2023-2024学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆：的左右焦点分别是，，P在椭圆上，且，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】求出椭圆的长轴长，根据椭圆的定义，即可求得答案.
【详解】由题意知椭圆：的长轴长为，
又P在椭圆上，，故，
故选：D
2．直线平分圆C：，则（ ）
A．B．1C．-1D．-3
【答案】D
【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.
【详解】变形为，故圆心为，
由题意得圆心在上，故，解得.
故选：D
3．双曲线：的一条渐近线方程是，则E的离心率是（ ）
A．5B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线方程可知，据此即可求出双曲线的离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，可得，
又，则，即，则.
故选：B.
4．正方体中，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求解.
【详解】以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为2，
则，
则，
，
则异面直线与所成角的余弦值为．
故选：A.
5．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
若动圆与圆相外切，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得动圆圆心的轨迹方程是.
故选：C
6．已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】延长交于点P，根据平面基本定理，即可作出过E，F，G三点的平面与的交点H，作，推出，再作，即可推出，即可求得答案.
【详解】由题意，即G为靠近C的四等分点，F为CD的中点，
如图，延长交于点P，则平面，平面，
又平面，连接EP，则平面，而平面，
显然不平行，则二者相交，交点即为过E，F，G三点的平面与的交点H，
作，交于M，F为CD的中点，
则≌，则，结合，则，
由于，故，
作，交于N，则，
而E为AB的中点，即，故，
又，故，即，
故选：C
7．已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（ ）
A．10B．8C．5D．4
【答案】B
【分析】利用抛物线定义将转化为，继而数形结合，根据线段和的几何意义求得的最小值，即可求得答案.
【详解】由题意知抛物线C：上一点，则，
又，故在抛物线C：的外部，
则，
因为抛物线C：的焦点为，准线方程为，则，
故，
由于，当三点共线（P在之间）时，
取到最小值,
则的最小值为，
故选：B
8．已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意结合椭圆方程推出，结合得出，设直线方程为，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，代入中化简求值，即可求得答案.
【详解】设，则，，
则，故，
同理，而，
故；
由题意可知直线的斜率不为0，设方程为，
代入椭圆方程得：，
需满足，
设，则，
又，，即，
即，即，
得，
即，
整理得，解得，或，
当时，，直线过A点，不符合题意；
当时，，直线恒过点，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要根据题意结合椭圆方程得出，再结合得出，然后设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，化简求值，即可求解。
二、多选题
9．直线：，圆：，P是圆M上的动点，则（ ）
A．过且与直线垂直的直线方程为
B．直线与圆相交
C．点P到直线的距离最大值是5
D．点P到直线的距离最小值是1
【答案】BC
【分析】根据直线的位置关系及点斜式方程判断A；由圆心到直线的距离与半径的关系判断B；由点P到直线的距离最大值是判断C；由直线与圆相交可判断D.
【详解】直线：的斜率为，
圆：的圆心，半径，
过且与直线垂直的直线方程为，即，故A错误；
圆心直线：的距离，故直线与圆相交，故B正确；
点P到直线的距离最大值是，故C正确；
直线与圆相交，则点P到直线的距离最小值是0，故D错误.
故选：BC.
10．椭圆：的左右焦点分别为，，O是坐标原点，是椭圆E上一点，则（ ）
A．的周长是B．当时，面积最大
C．的最大值是5D．当时，面积为1
【答案】AD
【分析】根据椭圆方程求得的值 可判断A；确定时P点位于以为直径的圆上，数形结合，判断B；根据椭圆的几何性质判断C；根据当时，P点所处位置，结合椭圆定义，可求得面积，判断D.
【详解】对于椭圆：，设其长轴长为2a，焦距为2c，
则，
对于A，的周长是，A正确；
对于B，当时，，
此时P点位于以为直径的圆上，即P为该圆与椭圆的交点，
只有当P点位于椭圆的短轴上的顶点处时，面积才取最大值，
由于，结合图可知P不可能处于椭圆的短轴上的顶点处，B错误；
对于C，的最大值是，C错误；
对于D，当时，,则，
故，由于，
故，故，D正确，
故选：AD
11．设是坐标原点，直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B西点，是以为底边的等腰三角形，是抛物线C的准线，则（ ）
A．以直径的圆与准线相切B．
C．D．的面积是
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的定义及直线与圆的位置关系判断A；由条件求得的坐标，利用斜率公式判断B；根据向量的坐标运算判断C；根据三角形面积公式求解判断D.
