2022-2023学年河南省焦作市第一中学高二下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省焦作市第一中学高二下学期期末考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合 ， 则 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
2．设是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算和加法运算求解即可.
【详解】由题意可得：.
故选：B.
3．已知的三个顶点的坐标分别为， 则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由 的三个顶点的坐标分别为，
可得，则且，
所以.
故选：D.
4．已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．6B．C．3D．
【答案】B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域,再平移求出直线在y轴上的截距最大，此时最大.
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：
由可得，则表示直线在y轴上的截距，截距越大，
越大，结合图形可知，当经过点A时,最大，
可得，即，即，此时取得最大值.
故选：B
5．双曲线的两焦点间的距离为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
【分析】由双曲线方程求双曲线参数c，即可得焦距.
【详解】由双曲线得，所以，
所以该双曲线的两焦点间的距离为.
故选：A
6．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】去掉绝对值，得到具体的函数表达式，即可作出判断.
【详解】当时，，排除C；
当时，，排除AB选项.
故选：D.
7．某样本的频率分布直方图如图，从样本中随机抽取一个数据，若该数据落在内的概率之比为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设四个小组的频率分别为，根据频率之和为，即可得到，从而利用频率列式求解.
【详解】根据数据落在内的概率之比为，
可设这四个小组的频率分别为，且频率之和为，即，
解得，则，解得.
故选：D
8．某程序框图如图， 若输人 ， 则运行程序后输出的结果为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合判断条件，即可求解.
【详解】根据给定的程序框图，可得：
第1次循环，满足判断条件，，，执行循环；
第2次循环，满足判断条件，，，执行循环；
第3次循环，满足判断条件，，，执行循环；
第4次循环，满足判断条件，，，执行循环；
第5次循环，不满足判断条件，输出结果.
故选：A.
9．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，化简曲线为，再由直线恒过定点，结合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.
【详解】由曲线，可得，
又由直线，可化为，直线恒过定点，
作出半圆与直线的图象，如图所示，
结合图象，可得，所以，
当直线与半圆相切时，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
10．已知函数在处取得最小值， 相邻对称轴间的距离为，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数，则函数的对称中心不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最小值，相邻对称轴的距离确定函数的解析式，然后根据平移变换得到的解析式，从而得到，再求出的对称中心，从而得到答案.
【详解】函数在处取得最小值，相邻对称轴间的距离为，
所以，，则，
所以，即，
又因为，所以，
所以，
将函数的图象向右平移个单位，得到函数，
则，
所以，
当时，即，
所以对称中心为，
当时，对称中心为，
当时，对称中心为，
当时，对称中心为，
当时，，
所以函数的对称中心不可能为，
故选：C.
11．已知点，抛物线的焦点为， 射线与抛物线 交于点，与拋物线准线相交于，若 ， 则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】过作准线，垂足为，根据抛物线的定义可得，可得，运算求解即可.
【详解】过作准线，垂足为，则，
由题意可得：，
且为锐角，则，
可得，
在中，，
即，解得.
故选：C.
12．已知对任意的 ， 都有 ， 当 时， ， 而 ， 则方程 的实数解的个数为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】确定函数的周期为2，在同一坐标系中，作出的图象，再画出的图象，观察得出交点个数，即为方程解的个数．
【详解】对任意的，都有，所以函数的周期为2，又当时，，
在同一坐标系中作出的图象，再画出的图象，
观察可得交点个数为9，即方程的实数解的个数为9.
故选：B.
二、填空题
13．若存在 ， 使得 ， 则实数的最大值为
【答案】2
【分析】根据题意求出的最大值即可.
【详解】当时，为减函数，
所以当时，有最大值2，故.
故答案为：2
14．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意结合导数，将单调性问题转化为不等式恒成立问题，再转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果.
【详解】
因为函数在区间上是增函数，
所以在区间上恒成立，即,
因为，当且仅当时取等号，
所以最小值为4，即
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属基础题.
15．已知抛物线在其上点处的切线斜率之和为 2 ， 则直线的倾斜角等于
【答案】/
【分析】设直线的方程为，联立方程组，得到，在求得，利用导数的几何意义，得到在点处的切线斜率分别为，结合题意，求得，进而求得直线的倾斜角.
【详解】设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
则，且，
又由，可得，可得，
所以在点处的切线斜率分别为，可得，
即，可得，解得，
设直线的倾斜角为，且，可得，所以.
