2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高二上学期开学质量检测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高二上学期开学质量检测数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知数列的前项和，则数列（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列
【答案】A
【分析】利用和 的关系求解即可.
【详解】数列的前项和，
所以当时，，
，
且，符合，
所以.
所以,（不是定值）,
所以数列是等差数列不是等比数列.
故选：A
2．在中，，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理求得外接圆半径后可得面积.
【详解】设外接圆的半径为，则，
∴，故外接圆的面积为.
故选：C.
3．在中，内角的对边分别为，若，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】D
【分析】根据余弦定理确定正确答案.
【详解】依题意，，则，
所以，所以为钝角，
所以三角形是钝角三角形.
故选：D
4．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ）
A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35%
B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时
C．估计该地初一年级有10%的学生做作业的时间超过4小时
D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
【答案】D
【分析】根据频率分布直方图对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，超过小时的概率估计为：，A选项正确.
B选项，超过小时的概率估计为：，
所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过小时，B选项正确.
C选项，超过小时的概率估计为：，C选项正确.
D选项，时间在2小时至3小时之间的概率估计为：，
所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，D选项错误.
故选：D
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二倍角公式及齐次式的处理方法，即可求解.
【详解】
.
故选：A.
6．奥林匹克运动会会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是（ ）
A．对立事件B．互斥且对立事件
C．互斥但不对立事件D．既不互斥又不对立事件
【答案】C
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.
【详解】甲、乙不能同时得到红环，因而事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是互斥事件；
甲、乙可能都得不到红环，即“甲或乙分得红环”的事件不是必然事件，故事件“甲分得红环”与“乙分得红环”不是对立事件，
所以，事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是互斥但不对立事件.
故选：C.
7．记为等比数列的前项和．若，则（ ）
A．24B．12C．6D．3
【答案】B
【分析】根据已知求出等比数列的基本量，求得，从而求得.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，
两式相除得，即，解得，从而，
则.
故选：B.
8．已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为．由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（ ）
A．新数据的平均数是B．新数据的方差是
C．新数据的中位数是D．新数据的极差是
【答案】C
【分析】分别利用平均数，方差，中位数和极差的定义判断.
【详解】A. 因为，所以新数据的平均数是，故正确；
B. 因为，则新数据的方差为，
，故正确；
C.因为数据的中位数为，所以新数据的中位数是，故错误；
D.设数据的最大数为，最小数为，则极差为，
则新数据的极差为，故正确.
故选：C
9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内的条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据程序框图进行不断执行，即可判断.
【详解】当，
则，，不输出；
则，，不输出；
则，，不输出；
则，，不输出；
则，，不输出；
则，，不输出；
则，，输出.
综上，判断框内的条件可以是.
故选：A
10．是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：设，，∴，，
，∴.
【解析】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
11．对于函数下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的值域是
B．当且仅当时，函数取得最大值1
C．当且仅当时，函数取得最小值
D．当且仅当时，
【答案】D
【分析】画出函数的图象，根据图象判断各选项.
【详解】画出函数的图象如图所示，
由图象容易看出：
该函数的值域是，故A错误；
当且仅当或，时，函数取得最大值1，故B错误；
当且仅当时，函数取得最小值，故C错误；
当且仅当时，，故D正确.
故选：D.
12．对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为有界数列．记是数列的前项和，下列说法错误的是（ ）
A．首项为1，公比为的等比数列是有界数列
B．若数列是有界数列，则数列是有界数列
C．若，则数列不是有界数列
D．存在等差数列和等比数列，使得数列是有界数列
【答案】B
【分析】根据有界数列的定义，结合等比数列求和公式可判断A；设，可判断B；由条件求得，根据有界数列的定义验证可判断C；取，，即可判断D．
【详解】对于A，设满足题设的等比数列为，则，
当时，，
∴，
∴首项为1，公比为的等比数列是有界数列，故A正确；
对于B，事实上，设，则，易知数列是有界数列，
此时，∴，
由的任意性，知数列不是有界数列，故B错误；
对于C，若，则当时，，
当时，，也适合，
故，于是，
因此，
因为，随着无限增大，也无限增大，所以数列不是有界数列，故C正确；
对于D，取，，则，
于是，
因此 ，
∴数列是有界数列，故D正确.
故选：B.
二、填空题
13．已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
14．如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为 米.

【答案】
【分析】先根据题目条件求出，，再在中，利用余弦定理求出.
【详解】由题意得，，，
，
在中，，在中，，
在中，由余弦定理得
，
故.
故答案为：
15．在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】法一，结合图形，得到有两解的充要条件；法二，由正弦定理，结合三角函数图象和性质由解的个数得的取值范围.
【详解】法一：由题意，，
如图，作，在角的一边取，过作另一边的垂线，垂足为，
要使有两解，则以为圆心，以为半径的圆与射线有两个交点，
即若使有两解，则有，即，
解得.
法二：由题意，，
由正弦定理得，则，
由，如图，作的图象，
若使有两解，则有，即，
解得.
故答案为：.
16．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列，则 ， ．
【答案】 15
【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数与层数的关系，得到即可得解．
【详解】由题意可知，，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：15，．
三、解答题
17．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acsB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值
【答案】（1）B=60°（2）
【详解】（1)由正弦定理得
【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理
18．设函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1），
，
．
函数的最小正周期．
（2），
．
令，则．
所求单调递减区间为．
19．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.
【答案】（I）6人，9人，10人；
（II）（i）见解析；（ii）.
【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，
所以，事件M发生的概率.
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
20．已知各项为正数的等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中条件求出数列的首项和公比，即可得出通项公式；
（2）利用错位相减法即可求和.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，又，
解得．
．
（2）由（1）得；
，
，
，
．
21．已知函数为奇函数，且其图像的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）化简的解析式，根据的奇偶性和周期性求得.
（2）根据三角函数图像变换求得，利用换元法，结合三角函数图像与性质求得以及的值.
【详解】（1）函数
，
图像的相邻两对称轴间的距离为，
，解得．
为奇函数，，
．．
（2）函数的图像向右平移个单位长度，得到，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到，
令，则，
，令，则，
函数在上的图像如下图所示，
由图可知，与共有5个交点，
在上共有5个根，即，
，
．
22．设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前项和为，求证：；
(3)若，且数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题目条件列出方程组求解即可；
（2）利用分析法证明；
（3）求得，进而可得的表达式，结合不等式的性质证明.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
，解得，
．
（2），
要证明，
即证明，
即证明，即证明，
由数列的通项公式和前项和的关系得：，
．
（3）由（1）易知，．
．
．
，
又当时，，．
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○