【详解】直线与轴的交点为，即焦点，
则，故抛物线C的方程，
设，由题意可知点在第四象限，点在第一象限，
设的中点，过作，垂足为，
过作，垂足为，过作，垂足为，
则，
则以直径的圆与准线相切，故A正确；
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，得，
联立，得，
易知，则，则，得，
，故B错误；
∵，∴，故C正确；
的面积为，故D正确.
故选：ACD.
12．如图，四棱柱底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，P是线段上一点（包含端点），Q在四边形内运动（包含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．该四棱柱能装下球的最大半径是1
B．点到直线的距离最小值是
C．若为中点，且，则Q的轨迹长度为
D．的最小值是3
【答案】ACD
【分析】对于A，根据四棱柱的结构特征即可判断；对于B，将到直线的距离的最小值问题转化为点面距离，结合三棱锥的等体积法求得三棱锥的高，即可判断；对于C，利用线面垂直的判断以及性质，找到Q的轨迹，即可求得其长；对于D，将沿折起，使得和在同一平面内，即将空间线段和的问题转化为平面线段的长，即可判断.
【详解】对于A，由题意知四棱柱是底面边长为2，侧棱长为的正四棱柱，
故该四棱柱能装下球的最大直径是2，则半径为1，A正确；
对于B，连接，由于，平面，平面，
故平面，
P是线段上一点，故点到直线的距离最小值即为异面直线的公垂线段长，
即为到平面的距离，也即为到平面的距离，
即三棱锥的高，设为h；
由题意知,
故由，得，
即，则，B错误；
对于C，在正四棱柱中，，
故，即四边形为平行四边形，
由于为中点，连接，交即为P点，即共线，
因为，故；
又平面平面，故，
而平面，故平面，
平面，故，
故过点A作的垂线AM，垂足为M，并延长，交于G，则Q的轨迹即为线段，
则，故，
故∽，故，而，
即得，C正确；
对于D，在中，，
则，故，同理求得，
因为平面，平面，故平面平面，
将沿折起到如图位置，使得和在同一平面内，
则，过点作，垂足为N，则即为的最小值，
在中，，则，D正确，
故选：ACD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了空间几何的知识，涉及到线面平行以及垂直位置关系以及空间的轨迹问题和最值问题，综合性强，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的线面关系，注意利用等体积法和转化思想以及将空间问题平面化的处理方法，即可求解.
三、填空题
13．倾斜角为且经过点的直线方程是 .
【答案】
【分析】求得直线斜率，根据直线的点斜式方程即可得答案.
【详解】由题意知直线的倾斜角为，则直线斜率为，
又直线经过点，
故其方程为，即，
故答案为：
14．圆：与圆：的公共弦长是
【答案】2
【分析】设两圆的交点为，由两圆方程相减可得直线的方程，得直线过，即可得公共弦长．
【详解】设两圆的交点为，
圆：即，圆：，
两圆方程相减可得直线的方程为，
圆：的圆心为，半径，
则直线过，则公共弦长．
故答案为：2．
15．已知三棱锥中，平面，且，三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥的体积最大值是 .
【答案】
【分析】根据外接球半径找到底面三角形特点，结合基本不等式求最大值即可.
【详解】
棱锥的外接球表面积为，
又因为为外接圆直径,所以,
所以
.
故答案为：
16．双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段中点时t的范围,从而即可得结果.
【详解】因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点，
则，又，两式相减并化简可得，
又直线的斜率，即，
设直线l的方程为，联立 ,
化简可得
因为直线与双曲线有两个不同的交点，
所以，又，
化简得，即或，
所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切.
(1)求定点P的坐标；
(2)求圆C的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将分离参数，可得，解方程组，即可求得答案.
