2023-2024学年江苏省如东高级中学、徐州中学、沭阳如东高级中学、宿迁市一中高二12月阶段测试数学含答案

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一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 已知直线的倾斜角的余弦值为，则实数m的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线倾斜角求出直线斜率，利用斜率求.
【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，
设直线倾斜角为α，则斜率为，
由，得，因此．
故选：A．
2. 设，则直线l：与圆的位置关系为（）
A. 相离B. 相切C. 相交或相切D. 相交
【答案】C
【解析】
【分析】先求得直线恒过点，检验可得该点在圆上，即可得出答案.
【详解】直线可化为，
由可得，，所以直线恒过点.
又，即点在圆上，
所以，过点的直线与圆相交或相切.
故选：C.
3. 若向量，，且，则实数的值是（）
A. 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知利用数量积为零列式计算即可.
【详解】解：因为，，
所以，
因为，
所以，
解得．
故选：C．
4. 2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到，，解得，，得到离心率.
【详解】根据题意：，，解得，，
故离心率.
故选：D
5. 已知数列，，，且，则数列的前30项之和为（）
A. 15B. 30C. 60D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，分组求和即可.
【详解】已知数列，，，且,
则为奇数时，，则为偶数时，，
所以数列的奇数项构成首项为2公差为的等差数列，偶数项构成首项为0公差为的等差数列，
则.
故选：B
6. 设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量定义得到，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】向量在向量上的投影向量为，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
故选：B.
7. 在等比数列中，，，则（）
A. B. C. D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】设，倒序相加再由等比数列性质求解.
【详解】设，
则
，
所以.
故选：A
8. 设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部，
将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系，
由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系，
即可得斜率的取值范围，解出即可.
【详解】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：
（1）设出点的坐标；
（2）根据中点坐标建立等式：，；
（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
（4）将，及代入等式中即可得出关系.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设.
【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为，
由题可得
所以或
解得或
所以直线方程为或，故A，C正确；
当直线的截距为0时，设直线方程为，
由题可知，故直线方程为，D正确．
故选：ACD
10. 下列命题中正确的是（）
A. 与夹角为钝角，则的取值范围是
B. 在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点对称点的坐标为
C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
D. 任意空间向量满足
【答案】BC
【解析】
【分析】利用空间向量的概念与运算性质逐一判断即可.
【详解】对于选项A：由，可得，解得；
由共线可得，即有，，解得，
所以的取值范围是，且，故A错误；
对于选项B：点，点关于坐标原点对称点的坐标为，故B正确；
对于选项C：，满足，故四点共面，故C正确；
对于选项D： 表示与共线的向量，表示与共线的向量，二者不一定相等，故D错误.
故选：BC.
11. 已知数列的前项和为，则（）
A. 若为递减等比数列，则的公比．
B. “为等差数列”是“为等差数列”充要条件
C. 若为等比数列，则可能为等比数列
D. 若对于任意的，数列满足，且各项均不为0，则为等比数列
【答案】BD
【解析】
【分析】取特殊数列可判断A，利用等差数列的定义及等差数列的求和公式判断B，利用等比数列的性质可判断C，令，根据等比数列定义判断D.
【详解】取，则为递减等比数列，公比，故A错误；
若为等差数列，则，所以，
故（常数），故为等差数列，
若为等差数列，则，即，
所以，两式相减得，
所以，故（常数），所以为等差数列，
所以“为等差数列”是“为等差数列”的充要条件，故B正确；
设，则当时，，
，当时，,不是等比数列；
当时，从第二项开始是等比数列，且公比为q，
若要使是等比数列，则，即，不成立；
所以不可能是等比数列，故C错误；
任意的，满足，不妨取，则
，因为各项均不为0，所以（不为0的常数），
故为等比数列，故D正确.
故选：BD
12. 已知抛物线的焦点到准线的距离恰好等于到点的距离，是抛物线上的三个点，是轴上一点.则（）
A. 的方程为
B. 点为上位于右侧的两点，若四边形为正方形，则
C. 当点是的顶点，且四边形为正方形时，此正方形的面积32
D. 当点不是的顶点时，四边形不可能为正方形
【答案】ACD
【解析】
【分析】A由题设求参数；B设，其中且，求坐标，进而求正方形边长即可；C设点在轴上方，求其坐标，进而得，即可求面积；D设直线为，联立抛物线求，假设四边形为正方形，得到矛盾判断.
【详解】A.由题意得，解得，抛物线的方程为，正确；
B.不妨设，其中且，
由抛物线的对称性及正方形的性质得：，得，
则，，不正确.
C.当点是的顶点时，设与相交于点，则，
假设点在轴上方，则的坐标为，代入抛物线方程得，
此时正方形的边长为，所以正方形的面积为，正确；
D.四边形不可能为正方形，当点不是的顶点时，直线的斜率一定存在，
设其方程为坐标分别为，
联立，则，
则，即，
所以，，
因此，中点的坐标为，，
若四边形为正方形，则的中点也是，
因为点在轴上，所以，所以，代入，得，即，
所以，化简得，①
，
因为，所以，化简得，②
由①②得，或无解，故四边形不可能为正方形，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于D，设直线为，联立抛物线求，假设四边形为正方形，通过判断相关参数是否存在实数解判断.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在空间直角坐标系中，请写出一个单位向量的坐标为__________.（写出一个符合题意的坐标即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，由单位向量的模长为，即可得到结果.
【详解】因为单位向量的模长为，不妨令，
则可得一个单位向量的坐标为.
故答案为：
14. 正项等比数列中，，则的值是________.
【答案】20
【解析】
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】在等比数列中，，
，
故答案为:20.
