2023-2024学年江苏省徐州高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省徐州高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】因为一条直线经过两点，，
所以该直线的斜率为，
则有该直线的倾斜角满足，因为，
所以，
故选：B
2．数列3，5，9，17，33，…的通项公式为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查用规律来推导数列的通项，注意对每项进行标序，方便推导，如：
【详解】观察可知所以通项公式是
【点睛】本题属于基础题,主要考查利用数列的规律求通项，关键是找到规律．
3．已知直线，.当时，的值为（ ）
A．1B．C．或1D．
【答案】B
【分析】利用两直线平行的充要条件即得.
【详解】由直线，，
∴，得.
故选：B.
4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法求出直线的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可.
【详解】设，则，，
两式做差可得，
即，
又因为是的中点，则，
因此，即，
所以，
因此直线的方程为，即，
经检验，符合题意，故弦所在直线的方程为.
故选：B.
5．双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】由双曲线的渐近线的方程可得，再利用，将所得等式转化为关于离心率的方程，即可解得离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为
，
，，.
故选：A
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于常考题.
6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，改编书中一道题目如下：把60个大小相同的面包分给5个人，使每个人所得面包个数从少到多依次成等差数列，且较少的三份之和等于较多的两份之和，则最多的一份的面包个数为
A．16B．18C．19D．20
【答案】A
【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组再由通项公式可得．
【详解】由题意可得递增的等差数列共5项，设公差为，
由题意可得总和.又，
∴，联立解得，，
∴最多的一份为.
故选A．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题．
7．已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义求得，在中，利用余弦定理求得，在中，再次利用余弦定理即可得解.
【详解】解：由题意可得，
因为，
所以，
因为为椭圆的上顶点，
所以，则，
在中，
，
在中，
，
即，所以，
即椭圆的离心率为.
故选：C.

8．已知实数满足，，，则的最大值是（ ）
A．B．6C．D．12
【答案】D
【分析】分析所给出条件的几何意义，作图，根据几何意义运用点到直线的距离公式即可求出最大值.
【详解】如图：
设，，则原题等价于点 ， 是圆上两点，
并且，所以 ，
，
所以所求最大值就是 两点到直线 的距离之和 的 倍，
设AB的中点为M，由上图可知： ，就是M点到直线 的距离的 倍，
由于 是直角三角形， ，设的中点为，所以在圆上运动，
所以本题等价于求到直线的距离倍的最大值，
显然，最大值=原点O到直线 的距离与圆 的半径之和的 倍
；
故选：D.
二、多选题
9．记为等差数列的前项和.若，则以下结论一定正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．D．
【答案】AC
【分析】利用等差数列的通项公式得到，借助通项公式、求和公式、等差中项性质依次分析，即得解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，则，故，
所以，所以，故A正确；
由于的正负不清楚，故可能为最大值或最小值，故B错误；
因为，则，故C正确；
因为，所以，即，故D错误．
故选：AC.
10．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是B．当轴时，取最小值
C．若，则的最小值为3D．以线段为直径的圆与轴相切
【答案】AD
【分析】选项A：根据标准方程为的抛物线的准线方程是判断；选项B：设P点坐标，由抛物线定义表示，结合P点坐标的范围，即可求的最小值；选项C：数形结合，P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值；选项D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒
【详解】A：抛物线的准线为，故A正确；
B：设，则，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误；
C：作图分析：
当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的下面，故A在抛物线外部，
故当P、A、F三点共线时|PF|取最小值，故C错误；
D：根据题意，可得抛物线的焦点为，
设的中点为，可得，
由抛物线的定义，得，
，即点M到轴的距离等于以为直径的圆的半径，
因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒
故选:AD
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点､的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点到点的距离为4
C．上的点到直线的最大距离为6
D．过点作直线，若上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可.
【详解】设，则，
化简得，，则选项正确；
将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4，
则圆上的点到点的最小距离为，
则在圆上不存在点到点的距离为4，则选项B错误；
上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，
即，则选项C正确；
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2，
只需圆心到该直线的距离为2，即，
解得，则选项D正确．
故选：ACD．
12．已知首项为正数的等比数列的公比为，曲线，则下列叙述正确的有（ ）
A．为圆
B．离心率为2
C．离心率为
D．为共渐近线的双曲线
【答案】ACD
【分析】利用等比数列的性质及圆锥曲线的概念逐项分析即得.
