2022-2023学年江苏省常州市教育学会高二上学期学业水平监测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省常州市教育学会高二上学期学业水平监测数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出过两点的直线的斜率，结合倾斜角和斜率的关系，即可求得答案.
【详解】由题意得经过，两点的直线的斜率为，
而直线倾斜角范围为，
故经过，两点的直线的倾斜角为，
故选：C
2．函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案.
【详解】函数的定义域为，
，
由得，
所以的单调减区间为.
故选：D.
3．已知等比数列满足，，则（ ）
A．26B．78C．104D．130
【答案】B
【分析】根据已知求出，然后即可根据等比数列的性质得出答案.
【详解】设等比数列公比为，
根据已知可得，，
所以，，解得，
所以，.
故选：B.
4．已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出导函数，由已知得出恒成立.进而推得恒成立，由列出不等式，解不等式即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为在R上单调递增，所以恒成立.
因为，
所以恒成立，
所以，，解得.
故选：D.
5．已知数列满足，若，则的前2022项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数列递推式求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案.
【详解】由题意知数列满足，
当时，；
当时，，
故，则，
也适合该式，故，
则，
故的前2022项和为
，
故选：B
6．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到的距离为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出，的长度，然后列出方程即可得到结果.
【详解】如图，不妨设点在轴上方，准线与轴交于点，
因为点在抛物线上，所以，，
又，为正三角形，，
又，在中，即，
解得或（舍去），所以到的距离为.
故选：A.
7．设是公差为的等差数列，且，，记为数列的前项和，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】令，根据函数的单调性，结合已知即可得出，.两式相加整理，即可推得.然后根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，求解即可得出答案.
【详解】令，则可知单调递增.
由已知可得，，
所以，，，所以.
又，
显然，
所以，，.
根据等差数列前项和公式可知，
.
故选：C.
8．已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为.若点是线段的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出点P的轨迹方程，再结合题意求出点Q的轨迹方程，结合图形以及圆与圆的位置关系，即可求得答案.
【详解】由题意知两条动直线和交于点，
联立直线方程消去m可得，
由于，即，
该直线过定点，但不会过点，
故P点轨迹方程为（去掉点），
圆心为，半径为；
上两点，间的距离为，
Q为线段的中点，则圆C的圆心到Q的距离为，
则Q点轨迹方程为，圆心为，半径为；
由于与圆的圆心距满足，
故这两圆外离，
则的最小值为，
故选：B
二、多选题
9．已知曲线（，不全为0），则（ ）
A．曲线是中心对称图形B．曲线的周长为
C．曲线是以为圆心，为半径的圆D．曲线与圆有8个公共点
【答案】ABD
【分析】利用代入曲线方程验证，可判断A；作出曲线，结合圆的周长判断B；数形结合，结合曲线图示判断C；根据圆与圆的位置关系判断两圆在第一象限内情况，数形结合，判断D.
【详解】对于A，满足，
即曲线是中心对称图形，A正确；
对于B，化简（，不全为0），当时，；
当时，；当时，；
当时，；
作出曲线，如图示：曲线由半径为的4个半圆组成，
结合对称性可知曲线的周长为，B正确；
由曲线图示可知曲线由半径为的4个半圆组成，
第一象限内部分为以为圆心，为半径的半圆，C错误；
对于D，先考虑在第一象限内情况，
圆与的圆心距为，
，即曲线C与圆M相交，
结合图象知圆与在第一象限内有2个交点，
根据对称性可知曲线与圆有8个公共点，D正确，
故选：ABD
10．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极值点B．3是函数的极大值点
C．在区间上单调递减D．1是函数的极小值点
【答案】AC
【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况.
【详解】对于A项，由图象可知，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以，在处取得极大值.故A正确；
对于B项，由图象可知，
当时，恒成立，且不恒为0，所以在上单调递减.
所以，3不是函数的极大值点.故B错误；
对于C项，由B可知，在区间上单调递减.故C正确；
对于D项，由B可知，在上单调递减.
所以，1不是函数的极小值点.故D错误.
故选：AC.
