2022-2023学年黑龙江省大兴安岭实验中学（东校区）高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省大兴安岭实验中学（东校区）高二下学期期末数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简集合和，然后求出即可.
【详解】，
，
.
故选：D.
【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题.
2．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由正态分布的特征得＝，选A.
3．若不等式的解集是，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用根于系数的关系先求出，再解不等式即可.
【详解】不等式的解集是
则根据对应方程的韦达定理得到：，
解得，
则的解集为
故选：A
4．“”是“”的
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：，，所以为充分不必要条件.
【解析】充要条件，不等式.
5．的展开式中的系数为（ ）
A．B．10C．D．30
【答案】C
【分析】可以看做个盒子，每个盒子中有，，三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，利用组合数公式，即可求出展开式中的系数.
【详解】可以看做个盒子，每个盒子中有，，三个元素，
现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，
所以展开式中含的项为，
故展开式中的系数为.
故选：C.
6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据指数函数与对数的性质比较的大小，再根据函数在上单调递减，可得，由此可得答案。
【详解】因为，，，
又函数在上单调递减，
所以，
即，
故选:A
【点睛】本题考查了指数函数的性质，对数的性质，考查了偶函数的应用，考查了根据单调性比较大小，属于基础题。
7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.若，则函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值及排除法判断即可；
【详解】解：函数定义域为，
因为，即且，
所以为非奇非偶函数，函数图象不关于原点对称，也不关于轴对称，故排除B、C；
当时，
则，
其中，故排除D；
故选：A
8．下列几个说法，其中错误的是（ ）
A．若函数有两个零点，则实数b的取值范围是
B．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若是奇函数，且实数k满足，则k的取值范围是
【答案】C
【分析】对于A，将零点转化为函数图像的交点即可；对于B，利用复合函数的单调性判断即可；对于C，利用复合函数的定义域求解即可；对于D，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】对于A，函数有两个零点，
即为函数的图象与直线的图象有两个交点，
可得，故A正确；
对于B，函数为复合函数，
令，，若满足题意，
只需在上为增函数，且，
所以，∴，B正确；
对于C，由函数的定义域为，即，得到，
则函数的定义域为，故C错误；
对于D，由题意，∴，经检验满足题意.
∴单调递减，
∵，，
∴，∴，D正确；
故选：C
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．命题“，”的否定为“，”
C．若幂函数在区间上是减函数，则
D．方程有一个正实根，一个负实根，则
【答案】BCD
【分析】对于A，举例判断即可，对于B，改量词否结论，对于C，由题意可得，且，从而可求出的值，对于D，由题意得，从而可求出的范围.
【详解】对于A，若，则满足，而，所以A错误，
对于B，命题“，”的否定为“，”，所以B正确，
对于C，因为幂函数在区间上是减函数，
所以，且，解得，所以C正确，
对于D，因为方程有一个正实根，一个负实根，
所以，解得，所以D正确，
故选：BCD
10．已知实数x，y满足，，且，则（ ）
A．xy的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为1D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式及其变形逐项分析A，B，D；由条件得，，从而由二次函数的图象与性质分析C.
【详解】对于A，，当且仅当时等号成立，所以A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，所以B正确；
对于C，因为，，且，所以，，（根据x，y的关系得到x的取值范围）
则，所以C错误；
对于D，，当且仅当，即，时等号成立，所以，所以D正确.
故选：ABD.
11．已知函数（，）的定义域为，则（ ）
A．B．
C．D．被8整除余数为1
【答案】BCD
【分析】利用赋值或，判断AB；对函数两边求导，再赋值，判断C；，展开后可判断余数，判断D.
【详解】因为，
对于A：当时，，①，故A错误；
对于B：当时，，②，
①②得，解得，故B正确；
对于C：，
令得，故C正确；
对于D：，所以被整除余数为1，故D正确.
故选：BCD
12．已知定义域为的函数满足，的部分解析式为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．若函数在内满足恒成立，则
C．存在实数，使得的图象与直线有7个交点
D．已知方程的解为，则
【答案】BCD
【分析】A选项，画出函数图象，数形结合得到函数单调性；B选项，计算出，数形结合得到；C选项，联立方程，计算出特殊位置时的值，数形结合得到的取值范围；D选项，首先分析出方程的解为4个时，，不妨设，根据对称性可得，数形结合得到.
【详解】因为，所以函数为奇函数，
函数的图象如图所示，

对于选项A，函数在上不单调，故A错误；
对于选项B，，结合图象可知，故B正确：
对于选项C，令，即，
由，解得或，
将代入中，得到，
分析可得，当时，的图象与直线有7个交点，故C正确；
对于选项D，当方程的解为4个时，，不妨设，根据对称性可得.
分析图象可知，当时，方程的解为3个，，
又因为，，所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
三、填空题
13．小赵､小钱､小孙､小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“个人去的景点不相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则 .
【答案】
【解析】利用条件概率求解.
【详解】小赵独自去一个景点共有种情况，即，
个人去的景点不同的情况有种，即，
所以.
故答案为：.
14．定义在R上的偶函数满足，且当时则= ．
【答案】2
【分析】利用确定函数的周期，再结合偶函数性质求值．
【详解】用x+1代换x，得，即f(x+2)=f(x)，f(x)为周期函数，T=2，
又 ， 是偶函数，所以，
故答案为：2．
【点睛】本题考查由函数的周期性和奇偶性求函数值，属于中档题.函数若满足，等时，则此函数为周期函数，且是它的一个周期．
15．我们比较熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为 ．
【答案】
【分析】根据“躺平点”新定义，可解得,，利用零点存在定理可得,即可得出结论.
