2023-2024学年广东省鹤山市第一中学高二上学期第二阶段考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省鹤山市第一中学高二上学期第二阶段考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，且与共线，则（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
【答案】B
【分析】根据题意，求得，结合与共线，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，
可得，
因为与共线，可得，解得.
故选：B.
2．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的标准方程可得出其渐近线方程.
【详解】在双曲线中，，，
因此，双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
3．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．36B．45C．54D．63
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质得到，然后求和即可.
【详解】，所以，.
故选：C.
4．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.
【详解】由圆，则圆心，半径为，
圆，则圆心，半径，
所以两圆圆心距，
所以圆与圆的位置关系为外离，
则圆与圆的公切线条数为4条.
故选：D.
5．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
6．设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列下标的性质进行求解即可.
【详解】因为，，
所以．
故选：D
7．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
8．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求得离心率的取值范围.
【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
二、多选题
9．已知等差数列的前项和为，公差.若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由已知得到等差数列的首项一定为正数，且公差小于零，然后利用条件逐一判断即可.
【详解】若，即等差数列前项和达到最大，
则等差数列的首项一定为正数，且公差小于零，故A错误，B正确；
又，故C错误，
，
，D正确；
故选：BD.
10．如图，在正方体中，为的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．若正方体的棱长为，则点到平面的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】AB
【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理可判断A选项；利用线面垂直的性质定理可判断B选项；利用等体积法计算出点到平面的距离，可得出点到平面的距离，可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项.
【详解】对于A项，连接交于点，连接，
因为四边形为正方形，，则为的中点，
又因为为的中点，则，
因为面，面，所以，平面，故A正确；
对于B项，连接，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
又，、面，所以，面，
而面，即，故B正确；
对于C项，因为为的中点，
所以，点到平面的距离等于点D到平面的距离，设该距离为，
若正方体棱长为，则，，同理，
因为为的中点，则，且，
所以，，
由，即，
所以，，
所以，若正方体的棱长为，则点到平面的距离为，C对；
对于D项，假设点在面的投影为，连接，
则与平面的所成的角为，
由C选项结论可知若正方体棱长为，则有，故D错误.
故选：AB.
11．已知曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．若曲线上的一点到点的距离为，则点的纵坐标是4
C．已知曲线上的两点，到点的距离之和为10，则线段的中点横坐标是
D．已知，是曲线上的动点，则的最小值为5
【答案】AD
【分析】选项A根据抛物线的定义可判断；
选项B根据到点的距离为，得到点的横坐标，进而可得点的纵坐标是；
选项C根据曲线上的两点，到点的距离之和为10，可得，进而可得线段的中点横坐标；
选项D根据抛物线的定义的最小值为点到直线的距离为.
【详解】选项A：因为曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，
所有曲线上任意一点到直线的距离与它到点的距离相等，
根据抛物线的定义可知曲线的方程为：，故A正确；
选项B：由题意，故到直线的距离为，故，
代入可得，故B错误；
选项C：由曲线上的两点，到点的距离之和为10，
所以，得，故线段的中点横坐标是3，故C错误；
选项D：

如图，由抛物线的定义即为点到直线的距离，
故的最小值即为点到直线的距离为，故D正确，
故选：AD
12．已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是0B．的最大值为1
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】AD
【分析】由可看成与原点间的连线的斜率，设，结合直线与圆有交点，求得 的值，可判定A正确，B不正确；由表示点到原点的距离，结合圆的性质，可判定C错误；设，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可判定D正确.
【详解】由圆，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
当时，可看成与原点间的连线的斜率，
设，即，所以直线与圆M有交点，
由，解得，
所以的最小值为，无最大值，所以A正确，B不正确；
由表示点到原点的距离，
又由，所以的最大值为，
即的最大值为，所以C错误；
设，可得，
当直线与圆有公共点时，则，解得，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．若向量，，则 ．
【答案】
【分析】根据空间向量的加法运算和模长公式求解.
【详解】由题意，，
于是.
故答案为：
14．若两条平行直线与之间的距离是，则 ．
【答案】3
【分析】由两直线平行列方程求出，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值，从而可求出结果.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得且，
所以直线为，
直线化为，
因为两平行线间的距离为，
所以，得，
因为
所以，得，
所以，
故答案为：3
15．已知数列的前项和，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合和，即可求得数列的通项公式.
【详解】由数列的前n项和为，
当时，可得；
当时，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
16．已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【分析】由题意画出图形，取中点，连接，，分别取与的外心作平面与平面DBC的垂线，相交于，则O为四面体的球心，再利用勾股定理求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．
【详解】如图，

取BC中点G，连接AG,DG，则，，
分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC 与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，
由，
所以正方形OEGF的边长为，则，
四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故答案为：．
四、解答题
17．已知的顶点.
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；
（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求.
【详解】（1）线段的中点为，
则中线所在直线方程为：，即.
（2）设两坐标轴上的截距为，
若，则直线经过原点，斜率，
直线方程为，即；
若，则设直线方程为，即，
把点代入得，即，直线方程为；
综上，所求直线方程为或.
18．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设，由求出的长；
（2）先计算，，，再由得出与所成角的余弦值．
【详解】（1）设
由题意可知
（2）
又
即与所成角的余弦值为
19．在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.
(1)求动点的轨迹方程.
(2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，再根据题意列出关于的等式，化简即可；
（2）根据椭圆的定义结合余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）设，
则，即，
整理得，
所以动点的轨迹方程为；
（2）由（1）得动点的轨迹为椭圆，且为其焦点，
则，
由余弦定理得，
即，
所以，
所以.
20．已知等差数列，前项和为，又．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.
（2）由，令求出的取值范围，再分段求出数列的前项和
【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，
因为，所以，
所以，由，解得，
又，所以；
（2）
设，的前项和为，得，
，得
当时，，即，所以
当时，得 ，所以，
则
综上所述：
21．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，
点为棱上的点，且.

(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）运用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）利用证明线面垂直，建立空间直角坐标系，分别求得相关点的坐标，
计算直线的方向向量和平面的法向量，运用空间向量线面夹角公式即可求得.
【详解】（1）由为矩形可知：，又因为，，
，平面，所以平面，又，
所以面，又面，故.
（2）由（1）可知，，，所以，在中，
，所以；
又，，，面，所以面；
故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.

则，，，，，
又在中，，则，，，.
设面的法向量，则即故，
设直线与面所成角为，则.
故直线与平面所成角的正弦值为：
22．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点F为椭圆的左焦点，点，过点F作的垂线交椭圆于点P，Q，连接与交于点H．试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)；
(2)是定值1.
【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；
（2）分类讨论是否为0，联立直线PQ与椭圆方程，直线OT方程，结合韦达定理判定三点纵坐标关系即可.
【详解】（1）由椭圆性质可知：，，，，
所以由题意可知：，
即椭圆方程为：；
（2）由上可知，
当时，则重合，此时由椭圆的对称性可知，则；
当时，则，
由，可知直线为，
设，，纵坐标，易知此时，
联立直线与椭圆方程可得，
所以，
联立直线与方程，即，
对于，
综上可知为定值1.