（2）设出圆的标准方程，由题意列出方程，求得参数，即可得答案.
【详解】（1）直线，即，
由于，故，
即直线过定点.
（2）设圆C的方程为，
由题意得圆C经过P点且与x轴正半轴和y轴正半轴都相切，
则且，即，
解得或，
故圆C的方程为或.
18．如图正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点F.

(1)求证：F是的中点；
(2)求点D到平面的距离.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到，结合E是棱的中点，得到结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间向量求解出点到平面的距离.
【详解】（1）连接，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
又，
所以四边形为平行四边形，
故，
故，
又E是棱的中点，
所以F是的中点.

（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，得，故，

点D到平面的距离为.
19．已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且.
(1)求E的方程；
(2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程
【答案】(1)
(2)或或.
【分析】（1）根据到其中一条渐近线的距离为1可求出b的值，根据可求出a的值，即可求得答案；
（2）判断直线斜率存在，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，利用双曲线弦长公式结合弦长可求出直线斜率，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知双曲线：的渐近线方程为，
，，
到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线，即，
则，
又过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且，
将代入中，得，
故，
故E的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，其方程为，代入，
得，即，不符合题意；

故直线l的斜率存在，设其方程为，联立，
得，
需满足，且，
设，则，
则
，
即，解得或，
故直线的方程为或，
即或或.
20．如图，A，C在以为直径的球上，，M是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，可知为外接圆的圆心，由题意得M是球心，则面，进而得结论；
（2）以为原点，以所在直线分别为轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解.
【详解】（1）取的中点，又，则为外接圆的圆心，
∵A，C在以为直径的球上，M是的中点，则M是球心，三角形的外接圆为球的截面小圆，
∴面，又面，
∴平面平面.
（2）以为原点，以所在直线分别为轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
∵，，，∴，则，
∵，∴，
则，
∴,
设平面的法向量为，
由，令，则，，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
∴，
则平面与平面夹角的余弦值.
21．已知抛物线C：与椭圆有公共的焦点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过的直线交抛物线C于A，B两点，试问在抛物线C上是否存在定点P，使得直线，的斜率存在且非零时，满足两直线的斜率之积为1，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由题意知抛物线C的焦点为，由此即可得抛物线C的方程；
（2）假设存在定点，设，设直线l方程为，与抛物线方程联立，设，由韦达定理得，进而得，由斜率公式计算，结合条件得恒成立，分析可得答案．
【详解】（1）椭圆的焦点为，
由题意知抛物线C：的焦点为，
则，故抛物线C的方程为．
（2）假设存在定点，设，
设直线l方程为，即，
联立，整理得，
由，解得，且，
设，则，
，
，
则，
∴，即，
则恒成立，
所以且，解得，
则存在满足题意．
22．已知椭圆：的焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆交于M，N两点，的周长为.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)直线：与椭圆有两个不同的交点A，B，直线与x轴的交点为D，若A，B都在x轴上方且点A在线段上，O为坐标原点，和面积分别为，，记，当满足条件的实数变化时，的取值范围是，求椭圆E的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意推出关于的关系式，即可求得离心率；
（2）将转化为，结合向量，表示出坐标之间的关系，再结合椭圆方程表示出的表达式，再结合椭圆范围得出关于a的方程，求出a，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知的周长为，
故，故.
（2）由题意可知直线：与椭圆有两个不同的交点A，B，直线与x轴的交点为D，
即，
由题意知A，B都在x轴上方，则D必在椭圆外，则，
又，则，
由于点A在线段上，故设，，
设，由得，
则，
又，则，
则，即，
结合，则，
可得，故，
设过点D和椭圆上半部分相切的切线的切点为P，则，
由，则，
由于，故，
结合可得，解得或（舍去），
又，故，
故椭圆E的方程为.
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆离心率的求解以及直线和椭圆位置关系中的范围问题，综合性强，计算量大，特别是第二问求解椭圆方程，解答时要将，转化为，结合向量的应用得出点的坐标之间的关系，表示出点A的横坐标，再结合椭圆方程得出点A的坐标，从而得出关于a的方程，求解即可得答案.