2023-2024学年新疆乌鲁木齐第六十一中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐第六十一中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示判断．
【详解】∵，∴ ，
又，∴，
故选：C．
2．图中的直线的斜率分别为，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据图像得到直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，，
由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得，
.
故选：D.
3．三角形的三个顶点为，则的中线的长为（ ）
A．3B．5C．9D．25
【答案】B
【分析】求出边的中点坐标，根据两点间的距离公式即可求得答案.
【详解】设边的中点为D，则D点坐标为，即，
故的中线的长为，
故选：B
4．椭圆与的（ ）
A．长轴的长相等B．短轴的长相等
C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
【分析】分别求出两个椭圆的长轴长，短轴长，焦距和离心率即可得到答案．
【详解】椭圆的焦点在上，
则长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，
椭圆的焦点在上，
则长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，
所以两椭圆的焦距相等．
故选：D．
5．已知两圆相交于两点和，两圆的圆心都在直线上，则的值为．
A．B．2C．3D．0
【答案】C
【分析】根据条件知：两圆的圆心的所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，以及两圆的交点的中点在两圆的圆心的所在的直线上，由此得到方程，得解.
【详解】由已知两圆的交点与两圆的圆心的所在的直线垂直，，所以，
又因为两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，
所以，解得：，
所以，
故选.
【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解答此题的关键是需知两圆的圆心所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，并且两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，此题属于基础题.
6．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程是：
故选：A
7．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（ ）
A．2B．8C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，，则，进而由椭圆的离心率公式，解得的值.
【详解】由题意，得，，则，
所以椭圆的离心率，解得m=8.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，注意由椭圆的焦点位置，分析椭圆的方程的形式，属于基础题.
8．已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径，消去，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心的轨迹，进一步求出其方程.
【详解】设动圆的圆心，半径为
圆与圆:内切，与C2：外切.
所以.
由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.
则，所以
动圆的圆心的轨迹方程为：
故选：D
【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.
9．已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的性质，根据，，可得，，求解，然后推出椭圆的长轴长．
【详解】
椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，
于，，，
可得，，，
解得，
所以所求椭圆的长轴长为，
故选：A．
10．已知曲线.以下结论正确的个数是（ ）
①若，则是椭圆，其焦点在轴上；②若，则是圆，其半径为；③若，则是双曲线，其渐近线方程为；④若，则是两条直线.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】对于①：化为椭圆的标准方程，即可判断；对于②：求出圆的半径为，不一定是，即可判断；对于③：直接判断C是双曲线，求出其渐近线方程；对于④：直接判断C是两条直线.
【详解】对于①，方程可化为，由，得，所以椭圆焦点在轴上，故①正确；
对于②，由，方程可化为，所以半径，不一定等于，故②错误；
对于③，当时，曲线是双曲线，令，解得渐近线方程为，故③正确；
对于④，若，，则方程变为，解得，为两条直线，故④正确.
所以正确的个数为3.
故选：C.
11．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中），如图所示，

其中点是相应椭圆的焦点．若是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（ ）
A．，1B．，1
C．5，3D．5，4
【答案】A
【分析】由椭圆方程表示出两个椭圆的半焦距，通过解方程得a，b的值.
【详解】是边长为1的等边三角形，
则有， ，
∴，∴，得.
故选：A．
12．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.
【详解】设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交点），
故选：A.
二、填空题
13．已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】根据直线点斜式方程，直线斜率为且过点时，直线方程为，代入题中已知即可得出答案.
【详解】已知直线斜率为2且经过点，
由直线点斜式方程得直线的方程为：，即.
故答案为：.
14．已知向量两两夹角为，且，则 ．
【答案】
【分析】利用空间向量数量积公式计算出，从而求出答案.
【详解】
，
故.
故答案为：
15．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
【答案】
【分析】根据椭圆的定义，三角形周长为，求得即可.