【详解】∵首项为正数的等比数列的公比为，曲线，
当时，，所以，即曲线为圆心为，半径为的圆，故A正确；
当时，，所以与互为相反数且不为0，故为等轴双曲线，故曲线的离心率为，故B错误；
当时，数列为递增数列，，所以曲线焦点在x轴上的椭圆，
故的离心率为，故C正确；
当时，与异号，故曲线为双曲线，其渐近线为，即，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知a>0，若圆(x－a)2+y2=2与圆x2+(y－a)2=8外切，则a= .
【答案】3
【分析】由圆心距等于半径和求解．
【详解】圆(x－a)2+y2=2的圆心坐标为，半径为，圆x2+(y－a)2=8的圆心坐标为，半径为，
两圆外切，则，解得（因为），
故答案为：3.
14．直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】由是线段的中点，可得A、两点坐标，后可得直线方程.
【详解】因A、两点在x轴和轴上，设，
因是线段的中点，则，
故直线的截距式方程为：.
故答案为：.
15．以双曲线的下焦点为焦点的抛物线的标准方程为 .
【答案】
【分析】求出双曲线的下焦点坐标，即为抛物线的焦点，则，代入即可.
【详解】由双曲线得：，因为双曲线的下焦点为抛物线的焦点，抛物线的焦点坐标为，设抛物线方程为，所以
故答案为：.
16．在数列中，若，记是数列的前项和，则 .
【答案】
【解析】当为奇数时，可得数列的奇数项为公差为2的等差数列，当为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可.
【详解】∵，
∴当为奇数时，，即数列的奇数项为公差为2的等差数列，
当为偶数时，，
∴，
，
∴，
故答案为：2550.
【点睛】关键点点睛：
（1）得到数列的奇数项为公差是2的等差数列；
（2）得到数列的偶数项满足.
四、解答题
17．已知直线经过
(1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程；
(2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解；
（2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解.
【详解】（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为，
又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为.
（2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即；
当直线不过原点时，可设直线的方程为，
因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
18．已知是等差数列的前项和，且，，求：
(1)数列的通项公式
(2)数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，再根据前项和的公式求解即可；
（2）根据（1）可得，再裂项相消求和即可
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，所以．
所以，即
（2）由（1）知，，
所以
19．已知圆：和圆：.
(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程：
(2)求圆与圆的公共弦的长.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先求得圆的标准方程，由此求得，再分类讨论直线斜率存在的情况，利用点线距离公式即可求得直线的方程；
（2）先由圆心距判断得两圆相交，再由圆的一般方程相减得到公共弦方程，由此利用弦长公式即可求得公共弦长.
【详解】（1）由得，故圆的圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故，
若直线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
若直线斜率存在，设直线方程为，即，
故，解得，则直线方程为，
所以直线得方程为或.
（2）因为圆：，所以圆的圆心为，，
所以，，
故，即圆与圆相交，
联立，两式相减得公共弦方程为，
所以圆心到公共弦的距离为，
又因为，所以公共弦长为.
五、问答题
20．已知在等比数列中，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，得到，求得，进而求得数列的通项公式；
(2)由（1）可得，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为
因为，，成等差数列，可得，
所以，所以数列的通项公式.
(2)由（1）可得，
所以
.
【点睛】分组求和的解题策略：
1、一个数列的的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减；
2、分组转化求和的常见类型：
①若数列满足（为等差或等比数列），可分组求和；
②若（为等差或等比数列），可分组求和.
六、证明题
21．已知椭圆M：的离心率为，左顶点A到左焦点F的距离为1，椭圆M上一点B位于第一象限，点B与点C关于原点对称，直线CF与椭圆M的另一交点为D．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设直线AD的斜率为，直线AB的斜率为．求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆的性质进行求解即可；
（2）设出直线CF的方程与椭圆方程联立，根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【详解】（1）（1），，∴，，，
∴；
（2）设，，则，CF：
联立
∴，∴
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
七、解答题
22．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线相切于点，当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；
（2）分别将直线以及直线的方程与双曲线联立，表示出点与点的坐标，然后根据题意得到关于的方程组，解方程组即可求出结果.
【详解】（1）因为的右焦点为，且经过点，
所以，解得．
故双曲线的标准方程为．
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为．
联立消去，得．
由得且，
解得．
因为与垂直，所以设的方程为．
联立消去，化简得．
由且，得．
因为与双曲线有且仅有一个公共点，
所以，即，
化简得，且点．
因为点位于第一象限，所以，．
不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记与轴的交点为．
因为被轴分割为面积比为的两部分，且与面积相等，
所以与的面积比为，由此可得．
因此，即．
又因为，所以，解得．
因为，所以，
故直线的方程为．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.