11．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的左支没有公共点，则双曲线的离心率可能为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】AB
【分析】求出双曲线的渐近线与之间的距离，根据直线和圆的位置关系，列不等式，即可求得双曲线离心率范围，即可判断答案.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，
则与直线间的距离为，
由于点是直线上任意一点，圆与双曲线的左支没有公共点，
故，即双曲线离心率，
结合选项，可知A，B正确，
故选：AB
12．在边长为2的等边三角形纸片中，取边的中点，在该纸片中剪去以为斜边的等腰直角三角形得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为斜边的等腰直角三角形得到新的纸片，以此类推得到纸片，，……，，……，设的周长为，面积为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】画出图形依据裁剪规律可得比多了两条边，少了线段，即可得到，即A正确，比少了一个以为斜边的等腰直角三角形，可得，C错误；再分别利用A和C中的结论，由累加法计算可得BD正确.
【详解】根据题意可知，如下图所示规律：
对于A，易知比多了两条边，少了线段；
由，
可得，故A正确；
对于B，利用A中结论由累加法可得，
当时，，又，
所以
，显然当时，也符合上式，即B正确；
对于C，比少了一个以为斜边的等腰直角三角形，
所以，即C错误；
对于D，利用B中结论由累加法可得，
当时，，又，
所以，显然当时，也符合上式，即D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于由裁剪规律得出以及之间的递推规律，再利用累加法由等比数列前项和公式即可求得结果.
三、填空题
13．函数在区间处的瞬时变化率为 .
【答案】3
【分析】根据幂函数的求导法则得出，进而根据导数的定义代入，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
根据导数的定义可知，
函数在区间处的瞬时变化率为.
故答案为：3.
14．以抛物线的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的方程为 .
【答案】
【分析】根据抛物线的焦点和准线，确定圆心和半径，即得答案.
【详解】由题意得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
故所求圆的圆心为，半径为2，
故圆的方程为：，
故答案为：
15．若数列从第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为二阶等差数列.已知数列是二阶等差数列，且，，，则 .
【答案】
【分析】根据已知结合二阶等差数列的定义，即可得出.进而根据累加法，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
根据二阶等差数列的定义可知，
是以为首项，公差为的等差数列，
所以，.
所以，
.
故答案为：.
16．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足的面积为，，过点作的垂线交椭圆于，两点，则的周长为 .
【答案】
【分析】根据椭圆的定义和三角形的面积公式得到和，利用余弦定理得到与的关系式，结合椭圆的离心率求出和的值，可以证明是的中垂线，最后再根据椭圆的定义求解即可.
【详解】
椭圆的离心率为，
，
，，
，
点在椭圆上，，
，
在中，根据余弦定理得，
即，
整理得，
，与上式联立，解得，，
，
由题意知，，
是的中垂线，
，，
，在椭圆上，
，
的周长为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知数列的前项和为，，______.①；②；③，，成等比数列.请在①，②，③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值并指明相应的值.
【答案】(1)
(2)42，6或7
【分析】（1）由可推出数列为公差是-2的等差数列，选①或②时，结合等差数列的通项公式或者前n项和公式，求出首项，即可得答案；选③，结合等比数列性质以及等差数列的通项公式，求出首项，即可得答案；
（2）求出的表达式，结合二次函数知识，即可求得答案.
【详解】（1）选①：由于，即，
故，即数列为公差是-2的等差数列，
设首项为，则由，得，即，
故；
选②，由于，即，
故，即数列为公差是-2的等差数列，
设首项为，，得，即，
故；
选③，由于，即，
故，即数列为公差是-2的等差数列，
设首项为，由，，成等比数列，得，
即，解得，
故；
（2）由（1）可得，
由于n为正整数，故n取6或7时，取到最大值.
18．已知函数，，且.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对于区间上的任意两个实数，，都有，求实数的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）求出导函数，结合已知得出，进而解出.根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；
（2）根据导函数得出函数在区间上的单调性，求出函数的极值，结合端点处的函数值，求出函数的最值，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，.
又，所以，解得，
所以，，，.
根据导数的几何意义可知，
曲线在点处的切线的斜率，
代入点斜式方程可得，，
所以，切线方程为.
