2023-2024学年山东省枣庄市薛城实验中学等校高二上学期12月大联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市薛城实验中学等校高二上学期12月大联考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的斜率及在轴上的截距分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】把直线方程化为斜截式，根据斜截式方程的定义求解即可.
【详解】直线，即，
故直线的斜率为，在轴上的截距为，
故选：C.
2．已知椭圆的焦点为，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为6，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可求出及焦点位置，即可写出椭圆的标准方程.
【详解】由题意椭圆的焦点在轴上，且，
∴，
∴椭圆的标准方程是.
故选：D.
3．直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A．B．C．2D．14
【答案】C
【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用弦长公式求出结果即可．
【详解】圆的圆心为，半径，
又直线，∴直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距，
∴所截得的最短弦长为.
故选：C.
4．如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】连接，利用空间向量运算的几何表示求解.
【详解】连接，
.
故选：A.
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为,河岸所在直线方程为,将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出关于直线的对称点为，然后将距离和转化成圆外一点到圆上一点距离最值问题求解即可.
【详解】
如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出最小值即可，
圆的圆心为，半径，
设关于直线的对称点为，则，解得，
所以，此时，
所以“将军饮马”的最短路程为．
故选：D．
6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求解.
【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，
，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
7．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，已知点A的坐标为，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义及数形结合即可得解.
【详解】过作，交抛物线准线于，且交抛物线于点，如图，
由抛物线可得准线方程为，
由抛物线定义知，，
因为，
所以当点运动到时，即三点共线时，的最小值为，此时.
故选：B
8．已知直线l过双曲线C：（，）的左焦点，与C左支交于A，B两点，双曲线的右焦点为，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义结合条件可得的长，再由余弦定理及离心率公式即可得解.
【详解】如图，
设，
由双曲线的定义知，，
两式相加可得，即，解得，
所以，
在中，
，
化简可得，即，解得.
故选：A
二、多选题
9．若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据直线的斜率及截距分析满足条件的图象即可得解.
【详解】由可知直线斜率，
直线在轴上的截距，满足条件的只有B，
所以不可能是ACD.
故选：ACD
10．下列四个说法中，正确的是（ ）
A．已知向量，，则
B．经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为
C．双曲线C：的渐近线方程是
D．直线l：（）与圆O：公共点的个数为1
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的夹角公式判断A，根据条件求出直线方程判断B，根据双曲线渐近线方程判断C，根据圆心到直线的距离判断D.
【详解】对A，，故正确；
对B，经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线过原点时，直线方程为符合题意，
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，可得，
所求直线方程为：，故B错误；
对C，由双曲线C：可得渐近线方程为，即，故C正确；
对D，圆心到直线的距离，而圆的半径为1，故直线与圆相切，所以直线与圆有1个公共点，故D正确.
故选：ACD
11．过抛物线（）焦点F的直线与抛物线交于，两点，则说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的定义求解判断A；当直线垂直于轴时可判断B；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理计算判断CD.
【详解】抛物线的焦点，准线为，
根据抛物线的定义，点，到焦点的距离分别等于其到准线的距离，
∴
所以，故A正确；
当直线垂直于轴时，
不妨设，故，故B错误；
当直线垂直于轴时，
不妨设，故，所以.
当直线不垂直于轴时，设直线，，
联立方程，可得，
所以恒成立，
，
.
综上，，故C 正确；
当直线垂直于轴时，不妨设，
，
当直线不垂直于轴时，
，
综上，，故D正确.
故选：ACD.
12．如图，正方体中，E，F分别是棱，的中点，若正方体的棱长为2，则下列说法正确的有（ ）
A．点D到平面的距离为
B．直线与平面垂直
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．平面与平面的夹角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据点到平面距离的向量公式判断A；判断与平面的法向量是否平行，可判断B；根据向量的夹角公式可判断CD.
【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
∴，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
∴点到平面的距离，故A正确；
假设存在，使得，则，
则，此方程组无解，∴不存在，使得，
故向量与不平行，即直线与平面不垂直，故B错误；
设直线与平面所成的角为，则，故C正确；
平面的一个法向量为，平面与平面的夹角，
则，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ．
【答案】/
【分析】根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】由直线l经过，两点，
则直线的斜率，
所以直线的斜率，
由，所以.
故答案为：
14．若直线l：始终平分圆C：的周长，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】根据直线过圆心可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解.