【详解】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，
可得△ABC的周长为4a，
由椭圆方程可得，解得.故.
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆的定义，属基础题.
16．已知是双曲线的焦点，是虚轴的一个端点，线段与双曲线交于点，且点恰是线段的中点，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】求得点坐标并代入双曲线的方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】不妨设，
则，将点坐标代入双曲线方程.
得.
故答案为：
三、解答题
17．求满足下列条件的曲线方程：
(1)已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6，求双曲线的标准方程；
(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据已知设出双曲线的标准方程，通过双曲线的性质结合题意列式求解即可；
（2）讨论椭圆焦点的位置，分别设出方程，通过椭圆的性质结合题意列式求解即可；
【详解】（1）已知双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为：，其中
离心率为，即，
两顶点间的距离为6，即，
联立，解得：，
故此双曲线的标准方程为：.
（2）①若椭圆的焦点在轴上，设方程为：，
已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，即，
过点，代入方程得：，解得：，
则，解得：，
则此椭圆的标准方程为：；
②若椭圆的焦点在轴上，设方程为：，
已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，即，
过点，代入方程得：，解得：，
则，解得：，
则此椭圆的标准方程为：；
故椭圆的标准方程为：或.
18．已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．
（Ⅰ）求直线的方程．
（Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）（2）1
【详解】（），解得，则点的坐标为．
由于点的坐标是，且所求直线与直线垂直，
可设所求直线的方程为．
将点坐标代入得，解得．
故所求直线的方程为．
（）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
19．已知圆的方程为.
(1)求过点，且与圆相切的直线的方程；
(2)是圆上一动点，点的坐标为.若点为的中点，求动点的轨迹方程.
【答案】(1)或.
(2)
【分析】（1）考虑切线斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.
（2）设，根据中点坐标公式得到，代入圆方程化简得到答案.
【详解】（1）当切线斜率不存在时，是圆的切线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得，故切线方程为，
综上所述：切线方程为：或.
（2）设，则，即，点在圆上，则，
即.
20．已知焦点在轴上的椭圆，离心率为.
(1)求实数的值；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，线段中点为.若直线的斜率为（为原点），求直线的方程.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）结合题意可得，进而求得，从而求解；
（2）设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而得到，进而根据斜率公式建立方程求解即可.
【详解】（1）由题意得，，
所以，，，即.
（2）由（1）知，椭圆方程为，
当直线的斜率不存在时，不符合题意，所以直线的斜率存在，
设直线的方程为，设，，
联立，整理得，
所以，即或，
，则，
所以，，即，
所以，解得，符合题意，
所以直线的方程为，即.
四、问答题
21．已知圆与直线相交于两点．
(1)求弦的长；
(2)若圆经过，且圆与圆的公共弦平行于直线，求圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点线距离公式与弦长公式即可得解；
（2）两圆相减求得公共弦方程，从而得到，再利用待定系数法即可得解.
【详解】（1）因为圆可化为，
则圆的圆心，半径为，
所以到直线的距离为，
所以弦的长为.
（2）设圆的方程为，
两圆方程相减得公共弦所在的直线方程为，
因为其与直线平行，所以，则．
又因为圆经过，所以，解得，
此时圆的方程为，经检验，满足题意，
所以圆的方程为．
五、证明题
22．已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.
(1)若直线又过的左焦点，求的值；
(2)若点的坐标为，求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出左焦点的坐标，设，，求出直线的方程，与双曲线方程联立，可得，，由两点间距离公式计算即可求解；
（2）设直线，与双曲线方程联立可得，，利用向量的坐标表示，整理即可求证.
【详解】（1）由双曲线可得，，所以，
所以，设，，
，所以直线的方程为，
由联立得：，
所以，
.
（2）由题意知直线的斜率存在，不妨设直线，
由可得：，
所以，，，，
.
所以为定值.
【点睛】思路点睛：解决定值、定点的方法
（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；
（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.