2023-2024学年宁夏回族自治区高二上学期期末测试数学训练卷（一）含答案

这是一份2023-2024学年宁夏回族自治区高二上学期期末测试数学训练卷（一）含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．平行六面体中，，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由以及条件中系数对应相等可得答案.
【详解】由平行六面体可得，
又，
所以，
则.
故选：B.
2．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A.
【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.
3．已知直线和圆相交于M，N两点，当的面积最大时，m＝（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】结合圆的几何性质，求得弦长与点到直线的距离即可求解.
【详解】圆，圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则弦长为，
则的面积为
令，，则，
则当时，取得最大值，
此时，解得或.
故选：C
4．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案.
【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，
则椭圆方程为，
则，且，
解得，，
故该卫星远地点离地面的距离为
，
又，所以.
故选：A
5．双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设，显然线段的中点坐标为，
因为四边形为平行四边形，
所以线段的中点坐标和线段的中点坐标相同，即为，
因此点坐标为，
因为直线OC，AB的斜率之积为3，
所以，
因为点A，B均在E上，
所以，
两式相减得：，
所以两条渐近线方程的倾斜角为或，
故选：B

【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.
6．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（ ）
A．B．－
C．D．－
【答案】C
【分析】根据直线的垂直关系，可求得垂直直线的斜率；由斜率与倾斜角关系，结合同角三角函数关系式中齐次式化简方法可求得式子的值．
【详解】直线的斜率为，因此与此直线垂直的直线的斜率，
，
∴，
把代入得，
原式.
故选：C．
7．若点为椭圆上的点，、为其左右焦点，且，则的面积为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】先求得，再根据余弦定理、同角三角函数的基本关系式和三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，
根据椭圆的定义有，解得或，
所以，所以是钝角，
所以，
所以.
故选：B
8．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架是边长为2的正方形，两等腰三角形框架的腰长均为，框架所在的平面，，活动弹子分别在上移动，之间用有弹性的细线连接，且始终成立，则当的长度取得最小值时，（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算结合二次函数的性质求取最小值的条件.
【详解】取的中点分别为，连接，与交于点，
是边长为2的正方形，是等腰三角形，
则，连接，则，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
以为坐标原点，过作平行于的直线为轴，
在平面内过作垂直于平面的直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，在等腰三角形中，
，易知梯形为等腰梯形，过作，
则，则，
则，
所以，
当时，取得最小值.
故选：C.
二、多选题
9．方程表示的曲线中，可以是（ ）
A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线
【答案】AB
【分析】根据圆锥曲线方程的含义一一分析即可.
【详解】因为，则该曲线不表示圆，故C错误；
若，即时，方程表示的曲线是双曲线，故A正确；
若，即时，方程表示的曲线是椭圆，故B正确；
该方程为二元二次方程，则不可能表示抛物线，故D错误；
故选：AB.
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若，分别为直线l，m的方向向量，则
B．若为直线的方向向量，为平面的法向量，则或
C．若，分别为两个不同平面，的法向量，则
D．若向量是平面的法向量，向量，，则
【答案】BD
【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系，由两平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量与平面内的向量垂直得参数关系，从而判断各选项．
【详解】，，，
直线与不垂直，故A错误；
，或，故B正确；
，与不共线，不成立，故C错误；
由题可知即解得，故D正确．
故选：BD.
11．点为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，且为圆的直径时，的面积最大值为3
B．从点向圆引两条切线，切点为，线段的最小值为
C．为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得
D．当时，的最大值为
【答案】ABD
【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B；
由B项可判定C项；根据定弦定角确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D.
【详解】对于选项A，当为直径时，显然当时，
的面积取得最大值，所以A正确；
对于选项B，设，则，
所以越大，越小，
显然当点P在处时，最大，

此时，即，选项B正确；
对于选项C，由上可知当点P在处时，且为切线时，最大，
此时，即，
所以不存在符合的点，故选项C不正确；
对于D选项，设的中点D，则，
所以点D在以M为圆心，为半径的圆上，
易知，

