2022-2023学年河南省济源市第六中学高二上学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省济源市第六中学高二上学期期末考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正弦定理知，，利用余弦定理求解即可.
【详解】在中，，
由正弦定理可知，，
，
故选：C.
【点睛】关键点睛：在中，.
2．设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出前三项为，，，并结合题意得到方程组，从而可求解.
【详解】由题意设前三项为，，，所以得，
解得，，又因为是递增的等差数列，所以，
所以首项.故B项正确.
故选：B.
3．在中，，，，则等于（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】直接利用余弦定理可解出答案.
【详解】因为在中，，，，
所以由余弦定理可得，即
所以，解得或
故选：C
【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单.
4．在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等比数列下标和性质和对数运算法则可知所求式子等于，代入可求得结果.
【详解】由等比数列性质可得：
故选：C
5．与向量共线的单位向量是（ ）
A．和B．
C．和D．
【答案】A
【分析】设，求出，再由与共线的单位向量是，求出结果．
【详解】解：设，，，
向量，，的模为，
故与向量，，共线的单位向量是，
即或，
故选：A．
6．若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，双曲线的左焦点坐标为：，抛物线 的准线方程为，
所以，解得： ，故选C．
7．在数列中，，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：在数列中，
故选A.
8．平行六面体中，若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量加法的平行四边形法则，以及向量相等的概念，根据题意，列出等量关系，求解即可.
【详解】因为，又因为且等式右边的三个向量不共面，
故可得，解得，
故可得.
故选：B.
9．如图所示，三点在地面的同一直线上，，从两点测得A的仰角分别是，则点A离地面的高AB等于( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先分别在直角三角形中表示出DB和CB，再根据列等式，求得AB.
【详解】依题意可知，，
.
故选D.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查转化思想和分析问题、解决问题的能力.
10．如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽为( )
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【详解】解：
解：如图建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2=-2py，
∵水面离拱顶2m时，水面宽4m
∴点（2，-2）在抛物线上，所以p=1，x2=-2y，
∵水面下降1m，即y=-3
而y=-3时，x=所以水面宽为．
∴若水面下降1m，水面的宽度为
11．给出下列命题：
①直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则
②直线l的方向向量为，平面的法向量为，则.
③平面，的法向量分别为，，则.
④平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则.
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用空间向量判定空间位置关系一一计算即可.
【详解】对于①，易知，即①正确；
对于②，易知，则或，即②错误；
对于③，易知，与不共线，即③错误；
对于④,易知，
则由题意可知，即④正确；
综上①④正确.
故选：B
12．若双曲线()的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先设出双曲线右支上一点坐标，根据到右焦点的距离和到原点的距离相等，利用两点间距离公式建立等式求得，进而利用的范围确定和的不等式关系，进而求得的范围．
【详解】设双曲线右支上一点坐标为，则，
该点到右焦点的距离和到原点的距离相等，
由两点间距离公式：得，
这样的点有两个，，，得.
故选：C．
二、填空题
13．已知命题，，则为___________.
【答案】，
【分析】由全称命题的否定求解即可
【详解】全称命题的否定为特称命题，
所以命题的否定是，.
故答案为：，
14．已知椭圆的离心率，则m的值为 ．
【答案】或3
【分析】分别对焦点在轴和轴讨论，结合离心率求解m即可.
【详解】已知椭圆方程为
当焦点在轴上，即时，有，
则
依题意得，解得m＝3.
当焦点在轴上，即时，有
则，依题意有
解得，即的值为或.
故答案为：或
15．设等比数列共有项，它的前项的和为100，后项之和为200，则该等比数列中间项的和等于 .
【答案】
【详解】前n项和、中间n项和、最后n项的和依次为a,b,c.由题意知
16．已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则 .
【答案】-1或-11/-11或-1
【分析】先求出，由题得，即，解方程即得解.
【详解】由题意，由空间中点到面距离的向量公式，
即，解得或－11.
故答案为：-1或-11
三、解答题
17．已知对于函数，，使；，恒成立.
(1)若是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是假命题，是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由于“，使”是真命题，可知，并解得，结合题意得出，即可求出实数的取值范围；
（2）由（1）得，当是真命题，则且，若为真命题，根据一元二次不等式恒成立求得，根据条件可知与一真一假，分类讨论真假和假真两种情况，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为“，使”是真命题，
可知，当，得，
所以，所以，
解得：且，
所以实数的取值范围是.
（2）解：由（1）得，当是真命题，则且，
若为真命题，即，恒成立，
则，解得：，
又因为是假命题，是真命题，所以与一真一假，
当为真命题，则且，当为假命题，则或，
所以若真假，解得：；
当为假命题，则或，当为真命题，则，
所以若假真，解得：或，
综上可得，实数的取值范围是.
18．已知，且，求的最大值.
【答案】
【分析】先利用两角差的正切公式和基本不等式，求得的最大值，由此求得的最大值..
【详解】由于，且，所以
,
且仅当，即，
又 ,
因为在上递增，所以.
【点睛】本小题主要考查两角差的正切公式，考查基本不等式的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．已知等差数列中，，，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）已知，前n项和为，若，求n的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由等比数列定义可得，再利用等差数列的通项公式代入即可得出公差，进而得出.
（2）利用裂项相消法可求得，再利用不等式的解法即可得出的最大值.
【详解】（1），，成等比数列，，
又，，，
，又，解得：，
；
（2）由（1）可得：，
，
，整理可得：，解得：，
，的最大值为.
【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为形式的数列，即，进而前后相消求得结果.
20．问：是否存在这样的一个三角形，同时具有以一下两个性质：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍.若存在，若存在，求出此三角形的三边边长；若不存在，请说明理由.
【答案】存在这样的三角形，边长依次为4，5，6.
【分析】利用正余弦定理计算即可.
【详解】设三角形的三边长依次为，对应角依次为；
由正弦定理，得，则，
又由余弦定理得，
化简得，
解得，即存在这样的三角形，边长依次为.
21．已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据椭圆的离心率以及点左､右顶点可以构成等腰直角三角形，即可求得的值，从而得椭圆的标准方程；
（2）根据直线与椭圆相交，联立直线与椭圆得交点，的坐标关系，利用直线，的斜率之积等于，可得，分别求与原点到的距离，求的面积，即可判断其是否为定值.
【详解】（1）解：椭圆离心率为，即，
点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形，
，，，故椭圆的方程为.
（2）解：由直线与椭圆交于，两点，设，，则
联立得，
，则
，
.
，
.
原点到的距离，
为定值.
22．如图1，在中，，分别为棱的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连接.
(1)求证：平面平面；
(2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）通过证明平面，即可证明平面平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴，利用空间向量求解即可；
（3）设线段上存在一点使二面角的余弦值为，则，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）因为中，，别为棱的中点，
所以，即，
又因为，即，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）得两两垂直，
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示坐标系，
由题意得，
所以，，
设平面的法向量，
则，解得，
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设线段上存在一点使二面角的余弦值为，
则，
由（2）得，则，所以点坐标为，
所以，，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，解得，
设二面角为，
所以，解得，
故线段上存在一点使二面角的余弦值为，此时.