2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.
【详解】由空间直角坐标系的性质可知，
点关于平面对称的点的坐标是.
故选：A
2．若向量，则（ ）
A．5B．8
C．10D．12
【答案】C
【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则.
故选：C
3．向量，，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．
【答案】B
【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.
【详解】由题设，故.
故选：B
4．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用直线的斜率等于倾斜角的正切值计算，即可得到.
【详解】直线的斜率为，则由，知.
故选：B
5．已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（ ）
A．，2B．，4C．，2D．，4
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程的特点即可求解.
【详解】因为圆的标准方程的圆心为，半径为，
所以圆的圆心和半径分别为，2.
故选：C.
6．若直线与平行，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】D
【分析】由两直线平行的条件求解．
【详解】由题意，．
故选：D．
7．已知直线：，和直线：垂直，则（ ）．
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】根据两直线垂直，得到方程，求出得或1.
【详解】因为直线和直线垂直，故，解得或1，
经检验，符合要求.
故选：C
8．已知，，那么它们的位置关系是（ ）
A．外离B．相切C．相交D．内含
【答案】C
【分析】将和方程化为标准方程，求得圆心和半径，进而求出，即可求得答案.
【详解】方程可化为，得，，
方程可化为，得，，
，
，
故两圆相交.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了判断两个圆的位置关系，解题关键是掌握判断圆位置关系的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9．在平行六面体中，其中，则（ ）
A．12B．C．6D．
【答案】D
【分析】建基底，把用基底表示，然后平方，即可求出.
【详解】根据条件，以，，作为一组基底，
因为，
所以，
即，
所以,
因为，
所以，
所以.
故选：D.
10．已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】直接利用点到直线的距离公式求出结果．
【详解】定点，，
故，所以；
故：，
所以，
所以点到直线的距离．
故选：C．
二、填空题
11．若，点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据空间向量的坐标表示直接构造方程求解即可.
【详解】设，则，
，解得：，.
故答案为：.
12．经过两点直线的斜率为 .
【答案】/
【分析】利用斜率公式可求答案.
【详解】因为，所以过两点直线的斜率为；
故答案为：
13．已知平面内有三点，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
【详解】
则，，
，
，解得．
故答案为：．
14．如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记，则等于 .（用表示）.
【答案】
【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】，，，
，
，
.
故答案为：.
15．点到直线：的距离是
【答案】
【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线：的距离是.
故答案为：.
16．直线和的交点坐标为
【答案】
【分析】联立方程即可求解.
【详解】联立,解得，所以交点坐标为，
故答案为：
17．平行线与间的距离为 ．
【答案】/
【分析】利用平行线间的距离公式计算可得答案.
【详解】将方程两边乘以2，得，
所以两平行线间的距离为．
故答案为：．
18．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为 .
【答案】
【分析】先求解的垂直平分线方程，与直线联立得到圆心，又半径，即得解
【详解】由题意，，中点坐标
故的垂直平分线斜率为，方程为：，即
联立，可得圆心
半径
故圆的方程为
故答案为：
三、解答题
19．已知的三个顶点坐标分别是.
(1)求边所在的直线的一般式方程；
(2)求边上的中线所在直线的一般式方程；
(3)求边上的高所在直线的一般式方程.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）先求出所在的直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程；
（2）先求出的中点坐标，再求出所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程；
（3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，求出边上的高所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程.
【详解】（1）由，
得所在的直线的斜率，
所以所在的直线的方程：，即，
所以边所在的直线的一般式方程：；
（2）由，
得的中点坐标为，所在的直线的斜率，
所以中线所在直线的方程：，即，
所以中线所在直线的一般式方程为；
（3）由得，边的斜率，
所以边上的高所在直线的斜率，
所以上的高所在直线的方程为：，
即，
所以边上的高所在直线的一般式方程为.
20．已知圆.
(1)过点作圆的切线，求的方程；
(2)若直线方程为与圆相交于两点，求.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果；
（2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长.
【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径为1，
由，可得点在圆外，
当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，
即，
则圆心到直线l的距离为，解得，
的方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切，
的方程为或；
（2）直线方程为，
则圆心到直线的距离，直线与圆相交，
21．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点.

(1)求证：//平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面和平面夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；
（2）求出，由运算即可得解；
（3）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解.
【详解】（1）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（2）由（1）得，，
设直线与平面所成角为，
则；
（3）由正方体的特征可得平面，故平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为，
即平面和平面夹角的正弦值为.

22．如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，为中点，为靠近的四等分点.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线和所成角的余弦值：
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解线线垂直，进而由线面垂直的判断求解；
（2）利用第一小问建立的空间直角坐标系计算即可；
（3）利用向量的投影计算即可.
【详解】（1）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
,，
,
因为，
所以，即
因为，
所以，即
又因为，平面，平面
因此平面
（2），，
则，
异面直线和所成角的余弦值为.
（3）点到平面的距离为在平面的一个法向量上的投影的绝对值，其中，所以点到平面的距离.