2023-2024学年辽宁省六校协作体高二上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省六校协作体高二上学期期中联考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据斜率的定义求解．
【详解】由题意，得，解得.
故选：A.
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标
【详解】解：由，得，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，
所以，，
所以焦点坐标为，
故选：D
3．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得．
【详解】-＝，
.
故选：A．
4．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则a为（ ）
A．B．2C．或D．
【答案】C
【分析】先求出双曲线有渐近线方程，再由渐近线的夹角可得渐近线的倾斜角，从而列方程可求得结果
【详解】双曲线渐近线方程为，
因为双曲线的两条渐近线的夹角为，
所以或，解得或，
故选：C
5．同时与圆和圆都相切的直线共有
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】分别求出两圆的圆心坐标及半径，可知两圆相交，即可判断它们有2条公切线．
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
两圆的圆心距为，，故两圆相交，有2条公切线．
故答案为B
【点睛】本题考查了圆的方程，考查了两个圆的位置关系，考查了两圆的公切线，属于基础题．
6．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】易知焦点坐标，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可知.
【详解】抛物线的焦点为，由重心的性质有，
又由抛物线的定义知，
同理可得，
又因为，
所以，
故选：C．
7．将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解.
【详解】由题意，，，
如图所示，建立空间直角坐标系．

则，
∴
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
∴．
故选：D．
8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据点到直线距离公式、余弦定理，双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】双曲线C的左焦点，渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，
由勾股定理得，
在中，，所以，
在中，，，，
，
由余弦定理得，
化简得，即，因此，双曲线C的离心率为，
故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用互补两角的余弦值为零，进而运用余弦定理.
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C．过，两点的所有直线的方程为
D．直线与直线互相平行，则
【答案】ABC
【分析】根据直线一般式中平行和垂直满足的关系即可判断AD，根据截距式方程的定义即可判断B,根据两点式的适用条件即可判断C.
【详解】对于A, 直线与直线互相垂直,则需要满足：，解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，
对于B , 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和，
对于C，当或时，不能用表示两点的直线，
对于D，若直线与直线互相平行，则满足，解得，D说法正确，
故选：ABC
10．若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则曲线为椭圆B．若曲线为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
【答案】BD
【分析】根据的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.
【详解】对于A, 当时，此时曲线为圆，故A错，
对于B,若曲线为双曲线，则，即或， 故B对，
对于C, 若曲线为圆，则即，故曲线可能是圆，故C错，
对于D, 曲线表示焦点在轴上的椭圆,则，解得，故D对.
故选：BD.
11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（ ）
A．B．的面积等于
C．直线的斜率为D．的离心率等于
【答案】ABD
【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得B正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于.
【详解】由可知，
不妨设，又，可得；
利用椭圆定义可知，所以可得；
即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：

由，可知满足，所以；即A正确；
所以为等腰直角三角形，且，
因此的面积为，即B正确；
此时可得直线的斜率，所以C错误；
在等腰直角三角形中，易知，即可得离心率，即D正确；
故选：ABD
12．已知正方体棱长为2，为空间中一点，下列论述不正确的是（ ）
A．若，则异面直线与所成角的余弦值为
B．若，三棱锥的体积是定值
C．若，有且仅有一个点，使得平面
D．若，则异面直线和所成角取值范围是
【答案】AC
【分析】A选项，得到为的中点，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式求出答案；B选项，点在线段上，利用等体积法得到为定值；C选项，作出辅助线，得到点在线段上，得到，利用向量垂直得到方程，求出，不合要求，C错误；D选项，求出，设异面直线和所成角大小为，换元后求出，结合配方法得到所成角取值范围是.
【详解】A选项，若，则为的中点，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
则，