（2）由（1）知，，
解，可得.
解，可得或，所以在上单调递增，在上单调递增；
解，可得，所以在上单调递减.
所以，在处取得极大值，在处取得极小值.
又，，
所以，在区间上最大值为，最小值为，
所以，，恒成立.
又恒成立，
所以，实数的最小值为4.
19．已知圆的半径为3，圆心在直线上，点.
(1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程；
(2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）由已知求出圆心，以及圆的方程.分切线斜率不存在，以及斜率存在两种情况，分别求解即可得出答案；
（2）由已知求出点满足的轨迹为圆，并求出圆的方程.根据已知得出圆与圆有公共点，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】（1）联立可得圆心，
所以，圆的方程为.
当切线斜率不存在时，切线方程为，
此时圆心到的距离，满足题意；
当切线斜率存在时，设切线斜率为，
切线方程为，即.
因为与圆相切，
所以有到的距离，
即，整理可得，解得，
所以，切线方程为，整理可得.
综上所述，切线方程为或.
（2）设圆心，，
则，.
由可得，，
整理可得，，即，
所以，点在以为圆心，为半径的圆上.
由已知可得，圆与圆有公共点，
所以，，即，
平方整理可得，，解得或.
20．已知数列中，.
(1)求证：是等比数列，求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，求.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据数列递推式，取倒数可得，结合等比数列定义即可证明结论，继而求得通项公式；
（2）结合（1）的结果可得的表达式，利用分组求和以及错位相减法求数列的和，即可得答案.
【详解】（1）证明：由题意知数列中，，
故,
故是等比数列，且首项为，公比，
故，则；
（2），
故
，
设，
则，
故
，
故，则.
21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据已知列出关于方程组，求解即可得出答案；
（2）假设存在.设，有.由双曲线方程求得，求导根据导数的几何意义得出直线的斜率为，结合斜率的定义以及已知构造方程组，得出及其斜率，进而设出的方程为，，.联立直线的方程，求出坐标，表示出.联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理，表示出，再根据假设，化简运算，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，双曲线的渐近线方程为，右焦点，
右焦点到其中一条渐近线，即的距离.
则由已知可得，解得，
所以，双曲线的方程为.
（2）假设存在实数，使得.
由题意知点在第一象限，其坐标为，
则①.
因为双曲线的右支，所以，
由可得，，
求导可得，，
根据导数的几何意义可知，直线的斜率为.
又直线经过点以及点，所以，
所以有②.
由①②可解得，，，点，，
所以，直线的方程为，即，直线的斜率为.
设直线的方程为，，，
联立可得，
即，，
所以，.
联立可得，，
恒成立.
由韦达定理可得，.
因为都在直线上，
所以，
所以，，
所以，
，
所以，.
因为，
所以，假设成立.
所以，存在实数，使得，且.
【点睛】关键点点睛：由双曲线方程求得，求导根据导数的几何意义得出直线的斜率为，结合斜率的定义以及已知构造方程组，得出点的坐标以及切线的斜率.
22．已知函数，且曲线在原点处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)讨论在R上的零点个数，并证明.
【答案】(1)
(2)在R上有2个零点，证明见解析
【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义，结合已知，即可得出答案；
（2）利用导函数分别得出函数在，以及的单调性，根据零点存在定理得出零点的个数.再结合函数的单调性，得出函数的最小值，进而结合三角函数的值域，即可得出证明.
【详解】（1）由已知可得，.
根据导数的几何意义结合已知可得，，
所以，，.
（2）由（1）可得，，.
①当时，有，
所以恒成立，
所以，在上单调递减，是一个零点；
②当时，，
设，则恒成立，
所以，，即在上单调递增.
又，，
所以，根据零点存在定理可知，，使得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
又，所以.
因为，
根据零点存在定理可知，，使得.
综上所述，在R上的零点个数为2.
因为在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
所以，在处取得最小值.
又，
所以，.
因为，
所以，，
所以，，.
【点睛】思路点睛：先根据导函数得出函数的单调性，进而结合零点存在定理即可得出函数零点的情况.