2023-2024学年河北省石家庄四中高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄四中高二上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆的长轴长为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程可得长轴长.
【详解】由题：椭圆，即，
所以其长轴长为.
故选：C
【点睛】此题考查根据椭圆的标准方程求椭圆的长轴长，关键在于准确识别.
2．数列，3，，，，…，则9是这个数列的第（ ）
A．12项B．13项C．14项D．15项
【答案】C
【分析】根据已知数列中前若干项，可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于n的方程，解方程得到答案.
【详解】数列，3，，，，…，可化为：，，，，，…，
则数列的通项公式为：
当时，
故选：C
【点睛】本题考查了归纳法求数列的通项公式，考查了学生数学归纳，数学运算的能力，属于基础题.
3．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列
【答案】A
【解析】作差得出和的大小关系，进而可判断出数列的单调性.
【详解】，，
，因此，数列是递增数列.
故选：A.
【点睛】本题考查数列单调性的判断，涉及数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
4．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【解析】求出双曲线的渐近线方程，将点代入即可得，再利用离心率公式即可求得离心率.
【详解】双曲线的一条渐近线为过第一象限，所以点在渐近线上，可得，所以
所以．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.
5．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质求解.
【详解】在等差数列 中，,所以.
故选：B.
6．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
7．在等比数列中，，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】应当做整体处理，可看做，求出，再进行求解．
【详解】，可求出=6，，选D.
【点睛】等比数列的求法主要是解决的问题，整体代换解决是数学中常用的方法，考生应强化指数的相关运算．
8．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（ ）
A．184斤B．176斤C．65斤D．60斤
【答案】A
【解析】根据等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，
则由题意得，，
解得，．
故选：A
二、多选题
9．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是
A．若为椭圆,则B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】AD
【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.
【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.
10．（多选）下列四个命题中，正确的有（ ）
A．数列的第项为
B．已知数列的通项公式为，则-8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为
D．数列的通项公式为，则数列是递增数列
【答案】ABD
【解析】A，由数列通项求解判断；的第出项为，B，令求解判断；C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，求解判断；D判断的符号即可.
【详解】A，数列的第出项为，A正确；
B，令，得或（舍去），B正确；
C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为，则其通项公式为，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为C错误；
D，，则，
因此数列是递增数列，D正确，
故选：ABD．
11．设是等差数列，是其间n项的和，且则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
【答案】ABD
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以，所以C不正确；
对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以，
所以和均为的最大值，所以D正确.
故选：ABD.
12．已知的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线C交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A．B．F为线段的中点
C．D．
【答案】ABC
【分析】由题意可得直线的方程为，联立直线和抛物线方程得到，．求出的值，
过点作垂直准线于点，得到为线段的中点即得解.
【详解】易知，由题意可得直线的方程为．
由，消去并整理，得，
解得，．
由，得，故正确;
∴，故错误;
过点作垂直准线于点，易知，
∴，∴．故正确.
∵，∴为线段的中点．故正确;
故选：．
三、填空题
13．与的等比中项是 ．
【答案】或
【分析】由等比中项性质列方程求等比中项即可.
【详解】令与的等比中项是，则，故.
故答案为：或
四、双空题（新）
14．已知双曲线E与双曲线共渐近线且经过点，则双曲线E的标准方程为 ，顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】（1）根据两个双曲线共渐近线，设双曲线的方程为，，再代入点的坐标，即可求双曲线方程和顶点坐标.
【详解】设双曲线的方程为，，
代入点，得，即，
所以双曲线方程为，整理为，
顶点在轴，且，所以顶点坐标为.
故答案为：；
五、填空题
15．已知数列中，…，则 ．
【答案】
【解析】先将和代入条件，然后两式相除，可得答案.
【详解】当时，有 ①
当时，有 ②
由①÷②，可得
故答案为：
16．设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】根据椭圆的定义和余弦定理、三角形的面积公式求解.
【详解】
设,
根据椭圆的定义可得，，
在中，设，
由余弦定理可得，
，
所以，
所以，所以，
所以，
故答案为: .
六、问答题
17．在数列中，.
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
【答案】（1）是，；（2）
【分析】（1）设，解方程，看是否为正整数即可．
（2）将看成二次函数，利用二次函数的最值来求．
【详解】（1）令，
解得或（舍去）.所以
（2），
由于，所以最大项为
【点睛】本题考查已知项求项数，注意项数要为整数，另外将数列的最值转化为函数的最值，解题会更加简单．
18．在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
【答案】(1)
(2)50
【分析】（1）利用等差数列通项公式求解；
（2）利用等差数列的前项和公式求解.
【详解】（1）设差数列的公差为，
则有，解得，
所以.
（2）因为时,; 时,;
所以
.
七、解答题
19．已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，
(1)求抛物线方程；
(2)求弦的长度；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意设抛物线为，结合所过的点求抛物线方程；
（2）由（1）及题设有直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求.
【详解】（1）由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点，
所以，则抛物线方程为.
（2）由（1）知：抛物线焦点为，则直线，
代入抛物线消去y，得，则，显然，
所以，，则.
八、问答题
20．已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆L的标准方程；
(2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由离心率、短轴长及椭圆参数关系列方程求参数，即得椭圆方程；
（2）设直线交椭圆于，将点代入椭圆方程，点差法求直线斜率，最后应用点斜式写出直线方程.
【详解】（1）由题意，则椭圆标准方程为；
（2）令过椭圆内一点的直线交椭圆于，
所以，两式作差得，则，
又，，故直线斜率为，
所以直线为，即.
21．是数列的前n项和，且
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列中最小的项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式求通项公式；
（2）根据数列的单调性求最小项.
【详解】（1）当时，，
当时，，满足上式，
所以.
（2）,
,
当时, ,即,所以;
当时, ,即,所以;
所以列中最小的项为.
九、解答题
22．已知双曲线的实轴长等于2，离心率，
(1)求双曲线方程；
(2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值3，理由见解析
【分析】（1）根据双曲线的关系求解；
（2）利用斜率公式以及点在双曲线上求解.
【详解】（1）由题可得，，解得，
所以双曲线方程为.
（2）是定值3，理由如下，
设，
则.