15. 已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆分别是圆，上的动点.则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意有点在直线上，利用圆心到点距离判断圆上点到点距离最值，结合点关于直线对称转化求目标式最小值.
【详解】由题意，动点在直线上，动点在直线上，
线段的中点为，可得点在直线上，且易知与已知两圆相离，又圆半径分别为，
对于任意点，要使最小，只需，
点关于直线对称点，且，
则，
所以的最小值为.
故答案为：
16. 已知椭圆左焦点为，右顶点为，以为直径的圆与椭圆有三个公共点，则椭圆离心率的取值范围为________________________.
【答案】
【解析】
【分析】设公共点，点在以为直径的圆上，利用圆周角是直角方程，和椭圆方程联立，消去，利用韦达定理可求出，利用列不等式求离心率的范围.
【详解】设公共点，则
，，，
即，
则方程的两根为，
故化为.
故答案为.
【点睛】本题考查圆和椭圆的位置关系和椭圆离心率的范围求解，灵活利用韦达定理来解题，求离心率的范围要会发现题中变量之间的不等关系，考查了学生的计算能力，是中档题.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.
17. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（），
（1）求双曲线C的标准方程
（2）已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点,计算，即可得出答案．
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程，计算即可得出答案．
【小问1详解】
设双曲线的方程为,
代入,,得,解得,
所以双曲线方程为．
【小问2详解】
由,得,
设,,,,
则中点坐标为,,
由韦达定理可得,
所以,
所以中点坐标为,
因为点在圆上，
所以,解得．
18. 已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过定点的直线与点的轨迹交于不同的两点，且满足，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）设出动点坐标，利用中点坐标公式表示动点，代入圆方程，整理可得答案；
（2）将直线分斜率存在与不存在两种情况，联立直线与圆方程，写出韦达定理，代入条件中的等式，解得答案.
【小问1详解】
设，动点，由中点的坐标公式解得，，
由得，∴点M的轨迹方程是.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线，与圆交于，，此时解得，不合题意．
当直线的斜率存在时，设直线，则由，消去，得，
由已知可得，，，，整理可得，，解得或，经检验.
综上：直线为或.
19. 已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值．
【答案】（1）；或
（2）13
【解析】
【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列与等比数列基本量的计算即可求解；
（2）利用错位相减法可得，进而根据数列的单调性即可求解不等式.
【小问1详解】
，
又，
，故，解得或 (舍去)；
，
，
，又，
或.
【小问2详解】
由（1）知，
所以，
，
错位相减得：
由，可得
令，
令，得，
故当且时，；当且时，；当时，，
又，而
故，满足
所以满足的的最小值为13.
20. 已知抛物线的焦点为，直线，点，点在抛物线上，直线与直线交于点，线段的中点为．
（1）求的最小值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）4 （2）2
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的准线方程，设点和点到准线的距离为，，
由抛物线定义得到，求出；
（2）设点，由向量比例关系求出，代入抛物线方程，结合点在直线上，化简得到，同理得到，故是关于的方程，求出两根之和.
【小问1详解】
依题意，抛物线的准线方程为．
设点到准线的距离为，点到准线的距离为
由抛物线的定义可知，，
，
故的最小值为4．
【小问2详解】
设点，且，
则，
因为，所以，
因此，即，
又在抛物线上，所以，
故①．
由于点在直线上，
所以，把此式代入①式并化简得：②，
同理由可得③，
由②③得是关于的方程的两根，此时判别式大于0，
由根与系数的关系，得．
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
21. 已知数列满足，且对一切，有，其中为数列的前n项和．
（1）求证：对一切，有；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）把两式a13+a23+…+an3=Sn2，，相减即可得到，即，又an+1＞0，可得；
（2）当n≥2时，由an+12﹣an+1=2Sn及可得（an+1﹣an）（an+1+an）=an+1+an，进而得到an+1﹣an=1，（*），,当n=1，2时也满足（*）．数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由bn=2n•an═n•2n，可得Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，利用“错位相减法”及其等比数列的前n项和公式即可得出．
【详解】（1）∵a13+a23+…+an3=Sn2，，
∴，
∴（Sn+1﹣Sn）（Sn+1+Sn）=，
即，又an+1＞0，
∴，∴，
∴an+12﹣an+1=2Sn；
（2）当n≥2时，
由an+12﹣an+1=2Sn及可得（an+1﹣an）（an+1+an）=an+1+an，
∵an+1+an＞0，∴an+1﹣an=1，（*）
当n=1时，，a1＞0，可得a1=1，
当n=2时，，得到，及a2＞0，解得a2=2．
a2﹣a1=1也满足（*）．
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，其通项公式an=1+（n﹣1）×1=n．
（3）欲证不等式成立，
即证不等式成立．
设，，
因为，所以，即．
所以．
【点睛】熟练掌握等差数列及等比数列的通项公式、前n项和公式、“不等式的证明”及其an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）是解题的关键．
22. 已知椭圆，其中是与无关的实数.
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，如图所示，过点的直线与椭圆分别相交于点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，试探究直线是否恒过定点？若是，求出这个定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解；
（2）由时，得到，设直线的方程为，联立方程组，得到，又由的方程，联立方程组得到，得到，得出，写出直线的方程，根据直线的方程为，联立方程组求得，结合韦达定理，求得，得到直线恒过点.
【小问1详解】
由椭圆，可得，解得且，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
当时，可得椭圆，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则且，
又由过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，
则直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，
设，则且，所以，
将代入直线的方程，可得，即，
又由直线的方程为，
因为直线的方程为，
联立方程组，可得，
因为
，
，
所以，则，即直线恒过点.
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.