2023-2024学年重庆市部分学校高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市部分学校高二上学期期中数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．过 两点的直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.
【详解】由已知直线的斜率为 ，
所以倾斜角．
故选：D.
2．已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】结合椭圆的定义求得的最小值
【详解】，
设椭圆的右焦点为，
，
当在的正上方时，等号成立.
故选：D
3．过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
【答案】B
【分析】根据题意，当直线与轴平行和过点有且仅有一条切线，即可求解.
【详解】由题意，抛物线方程，点恰好再抛物线上，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与抛物线有两个交点，不满足题意；
当直线与轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；
因为点在抛物线上，过点有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，
所以与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.
故选：B.
4．三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根据各棱长可求得其外接球的半径，即可求得其外接球的表面积．
【详解】由于三棱锥中，平面ABC，，，
故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：
则体对角线即为外接球的直径，
所以，
故三棱锥的外接球表面积为．
故选：D
5．已知双曲线的离心率为，则双曲线E的两条渐近线的夹角为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】先根据离心率求出，进而可得渐近线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系可得渐近线的夹角.
【详解】当，即时，，解得，
则双曲线
此时渐近线的斜率为，所以渐近线的倾斜角为和，
所以双曲线E的两条渐近线的夹角为；
当，即时，，解得，
则双曲线
此时渐近线的斜率为，所以渐近线的倾斜角为和，
所以双曲线E的两条渐近线的夹角为；
故选：B.
6．已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出弦的两个端点的坐标，代入椭圆方程，作差整理可得弦所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案．
【详解】设弦的两个端点分别为，，
则，
①﹣②得：，
即，
所以．
故以点为中点的弦所在的直线方程为y，
整理得：.
故选：C.
7．已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】根据抛物线和圆的几何性质分析取最小值时，就是取得最大，设点代入求解.
【详解】抛物线的焦点坐标，该点就是的圆心，设，
要使最小，则取得最大，
的最小值即的最小值，令
即 ，
当时取得最小值，此时.
故选：C
8．如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】在和中，由正弦定理结合条件得到，设（），由双曲线的定义和勾股定理得到，结合即可求解.
【详解】在中，由正弦定理得：①，
在中，由正弦定理得：②，
又，则，
所以得：，
又，则，即；
设（），由双曲线的定义得：，，，
由得：，解得：，
所以，，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，即双曲线的离心率，
故选：C.
二、多选题
9．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）.
A．不论a为何值时，与都互相垂直；
B．当，与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
【答案】AD
【分析】对A，根据直线方程可判断；对B，可直接求出交点A可判断；对C，取特殊的点代入即可判断；对D，联立直线求出交点即可表示出即可求出最值.
【详解】对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，与x轴的交点，点A到原点的距离为，故B错误；
对于C，在l1上任取点，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于0，故C不正确；
对于D，联立，解得，即，
所以，所以的最大值是，故D正确.
故选：AD.
10．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8
B．椭圆上不存在点，使得
C．直线与椭圆恒有公共点
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的定义判断A正确；结合向量的数量积的坐标运算判断B错误；根据直线恒过定点以及点和椭圆的位置关系可知点在椭圆内，由此可判断C正确；结合两点间的距离公式可判断D正确.
【详解】解：
对于A选项：由椭圆的定义：
的周长为：，故A正确；
对于B选项：设，则，，
，
，解得
椭圆上存在点，使得，故B错误；
对于C选项：直线恒过定点
，故该定点在椭圆内，过该定点的直线和椭圆一定有交点，故C正确；
对于D选项：设，则P点到圆的圆心的距离
，故
，故D正确.
故选：ACD
11．如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（ ）
A．点为的中点
B．三棱锥的体积为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是
【答案】ABC
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面EFG的法向量，由列出方程，求出，得到点为的中点；
B选项，求出点到平面EFG的距离，利用余弦定理及三角形面积公式得到，得到三棱锥的体积；
C选项，利用空间向量求解线面角的大小；
D选项，作出辅助线得到过点、、作正方体的截面为正六边形，得到其面积即可.
【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面EFG的法向量为，
则，
令，则，故，
A选项，设，则，
因为平面，
所以，即，
解得：，
故，故，
，
所以，则点为的中点，A正确；
设点到平面EFG的距离为d，
则，
又，，，
即，
由余弦定理得：，
故，则，
由三角形面积公式可得：，
故三棱锥的体积为，B正确；
，设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为，C正确；
取的中点，的中点，的中点，连接，
则过点、、作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，
正六边形的面积为
则截面面积为，D错误.
故选：ABC
12．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．在线段上运动，已知，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可
【详解】表示线段上的点与连线的斜率，
因为
所以由图可知的取值范围是．
故答案为：
14．已知圆：，圆：，、分别是圆，上动点是轴上动点，则的最大值是 .
