，进而可得离心率.
【详解】，
双曲线的渐近线如图所示，设内切圆的圆心为，又由双曲线的对称性知的平分线在轴上，即点在轴上，
过点分别作于，于，
则，
又由得四边形为正方形，
因为焦点到渐近线的距离为，又，
所以，又，
则，
所以，
所以.
故答案为：.
16．在如图所示的三角新形阵中，用（）表示第行第个数（，），已知（），且当时，除第行的第1个数和第个数外，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和.即（）.若，则正整数的最小值为 .
【答案】
【分析】根据规律得到，利用分组求和及等比数列求和公式得到，从而得到不等式，求出整数m的最小值.
【详解】∵，
，
∴
，
因为若，则，即，
因为，故，所以，，
即，
所以正整数m的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．已知数列为等差数列，公差为，；数列为各项均为正数的等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前顶和
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件可直接求；求出公比和，进而可得；
（2）根据等差等比的前和公式直接求.
【详解】（1）数列为等差数列，公差为，，
，
又数列为各项均为正数的等比数列，设公比为，
，
，
又，得，
；
（2）由（1）得，
则，
整理得
18．已知双曲线：（，）的实轴长为，左右焦点为、，直线经过点，且与双曲线交于、两点.当直线与轴垂直时，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线的倾斜角为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长轴长确定，，得到，得到双曲线方程.
（2）确定直线方程，联立计算得到交点，计算面积得到答案.
【详解】（1）实轴长为，故，
当时，，即，，，
双曲线方程为；
（2），直线的倾斜角为，故直线的方程为，
，整理得到，解得，，
.
19．在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，且数列为常数列，②，③中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.
已知数列的前n项和为，___________.
(1)求数列的通项公式和前n项和；
(2)设，数列的前n项和记为，证明：.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）选①：由题意，，所以或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，所以数列为，即，
构造等比数列即可求解；选②：由，，两式相减可得，以下过程与①相同；选③：由，可得，
又，时，，所以，因为，所以也满足上式，所以，即，以下过程与①相同.
然后由分组求和法可得前n项和；
（2）由（1）求出，，则，利用裂项相消求和法求出前n项和记为即可证明.
【详解】（1）解：选①：因为，数列为常数列，
所以，解得或，
又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，
所以数列为，
所以，即，
所以，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即；
选②：因为，，
所以两式相减可得，即，以下过程与①相同；
选③：由，可得，
又，时，，所以，
因为，所以也满足上式，
所以，即，以下过程与①相同；
所以；
（2）解：由（1）知，，
所以，
所以
.
20．已知是抛物线的焦点，过点直线交抛物线于、两点.若，直线、直线分别交抛物线于、两点.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)若直线、的斜率存在且分别为，，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）确定，设出点和直线方程，联立得到根与系数的关系，计算交点得到交点坐标，确定的直线方程为，得到答案.
（2）确定，，，，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）是抛物线的焦点，则，设，，
设方程为，
则，则，，故，，
直线：，，或，故，同理可得：，故，
方程为，
整理得到：，故直线过定点.
（2），，，，
当且仅当，即时等号成立.
【点睛】关键点睛：本题考查了抛物线中的定点问题和最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的系数，根据韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，需要熟练掌握.
21．已知等差数列的各项都是正整数，且，其前项和为，若数列也是等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，试问是否存在正整数，（其中），使，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，请说明理山.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，，再由是等差数列，列式，运算得公差，并检验符合题意得解；
（2）由题意，，成等比数列即，，成等差数列，可得，当，时合题意，分析数列的单调性可得当时，，上式不成立.
【详解】（1）由题意，可得，设其公差为，则，
又，，
又数列是等差数列，则，
即，又为数列的前项和，
可得，即，
又，，
则上式可化简为，解得或，又，
，则，，即，
满足数列是等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由题意，，成等比数列即得，且，
所以，，则，
所以，，成等差数列，可得，（*）
当，时，左边=，右=，上式成立，
所以正整数数组满足题意；
由，，当时，，
所以当时，数列单调递减，则，而，故当时，（*）方程无正整数解；
综上，存在唯一的正整数数组满足题意.
22．在平面直角坐标系中，、、三点共线，且，.当、分别在轴和轴上运动时，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点且斜率分别为，的两条直线与曲线分别交于点、、、，并满足，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）考虑在线段内和线段外两种情况，设出坐标，确定坐标的关系，根据或计算得到轨迹.
（2）设出坐标和直线方程，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，，计算得到答案.
【详解】（1）设，，，，，
当在线段内，则，，故，即，
即；
当在线段外，则，，故，即，
即；
综上所述：曲线的方程的轨迹方程为.
（2）设，，设的直线方程为，
则，化简得到，
点在椭圆内，直线与椭圆一定有两个交点，
，，
；
同理可得：，故，
化简得到，，故，即.
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的轨迹方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，此方式是常用的方法，需要灵活掌握.