设小圆半径为，则，则的最大值为，

故D正确．
故选：ABD
12．已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过点作两条均不垂直于轴的直线，，使得与抛物线均只有一个公共点，分别为，则（ ）
A．抛物线的方程为B．
C．直线经过点D．的面积为定值
【答案】ABC
【分析】选项A，根据题意设出抛物线方程，结合焦点坐标即可得抛物线方程；选项B，设出点的坐标及直线，的方程，与抛物线方程联立，结合直线与抛物线只有一个公共点及根与系数的关系可得，进而可得；选项C，写出直线的两点式方程，化为点斜式，可得直线经过点；选项D，根据写出的表达式，利用基本不等式可得解．
【详解】选项A：由题可设抛物线的方程为，
所以，所以抛物线的方程为，故A正确．
选项B：易知的准线方程为，故可设点的坐标为，
直线的斜率为，则直线的方程为，即，
与抛物线的方程联立，消去并整理得．
因为与抛物线只有一个公共点，所以，
所以．设直线的斜率为，同理可得，
所以是一元二次方程的两个实数根，
所以，所以，故B正确．
选项C：设，则直线的方程为，
由B可得，
所以，化简并整理得，
所以直线经过点，故C正确．
选项D：解法一 因为，所以
当且仅当时取等号，所以D错误．
解法二 设直线的方程为，代入抛物线方程，
整理得，设，则．
所以，
因为，所以，
则点到直线的距离，
所以，当且仅当时取等号，故D错误．
故选：ABC.
【点睛】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系，对考生运用所学知识寻找合理的运算途径以及运算求解能力提出了较高要求．
三、填空题
13．已知点，，圆 ()上存在唯一的点，使，则实数的值是 .
【答案】或
【分析】求得点的轨迹方程，由点的轨迹与圆只有一个公共点，列出方程，即可求解.
【详解】设，则，
因为，整理得，即，
所以点的轨迹方程为，
又因为圆上存在唯一的点符合题意，所以两圆内相切，
因为圆，可得圆心，半径，
圆，可得圆心，半径，
可得或，解得或，又，
所以实数的值为或.
故答案为：或.
14．已知直线与垂直，则
【答案】/
【分析】将化为斜截式方程得出斜率，根据直线垂直，列出方程求解，即可得出答案.
【详解】将化为斜截式方程可得，.
因为，所以，解得.
故答案为：
15．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .
【答案】
【详解】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
16．若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据双曲线方程求出、、，设右焦点为，再由双曲线的定义计算可得.
【详解】双曲线，则，，所以，设右焦点为，
圆，圆心为，半径，
圆，圆心为，半径，
且恰为双曲线的左焦点，，
又点是双曲线右支上的一点，则，
所以，
当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.
故答案为：
四、解答题
17．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若．

(1)求；
(2)求证：直线平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线性运算得到，，然后根据数量积的公式计算即可；
（2）利用空间向量的方法得到，，然后根据线面垂直的判定定理证明即可.
【详解】（1）
由题意得，，
所以
，
，
，
所以.
（2），，，
因为，
，
所以，，
因为，平面，
所以平面.
18．求适合下列条件的双曲线标准方程：
(1)经过点和；
(2)已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题，设出双曲线的方程为，代入求解；
（2）由题，设出双曲线的方程为，代入求解.
【详解】（1）设双曲线的方程为，
∵点P，Q在双曲线上，
∴，解得，
∴双曲线的标准方程为.
（2）由题意，渐近线方程为，令，
又在双曲线上，
∴，即.
19．已知直线：（，均为不等于0的实常数），直线：.
(1)若，求的值；
(2)若当时，过定点，为原点，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按题意列方程即可.
（2）由“ 过定点”列方程即可求解.
【详解】（1）由有
解得
（2）时
按整理得
令得，故
的斜率，故
解得
20．已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出双曲线的一条渐近线方程与抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出，即可得到抛物线方程；
（2）设过点与抛物线相切的直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由得到，即可求出的坐标，从而表示出中点的坐标，即可得到其轨迹方程.
【详解】（1）解：双曲线的一条渐近线为，
又抛物线的焦点的坐标为，
由题可得：，解得，故抛物线方程为：.
（2）解：设过点与抛物线相切的直线方程为，
联立抛物线方程可得，
则，又，则，
所以，，
设点的坐标为，则，即，代入，
可得，又，故；
则点的轨迹方程为：.
21．已知圆：.
(1)求圆心的坐标及半径的大小；
(2)已知直线与圆相切，且在x，y轴上的截距相等且不为0，求直线的方程；
(3)从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.
【答案】(1)圆心坐标，半径；
(2)或；
(3)
【分析】（1）化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径；
（2）设出直线的截距式方程，由圆心到切线的距离等于半径列式求得的值，则切线方程可求；
（3）由切线垂直于过切点的半径及列式求点的轨迹方程．
【详解】（1）由圆，得：，
圆心坐标，半径；
（2）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，
设直线方程，
圆，
圆心到切线的距离等于圆半径，
即：
或，
所求切线方程为：或；
（3）切线与半径垂直，设
,
由可得
所以点的轨迹方程为．
22．椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可；
（2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有，
在方程中，令，解得，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有，由可得：，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，
于是有，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，
化简，得，
设，于是有，
因为，
所以，
代入中，得，
于是有，
化简，得，代入中，得.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式得到.