【答案】/
【分析】由两圆方程写出圆心、半径，进而判断两圆的位置关系，再根据圆的性质将转化为两圆上动点的距离最大问题，即可得答案.
【详解】由题设，且半径，且半径，
所以，即圆包含圆，
又、分别是圆，上动点是轴上动点，
要使的最大，共线且在的两侧，
所以.
故答案为：
15．已知双曲线的左右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点P在双曲线上，且，则 ．
【答案】13
【分析】根据渐近线的倾斜角可得，再根据双曲线的定义求解即可
【详解】由题意，，故，双曲线，，因为小于到右顶点的距离，故在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得，解得
故答案为：13
16．如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围 .
【答案】
【分析】连接，由线面垂直的性质得到，再由勾股定理求出，即可得到以为圆心2为半径的圆面上，再根据得到当在边上时四面体的体积最大，当在边的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范围.
【详解】连接，如图所示，
因为平面，平面，所以，
∵，由，，则；
所以在以为圆心2为半径的圆面上，由题意可知，，
所以当在边上时，四面体的体积的最大值是.
所以当在边的中点时，的面积取得最小值，此时，
所以四面体的体积的最小值是，所以，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：
求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式，
通常会有以下两种：
①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；
②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.
四、解答题
17．已知圆M的圆心在直线上，圆M与y轴相切，且圆M截x轴正半轴所得弦长为．
(1)求圆M的标准方程；
(2)若过点且斜率为k的直线l交圆M于A、B两点，且点，当的面积为，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意列出方程组，解出圆心、半径即可得解；
（2）利用圆心距，半径求出弦长，再由点到直线的距离求出三角形的高，根据面积建立方程求解k即可得解.
【详解】（1）设圆M的圆心，半径为r，则由已知可得，
所以，所以圆的方程为．
（2）根据题意，设直线l的方程为，
则圆心M到直线l的距离，则，
又由，则P到直线l的距离，
若的面积为，则有，
解可得：，则直线l的方程为．
18．直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值；
（3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，则，
易知平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
（2）解：，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，.
因此，直线与平面夹角的正弦值为.
（3）解：，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，则，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
19．已知抛物线上的点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合抛物线的定义可求出的值，从而可求出抛物线的方程，
（2）设，将直线方程代入椭圆方程中消去，整理利用根与系数的关系，结合列方程可求出，从而可得直线方程
【详解】（1）因为抛物线上的点到焦点的距离为，
所以，解得，
所以抛物线方程为
（2）抛物线的焦点，设，
由，得，
由，得，
，
因为，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
化简得，得，
所以直线的方程为，即
20．已知椭圆C：（）右焦点为，为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且的周长为.P是椭圆上一动点，M是直线上一点，且直线轴.
(1)求椭圆C的方程：
(2)记直线与椭圆另一交点为Q，直线是否过x轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)过定点N.
【分析】（1）根据，由，得到，再根据的周长为求解；
（2），设，与椭圆方程联立，得到直线QM的方程为，令，得，结合韦达定理求解.
【详解】（1）解：因为椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，且，
所以，即，
又，，
解得，
所以椭圆方程为；
（2），易知直线PQ斜率为0时，QM为x轴，
则若QM过定点，则定点位于x轴上，
当直线PQ斜率不为0时，设，
与椭圆方程联立，得，
设，
则，
，
所以直线QM的方程为，
令，得，
因为，
所以，
故直线QM过定点N.
21．如图1，在平面四边形PDCB中，，，，.将沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如图2所示.
(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
(2)点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为，求线段BQ的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由题可得平面，进而证得；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式列出方程，即可求解.
【详解】（1）依题意，，
因为，所以，
由于平面平面ABCD，且交线为AB，平面ABCD，
所以平面SAB，
因为l是平面SDC与平面SAB的交线，
所以平面SAB，
故.
（2）由上可知，平面SAB，所以，
由题意可知，，
以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设，则，，
设是平面QBD的一个法向量，
则，令，可得
由于是平面CBD的一个法向量，
依题意，二面角的余弦值为，
所以，
解得，
此时，，
即线段BQ的长为.
22．已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设双曲线C的方程为，代入坐标可得答案；
（2）当直线l的斜率不存在时，可得A､B的坐标及的周长；当直线l的斜率存在，设直线l的方程为，与双曲线方程联立，的周长利用韦达定理得到，设，根据的范围可得答案.
【详解】（1）设双曲线C的方程为，
代入点，得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）双曲线C的左焦点为，
设､，
①若直线l的斜率不存在，则，得A､B的坐标分别为和，
此时的周长为.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由得，
因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，
所以，
得
设的周长为z，
，
设，由，得，
，，
所以，
综上，由①②可得的周长的取值范围.