2023-2024学年江苏省五市十一校高二上学期12月阶段联测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省五市十一校高二上学期12月阶段联测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点，，都在直线l上，点不在直线l上．
故选：D．
2．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根据导数的定义求解.
【详解】因为,
所以,
故选:A.
3．抛物线的焦点到准线的距离为
A．4B．2C．1D．
【答案】C
【分析】根据抛物线方程中的几何意义进行求解即可．
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为：．
故选：C.
【点睛】本题考查对抛物线方程及对的几何意义的理解，属于基础题．
4．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（ ）
A．1.2mB．1.3 mC．1.4 mD．1.5 m
【答案】B
【分析】设半径为R，根据垂径定理可以列方程求解即可.
【详解】设半径为R，,解得,化简得.
故选：B.
5．已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．182B．128C．56D．42
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项及求和公式，列出不等式组，求得的值，代入公式，即可求得；
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，
由，，得，
解得，所以；
故选:D.
6．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据求出双曲线的渐近线方程 ，从而得，由求得，从而求解.
【详解】由题意设双曲线方程为，因为的渐近线方程为，
所以得，又因为的焦点为，所以.
由，所以可得：，，故双曲线的方程为，故B项正确.
故选：B.
7．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值.
【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，
，
，
由得：，解得：，又，.
故选：B.
8．椭圆的左焦点为F，右顶点为A，以F为圆心，为半径的圆与E交于点P，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知得，右焦点为，中利用余弦定理列方程，由齐次式可求E的离心率.
【详解】由题意，，，由，，
右焦点为，连接，有，
中，，
化简得，即，
则E的离心率为.
故选：C
【点睛】思路点睛：点P在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a，求椭圆离心率，结合其它条件构造齐次式即可得解.
二、多选题
9．已知直线，则（ ）
A．直线始终过第二象限
B．时，直线的倾斜角为
C．时，直线过点
D．点到直线的最大距离为
【答案】ACD
【分析】直线变形后求出直线过的定点即可对A项判断；求出直线的斜率，得到倾斜角，即可对B项判断；求出直线，并验证点是否在直线上，即可对C项判断；直线过的定点与点的连线垂直时，距离最大，由两点间距离公式求出答案，即可对D项判断；
【详解】对于A：直线：，可化为，
令，解得，所以直线恒过点，故A项正确；
对于B：当时，直线：，斜率为，所以倾斜角为，故B项错误；
对于C：当时，直线：，把点代入得，故C项正确；
对于D：当直线过的定点与点的连线垂直直线时距离最大，
所以最大距离为，故D项正确.
故选：ACD.
10．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若，分别是圆，上的动点，则
【答案】BCD
【分析】求出圆心距，判断两圆位置关系即可判断A；两圆方程相减消去二次项可判断B；利用点到直线的距离公式求到相交弦的距离，然后由弦长公式求弦长可判断C；观察图形可知，可判断D.
【详解】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
因为，，故两圆相交，
所以与的公切线恰有2条，故A错误；
两圆方程做差可得与相交弦的方程为，故B正确；
由点到直线的距离公式得到相交弦的距离为，
故相交弦的弦长为，C正确；.
由图可知，，故D正确.
故选：BCD
11．已知等差数列的前项和为，且，则下列命题中正确的是（ ）
A．B．
C．D．数列中最大项为
【答案】ABC
【分析】由已知可得，再利用等差数列性质即可依次判断.
【详解】，，，故A正确；
又，故B正确；
，故C正确；
由可得{Sn}中最大项为S6，故D错误．
故选：ABC.
12．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
【答案】BCD
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.
【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
13．直线在轴上的截距是 ．
【答案】
【分析】由直线：，令，得从而求解.
【详解】由题意知，令，得，
所以直线：在轴上的截距为.
故答案为：.
14．已知数列为等比数列，，则 ．
【答案】48
【分析】根据等比数列的定义及通项公式可得解.
【详解】由题意，，
所以.
故答案为：48
15．已知抛物线的顶点为，焦点为，且经过点，若，则 .
【答案】
【分析】结合抛物线的定义与几何性质建立关系，即可求得.
【详解】
因为点在抛物线上，，
所以，所以，所以，所以，解得.
故答案为：.
16．已知点，圆上恰有两点满足，则r的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据数量积的坐标运算可得点的轨迹为以点为圆心，半径为2的圆，即可根据两圆有两个交点求解.
【详解】设，则，
由得，
故点的轨迹为以点为圆心，半径为2的圆，
要使圆上恰有两点满足，
则与两圆有两个交点，
故，解得，
故答案为：
四、解答题
17．已知是等差数列的前n项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由等差数列通项公式基本量、d列方程求解，即可由定义得出通项公式；
（2）由列项相消法求和.
【详解】（1）设等差数列的前n项为，公差为d，则，解得.
故数列的通项公式；
（2），故
18．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)直线：与圆交于两点，且，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，再求出圆的半径即得.
（2）由给定弦长，结合圆的弦长公式求出弦心距，再利用点到直线距离公式计算即得.
【详解】（1）圆过点，，则点在线段的中垂线上，
由，得点，圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）直线被圆所截弦长，则点到直线的距离，
因此，解得
所以实数的值为.
19．已知等差数列的前n项和为，且，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式.
（2）利用错位相减，化简解可得出答案.
【详解】（1）由题意知：，（）
即：化简得.
所以数列的通项公式.
（2）因为
所以 ①，
可得 ②，
①-②得：.
故.
20．平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据抛物线的定义，直接写出曲线C的方程；
（2）设，联立直线与抛物线，由得，应用韦达定理及中点公式得，结合求得，即可得结论.
【详解】（1）由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故，
所以曲线C的方程为.
（2）设，联立，得，
且，则，故，所以，
所以，又，即，不满足，
所以不存在满足要求的直线l.

21．设数列{}的前n项和为，已知，，且．
(1)求证：；
(2)求．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）当时，由题可得，，两式子相减可得，即，然后验证当时，命题成立即可；
（2）通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前项和的通项公式.
【详解】（1））由条件，对任意，有，
因而对任意，有，
两式相减，得，即，
又，所以，
故对一切，．
（2）由（1）知，，所以，
于是数列是首项，公比为3的等比数列，
数列是首项，公比为3的等比数列，
所以，
于是
．
所以.
22．已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用离心率以及椭圆经过点的坐标联立解方程组，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为并于椭圆联立，利用韦达定理写出直线的方程，求出点横坐标表达式即可得.
【详解】（1）由离心率可得，
将点代入椭圆方程可得，又；
解得，
所以椭圆C的方程为
（2）设点，，则，直线的方程为，
直线与椭圆联立，消去，得，
则可得，，
易知，得
由题意，直线的方程为，
令，所以点的横坐标，
所以直线与轴交于定点