2023-2024学年广东省珠海市第二中学高二上学期第二次阶段考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省珠海市第二中学高二上学期第二次阶段考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【分析】由图形及椭圆定义可得答案.
【详解】由椭圆方程可得：，
的周长为.
故选：D.
2．在平行六面体中，M为与的交点，，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算进行求解．
【详解】．
故选：A．
3．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则
B．若为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】B
【分析】A选项，根据方程表示椭圆得到不等式，求出取值范围；B选项，根据方程表示双曲线得到不等式，求出取值范围；C选项，当时，方程表示圆；D选项，根据方程为焦点在轴上的椭圆得到不等式，求出取值范围.
【详解】A选项，若为椭圆，则，
解得或，A错误；
B选项，若为双曲线，则，解得或，B正确；
C选项，当，即时，方程为，为圆，C错误；
D选项，若为椭圆，且长轴在轴上，则，
解得，D错误.
故选：B
4．已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线一支
【答案】D
【分析】结合圆与圆的位置关系利用双曲线的定义即可求解.
【详解】设动圆C的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为2，
由题意可得，或，所以或，
又因为，所以，
由知不合题意，
所以，
根据双曲线的定义知，可得点C的轨迹为以为焦点的靠近的一支.
故选：D.
5．圆C：关于直线对称圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案.
【详解】将圆的方程化为标准方程可得，，
所以，圆心，半径.
设，
由已知可得，，解得，
所以，圆的圆心为，半径，
所以，圆的方程为.
故选：D.
6．已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当三点共线时，最小，然后求最小值即可.
【详解】
由题意得，等于点到准线的距离，
过点作垂直准线于点，则，
设动点，则，整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
，
所以当四点共线时，最小，.
故选：B.
7．已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（ ）
A．1B．
C．D．无法确定
【答案】C
【分析】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率.
【详解】结合题意：可知抛物线的准线为：，
如图所示：过分别作准线的垂线，垂足为,
过点作的垂线，垂足为点,
设，直线的倾斜角为，
因为,所以，
由抛物线的定义：，
结合图形易知：,
所以，
在直角三角形中，，
所以直线AB的斜率.
故选：C.

8．已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】画出图形，利用渐近线的夹角，通过求解三角形推出双曲线的离心率即可.
【详解】如图所示，
可知：，，，，，
可得，
，即
可得，
解得：或
因为，所以，
所以舍去，
故选：C
【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出，，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．
二、多选题
9．对于直线l：，下列说法正确的是（ ）
A．l的斜率一定存在B．l恒过定点
C．时，l的倾斜角为60°D．时，l不经过第二象限
【答案】ABD
【分析】由直线方程进行判断．
【详解】直线方程为，斜率为，一定存在，A正确；
，所以直线过点，B正确；
时斜率为，倾斜角为，C错误；
时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，D正确
故选：ABD．
10．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是
B．点F到C的一条渐近线的距离为2
C．若直线与双曲线C有交点，则
D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为
【答案】BD
【分析】由双曲线，求得，根据选项，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】解：由双曲线，可得，则，
对于A中，设点的坐标为， 其中，则，
所以，
根据二次函数的性质得，当时，，所以A不正确；
对于B中，由双曲线的其中一条渐近线方程为，即，
则焦点到的距离为，所以B正确；
对于C中，由由双曲线的近线方程为，
要使得直线与双曲线C有交点，则，所以C不正确；
对于D中，设点的坐标为，则，可得，
又由，则，
所以D正确.
故选：BD.
11．已知圆：和圆：的交点为A，B，则下列结论中正确的是（ ）
A．公共弦AB所在的直线方程为
B．公共弦AB的长为
C．线段AB的中垂线方程为
D．若P为圆上的一个动点，则三角形PAB周长的最大值为
【答案】AC
【分析】将两圆方程相减，即得公共弦方程，判断A；根据弦长的几何求法求得公共弦AB的长，判断B；求出直线的方程，即可判断C；利用特殊点，求出此时三角形PAB周长，可判断D.
【详解】对于A，圆：，即，圆：，
，，
即两圆相交，将两圆方程相减得，
即公共弦AB所在的直线方程为，A正确；
对于B，到的距离为，圆的半径为1，
故，B错误；
对于C，线段AB的中垂线即为直线，而，
故的斜率为，则线段AB的中垂线方程为，
即，C正确；
对于D，当时，即和AB的中点三点共线，
此时，
此时三角形PAB周长为,
即角形PAB周长的最大值不是，D错误，
故选：AC
12．在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱AB、AD的中点，点P在线段CM上运动，下列四个结论正确的是（ ）
A．三棱锥体积是
B．直线平面CMN
C．异面直线PD与所成角的余弦值的范围是
D．三棱锥的外接球表面积是
【答案】AD
【分析】根据三棱锥体积公式可判断A；由题意说明点D不在平面CMN内，即可判断B；确定异面直线PD与所成角，利用特殊点的位置可确定角的大小范围，即可判断C；建立空间直角坐标系，求得外接球球心坐标，即可求得外接球半径，继而求得外接球表面积，判断D.
【详解】对于A，，故，A正确，
对于B，连接，则，
由于平面平面,平面，故平面,
而C是平面与平面的一个交点，
故平面与平面的交线为过点C和平行的直线，
又，则四边形为平行四边形，
所以，
即平面与平面的交线为过点C和平行的直线，也和平行，
即平面，而平面，
故平面，即平面，故直线平面CMN，B错误；
对于C，因为，故的夹角即为异面直线PD与所成角，
当P点与C重合时，的夹角为0度，
此时异面直线PD与所成角可无限接近于0度，余弦值可无限接近于1，
当P点与M重合时，的夹角最大，
由于，
故，
故异面直线PD与所成角的余弦值的范围是，C错误；
对于D，以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则,
设三棱锥的外接球球心为，
则,即
，
解得，经计算验证，
即，则外接球半径为，
故三棱锥的外接球的表面积为，D正确，
故选：AD
三、填空题
13．抛物线的准线方程是 .
【答案】
【解析】先将抛物线方程化为标准形式，求出的值，即可求解.
【详解】由得抛物线方程为，所以，
所以抛物线的准线方程是，
故答案为：.
14．在四面体中，，，，，则 ．
【答案】
【分析】根据空间向量数量积的运算进行求解即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以.
又，，所以，
所以.
又，所以．
故答案为：
15．已知椭圆E以矩形的两个顶点A，B为焦点，且经过C，D两点．若，则E的离心率为 ．
【答案】
【分析】画出图形，设，，则椭圆的定义可知：，从而可得出答案.
【详解】设矩形的边长，，
故，由椭圆的定义可知：，
所以，所以.
故答案为：.