则异面直线与所成角的余弦值为，A错误；
B选项，因为，所以，
故与平行，即点在线段上，
则为定值，又到平面的距离为2，
故，
所以当，三棱锥的体积是定值，B正确；
C选项，取的中点，的中点，连接，
因为，所以，
即，故点在线段上，
设，
则，解得，不合要求，
故不存在点，使得平面，C错误；
D选项，因为，故点在线段上，
设，则，解得，
故，设异面直线和所成角大小为，
则，
因为，令，则，
当，即时，，此时，
当，
则，
其中，故，
，
由于在上单调递减，
此时异面直线和所成角取值范围是，
综上，异面直线和所成角取值范围是，D正确.
故选：AC
三、填空题
13．已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为 ．
【答案】60°/
【分析】根据向量数量积求出与夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围即可求出角．
【详解】，
∵异面直线夹角范围是，
∴AB和CD所成角的大小为60°．
故答案为：60°．
14．已知定点和圆上的动点，动点满足，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设，根据向量关系得到，代入圆方程化简得到答案.
【详解】设，
故代入圆方程得到
故答案为：
【点睛】本题考查了圆的轨迹方程，变换得到是解题的关键.
15．已知是椭圆上一点，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设,
所以,
由于，故当，取最小值，
故答案为：
16．由曲线围成的图形的面积为 .
【答案】
【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解.
【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可，
当，时，曲线可化为：，
表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，
则第一象限围成的面积为，
故曲线围成的图形的面积为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知圆C的圆心在直线上，且圆C与直线l：相切于点.
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线过点且被圆C所截得弦长为2，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或
【解析】（Ⅰ）由题可设圆心,利用圆心到直线距离等半径即可求解（Ⅱ）由平面几何性质可得圆心到直线距离，分斜率存在不存在两种情况，设直线方程利用点到直线距离求解即可.
【详解】（Ⅰ）由题可设圆心，显然则，解得：，
所以圆心的坐标 ， ；
所以圆的标准方程为： .
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，可设直线的方程：，即：.
由题得： ，解得： ，
所求直线的方程为： .
当直线的斜率不存在时，直线，满足题意；
故所求直线的方程为：或.
【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，分类讨论，属于中档题.
18．如图，直三棱柱的侧面为正方形，分别为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，应用线面垂直判定定理证明即可；
（2）应用空间向量法求二面角余弦值即可.
【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，，
故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，
因为，
所以，
因为平面，所以平面.

（2）由（1）可知：平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
解得：，令，则，所以，
设平面与平面夹角为，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为.
19．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的上顶点，且，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设出椭圆方程，利用待定系数法求解即得.
（2）联立直线与椭圆方程，求出弦中点的坐标，再列式求解并验证即可.
【详解】（1）依题意，设椭圆的方程为（），半焦距为c，
则，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由消去y并整理得，
由，解得，
设，，则，
设线段的中点为，则，，而，
“”等价于“”，因此，解得，符合题意，
所以.
20．已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）不妨设，，，由可得，结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．

（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，
由于且直线的斜率不等于0，
不妨设，，，
则，，
由可得，
联立方程，消去x得
则，由韦达定理可得，
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直线，即.

21．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD ，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段AD上是否存在点，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（Ⅰ）只需证明，又由面面垂直的性质定理知平面；
（Ⅱ）连接、，假设存在点，使得它到平面的距离为，设，由，求得的值即可．
试题解析：（Ⅰ）证明：在中，为中点，所以．
又侧面底面，平面平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）连接、
假设存在点，使得它到平面的距离为．
设，则
因为，为的中点，
所以，且
所以
因为，且
所以
在中，
所以
所以
由，即
解得
所以存在点满足题意，此时．
【解析】1．平面与平面垂直的性质；2．几何体的体积．
22．已知是抛物线上位于第一象限的一点，且到的焦点的距离为5.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为坐标原点，为的焦点，，为上异于的两点，且直线与斜率乘积为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）结合抛物线定义以及已知条件即可求得，从而即可得到抛物线的方程.
（2）（i）先求出，由直线与斜率乘积为得到，然后分直线斜率是否存在进行讨论；（ii）当直线斜率存在时，设为，将其与抛物线方程联立，由韦达定理并结合抛物线定义表示出，即可求出此时的最小值，最后记得讨论直线斜率不存在时的情况.
【详解】（1）由题可知，解得.所以C的标准方程为.
（2）（i）由（1）知，，且，解得，所以.
设，则，同理可得，，
则，即.
当直线斜率存在时，直线的方程为，整理得.
所以，即，
所以直线过定点；
当直线的斜率不存在时，可得.
综上，直线过定点.
（ii）设，当直线斜率存在时，
设直线的方程为，
与抛物线联立得，消去得，
由题意，所以.
所以，
所以当时，的最小值为；
当直线斜率不存在时，.
由抛物线定义知.
故的最小值为.