故答案为：.
16．已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为
【答案】
【分析】用导数判断的单调性，根据单调性解不等式.
【详解】由得，，
所以在上为减函数，
由得， 解得或.
故答案为：
三、解答题
17．已知数列满足，设.
(1)判断数列是否为等比数列，并说明理由;
(2)求的通项公式.
【答案】(1)是等比数列，理由见解析
(2)
【分析】（1）整理得，即可证明；
（2）首先求出，则得到.
【详解】（1）由题知:即:，又，
是以1为首项,2为公比的等比数列
（2）由（1）知:，.
18．已知命题p：“∀x∈[1，2]， x2－lnx－a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】 (－∞，－4]∪[－2，]
【分析】根据题意，命题p，利用恒成立问题方法转化，求出a的取值范围；
命题q，由一元二次方程的根的情况分析可得a的取值范围，根据p、q都是真命题，将两次求出的a的范围求交集即可.
【详解】命题p：a≤x2－lnx在x∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝x2－lnx，f ′(x)＝x-＝ ，
当10，∴f(x)min＝f(1)＝.∴a≤. 即：当a≤时，p是真命题.，
命题q：Δ＝4a2－4(－8－6a)≥0，∴a≥－2或a≤－4.即当 a≥－2或a≤－4时，q是真命题，
综上，a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，]．
【点睛】以命题的真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题化简，判断每个简单命题为真(假)时，参数的取值范围，再根据题意，求解集的交、并、补即可.
19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有名女性.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？
（2）将日均收看该体育节目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有名女性，若从“超级体育迷”中任意选取人，求至少有名女性观众的概率.
附：
【答案】（1）列联表答案见解析，没有的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）.
【解析】（1）根据频率分布直方图，计算体育迷的人数，再结合条件依次填入列联表，并计算，并和临界值比较后进行判断；（2）首先由频率分布直方图计算“超级体育迷”的人数，在通过编号列举的方法，利用古典概型的计算公式计算概率.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而完成列联表如下：
将列联表中的数据代入公式计算，
得，
∴没有的把握认为“体育迷”与性别有关；
（2）由频率分布直方图可知“超级体育迷”为人，设是3名男超级体育迷， 是2名女超级体育迷，从而一切可能结果所组成基本事件为：
､､､､､
､､､､，
则由个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的，
用表示“任选人中，至少有人是女性”这一事件，
则由､､､､､､
这个基本事件组成，因而.
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，且轴.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线交椭圆于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据点的坐标和椭圆的定义求出c和a，然后求出椭圆方程即可；
（2）设直线：，与椭圆方程联立，根据向量的坐标运算结合韦达定理列式求解即可.
【详解】（1）轴，，.
，，，
椭圆的标准方程为.
（2）由题意可设直线的方程为，
由消去得
易知，设，则.
，，所以，解得，
所以直线的方程为，即或.

21．已知函数 .
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若在上存在极值，求的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求导，利用导数求解函数的单调区间；
（2）把在上存在极值转化为在上有异号零点，令，求导得在区间上单调递增，利用零点存在性定理列不等式求解即可.
【详解】（1）由题可知， ，
令，得.令，得.令，得.
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题可知，则.
令，则.
所以在上恒成立，所以在区间上单调递增.
因为，在区间上有极值.
所以，解得.
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合， 极轴与轴的正半轴重合，圆 的极坐标方程为，点的极坐标为.
(1)求点的直角坐标及圆的参数方程;
(2)已知直线过点，求圆心到直线的最大距离.
【答案】(1)， (为参数)
(2)
【分析】（1）将圆的极坐标方程化成普通方程，再写出参数方程；把点的极坐标方程化成直角坐标方程得出；
（2）当时，的长度即圆心到直线的最大距离，由两点距离公式求出即可.
【详解】（1）点的直角坐标为 即
因为，
两边同时乘以可得，即，
化简可得圆的普通方程为，
圆的参数方程为 (为参数).
（2）当时，的长度即圆心到直线的最大距离.
又圆心与点的距离为
所以圆心到直线的最大距离为.
23．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的最小值不小于2，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式，最后求并集即可求解；
（2）求出函数的最小值，列不等式求解即可.
【详解】（1）当时，不等式可化为即，则不等式解集为；
当时，不等式可化为即，则不等式解集为.
综上，原不等式的解集为.
（2），
显然，即，依题知，解得.
所以实数的取值范围为.
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计