16．已知双曲线G的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P坐标为，双曲线G上点，满足，则 ．
【答案】8
【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.
【详解】
如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双曲线定义可得，则，又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.
又，可得，化简得，即，
即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则.
故答案为：8.
【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得内切圆圆心横坐标为，再由得到在的平分线上，结合的横坐标为进而得到即为内心，利用双曲线定义及面积公式即可求解.
四、解答题
17．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点，离心率为．已知
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆的标准方程，根据题意求出，即得答案.
（2）设，根据中点坐标公式推出，结合P是椭圆上的动点，利用代入法即可求得答案.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，其焦距为，
由左焦点，则得，
离心率为，则，
故椭圆标准方程为；
（2）设，则，，
故，代入中，即，
即线段PA中点M的轨迹方程为.
18．已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，．
(1)求实数的值；
(2)当时，求过点并与圆相切的直线方程．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于的方程即可求解出结果；
（2）分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解.
【详解】（1）因为圆的半径，，
所以圆心到直线的距离，
所以，所以，
所以或.
（2）因为，所以，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
圆心到的距离为，所以与圆相切；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以，
所以，所以直线方程为，
所以过点并与圆相切的直线方程为或.
19．如图，已知平行六面体中，所有棱长均为2，底面是正方形，侧面是矩形，点为的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）设是的中点，连接，由于是的中点，所以，
由于，所以，所以，
由于四边形是矩形，所以，
由于平面，
所以平面.
（2）由于四边形是正方形，结合（1）的结论可知两两相互垂直，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
设平面的法向量为，
则，故可设.
设平面与平面的夹角为，
则.

20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求的内切圆的半径r．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用二倍角公式和两角和的正弦公式即可.
（2）已知ab，用余弦定理求，再用与三角形内切圆半径有关的三角形的面积公式即可.
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，所以，所以．
（2）因为，所以，
由，
得，得．所以，
由
解得．
21．在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案；
（2）设出方程，利用垂直可得，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点.
【详解】（1）法一因为到点的距离与到直线的距离相等；
所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为,
则有 所以,
故的方程为.
法二设的坐标为则有,
所以.
即, 所以的方程为.
（2）法一设方程为，
因为，所以，即.
所以，即；
由得，
所以.
所以，即，所以；
所以方程为，
故恒过定点.
法二设，因为，所以；
所以，所以.
所以的方程为，
整理得，
所以，即，
所以直线恒过定点.
22．已知椭圆C：焦距为6，且椭圆C上任意一点（异于长轴端点）与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值．
(1)求曲线C的方程；
(2)过右焦点作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆C上任意一点，利用该点与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值，列式求得，结合c的值，即可求得的值，即得答案.
（2）设直线l方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系式，进而求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得其最大值.
【详解】（1）由题意知椭圆C：焦距为6，即，
设椭圆C上任意一点（异于长轴端点），则，
长轴的两顶点坐标为，由题意得，
即，则，
即，结合，解得，
故曲线C的方程为；
（2）由题意知直线的斜率不为0，，设直线l方程为，
设，联立，
得，由于直线l过椭圆焦点，必有，
则，，
故
，
当且仅当，即时取等号，
故S的最大值为.