【详解】由题意，直线经过圆心，
故，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：8
15．2023年2月23日19时49分，中国首颗超百Gbps容量的高通量卫星——中星26号卫星搭乘长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心起飞，随后卫星进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．如图，该卫星的轨道是以地球球心为一个焦点的椭圆，记地球球心为F，若卫星的近地点A（离地球表面最近的点）与地球表面最近的距离为，远地点B（离地球表面最远的点）与地球表面最近的距离为，并且F，A，B三点在同一直线上，已知地球半径为R，则该椭圆形轨道的离心率的表达式为 ．
【答案】
【分析】由题意得，解出即可得出离心率.
【详解】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为，
则由题意得，
解得，
所以该椭圆形轨道的离心率.
故答案为：.
16．已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合可得解.
【详解】由可得，即直线过定点，
由可得，即曲线C：，
作出曲线与直线的图象，如图，
当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率，
直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，
即，解得或（由图可知不符合题意，舍去），
由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点.
故答案为：或
四、解答题
17．已知圆过三个点，，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点的坐标为，求过点的切线方程．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）设圆的一般方程为，代入三点的坐标，求解即可；
（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求解．
【详解】（1）设圆的一般方程为，
将三个点，，代入得，
解得，
所以圆的一般方程为，
化为标准方程为．
（2）圆：的圆心，半径，
当切线斜率不存在时，易知切线方程为，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则依题意可得，解得，
此时切线方程为，即，
综上所述，过点的切线方程为和．
18．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，平面，分别是，的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可得，再由线面垂直的性质可得，根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）因为四边形为菱形，，
所以为正三角形，
又是的中点，所以，
又，所以，
又平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，两两垂直，
以A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
设，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，即，
设直线PC与平面AEF所成角为，
则，
即直线PC与平面AEF所成角的正弦值为.
19．已知圆：，圆：．
(1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔
(2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解；
（2）假设存在实数a，根据两圆内含关系列不等式并求解，可判断a的存在性．
【详解】（1）圆：即，
当时，圆：，
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为，
圆：的圆心，半径，
圆心到公共弦所在直线的距离，
则两圆的公共弦长为.
（2）不存在，理由如下：
圆：可化为，
则圆心，半径，
又圆：的圆心，半径，
假设存在实数a，使得圆和圆内含，
则圆心距，
即，此不等式无解，
故不存在实数a，使得圆和圆内含.
20．己知直线与双曲线的两支各有一个交点，分别是．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若的面积为，求实数k的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）联立直线与双曲线方程后由判别式和韦达定理求解；
（2）由弦长公式计算，表示出面积后求解.
【详解】（1）联立方程，得
消去整理，得．
由题意知，解得，即实数k的取值范围为.
（2）设则，．
．
所以，
即，解得或，
又，所以
21．如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，，，．
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，说明点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，为上靠近的三等分点
【分析】（1）取点为，可得四边形为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可.
【详解】（1）取点为，连接，
因为分别为中点，
所以，
即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
则面．
（2）在棱上存在点，使得二面角的平面角为，且为上靠近的三等分点，证明如下：
取中点为，因，则，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，
过点作平行线，交于，则为的中点，，
因平面，平面，则，
过作平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

由题意得，则,
因，则，故，
则，
设，
，
设平面法向量为，
则，令，则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
因为二面角的平面角为，
所以，
化简得，即，又，则，
所以为上靠近的三等分点.
22．已知椭圆C：（）的离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点，点在椭圆C上，轴，垂足为M，直线交轴于点N，线段的中点为坐标原点，试判断直线与椭圆C的位置关系，并给出证明．
【答案】(1)
(2)直线与椭圆相切，证明见解析
【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组，求解即可；
（2）根据题意可得，可得直线方程，得的坐标，进而得直线方程，代入椭圆的方程并化简，又因为点在椭圆上，从而得，利用判别式可得直线与椭圆相切.
【详解】（1）离心率为，则，即，则，得①，
点在椭圆上，则②，
联立①②解得，
所以椭圆C的方程为：
（2）根据题意可得，，又直线，所以，
所以直线方程为，即，
令得，即，
又线段的中点为坐标原点，则，
所以直线方程为，即,
代入椭圆的方程得，
化简得，
又因为点在椭圆上，所以，
代入得，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线与椭圆相切.