【详解】根据“躺平点”定义可得，又；
所以，解得；
同理，即；
令，则，
即为上的单调递增函数，
又，
所以在有唯一零点，即；
易知，即，
解得；
因此可得.
故答案为：.
16．在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体细胞.已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙、丙、丁四种不同的试剂对、、、、、这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，且甲试剂不能对C细胞染色，则共有 种不同的染色方法（用数字作答）.
【答案】90.
【分析】先考虑C细胞的染色试剂没有限制的条件下相邻的细胞不能用同种试剂染色的方法种数，然后考虑用甲试剂对C细胞染色且相邻的细胞不能用同种试剂染色的方法种数，将两种方法种数作差即可得解.
【详解】不考虑甲试剂不能对C细胞染色，
若C、E细胞的染色试剂相同，共有种方法，
若C、E细胞的染色试剂不同，共有种方法，
共120种方法.
现考虑甲试剂对C细胞染色，
若C、E细胞的染色试剂相同，共有种方法，
若C、E细胞的染色试剂不同，共有，
共30种方法.
所以，符合条件的染色方法有120-30=90种.
故答案为：90.
【点睛】求解染色问题一般直接用两个计算原理求解，通常的作法是，按区域的不同以区域为主分布计数，用分布乘法原理进行求解.
四、解答题
17．为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.

(1)求图1中的值；
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
附：
【答案】(1)
(2)列联表见解析；认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；
【分析】（1）利用频率分布直方图中各矩形面积和为1建立方程求解即可；
（2）根据题目数据补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而求解即可.
【详解】（1）由题意可得，解得；
（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，
不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于.
18．小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．
(1)求小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望，方差．
【分析】（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A，利用独立事件的概率公式计算即可；
（2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3，求出随机变量对应的概率，可得分布列与期望及方差.
【详解】（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A，
则．
（2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3，
则，，，
所以X的分布列为
所以数学期望，
方差．
19．某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表：
并计算得，，.
(1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入；
(2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）；
(3)若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性.
附：样本相关系数，.
【答案】(1)平均每袋出厂价格为（元），平均月销售量为（万袋），平均月销售收入为（万元）
(2)
(3)该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性
【分析】（1）由表格中数据和参考数据进行计算即可；
（2）将样本相关系数公式转化为，利用表中数据和参考数据进行计算即可；
（3）将（2）中样本相关系数的绝对值与进行比较即可.
【详解】（1）该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为：
（元），
平均月销售量为（万袋），
平均月销售收入为（万元）.
（2）由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为：
.
（3）由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数，所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性.
20．某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是，且每个选题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）；
(2)请分析比较甲､乙两位考生的操作能力.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据超几何分布及二项分布分别求解即可；
（2）根据超几何分布及二项分布的数学期望及方差公式分别求解即得.
【详解】（1）记考生甲正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有，
且，，
所以，考生甲正确完成选题数的概率分布列如下表：
记考生乙正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有，
且，，
所以，考生乙正确完成选题数的概率分布列如下表：
（2），
，
从做对题的个数的数学期望看，两人水平相当；因为，因此可以判断甲考生的操作能力更强.
21．已知函数（且）的图象恒过定点，函数（且）的图象经过点.
(1)求函数的值域；
(2)讨论函数在区间上的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出点的坐标，代入函数的解析式可得出的值，求出的取值范围，利用指数函数的基本性质可求得的值域；
（2）令可得出，令，得，问题转化为直线与函数的图象的公共点个数，数形结合可得出结论.
【详解】（1）解：对于函数（且），
由可得，则，故点，
因为函数（且）的图象经过点，则，可得，
所以，，
因为，则，所以，，
因此，函数的值域为.
（2）解：易知，
函数的零点个数与方程的解的个数相同.
令，得，即.
当，令，得，
令，，该二次函数的对称轴为直线，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，，当时，，且函数在上单调递减，
作出函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，当或时，直线与函数的图象没有公共点，
此时，函数在上没有零点；
当或时，直线与函数的图象只有一个公共点，
此时，函数在上只有一个零点；
当时，直线与函数的图象有两个公共点，
此时，函数在上有两个零点.
综上所述，当或时，函数在上没有零点；
当或时，函数在上只有一个零点；
当时，函数在上有两个零点.
22．已知．
(1)求的单调区间；
(2)若，记，为函数的两个极值点，求的取值范围．
【答案】(1)的单调减区间为，的单调增区间为
(2)
【分析】（1）求导函数，利用导数的正负求解函数的单调性；
（2）先求导函数则有两个不等的正根，可得，令，构造函数，利用函数的单调性求解即可.
【详解】（1），（x＞0），令，则，
当时，，的单调减区间为．
当时，，的单调增区间为．
综上所述，的单调减区间为，的单调增区间为．
（2），，（x＞0），
∵，为两个极值点，∴有两个不等的正根，，
∴，，，，得，
，
令，（t＞1），得，
，因为t＞1，则，则，
∴在（1，＋∞）单调递减，∴，
即的取值范围为．
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
不经常整理
合计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100
X
1
2
3
P
月份序号
每袋出厂价格
月销售量
1
2
3
0
1
2
3