2022-2023学年福建省漳州市东山第二中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省漳州市东山第二中学高二下学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题：的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题，因此命题：的否定为“”.
故选：C.
2．在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）
A．散点图和残差图B．残差图和列联表
C．散点图和等高堆积条形图D．等高堆积条形图和列联表
【答案】D
【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断
【详解】散点图是研究两个变量间的关系，
列联表是研究两个分类变量的，
残差图是体现预报变量与实际值间的差距，
等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，
故选：D
3．函数的单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，再解不等式即可作答．
【详解】函数定义域为R，求导得：，由，解得，
所以函数的单调递增区间是．
故选：C
4．已知全集，集合，它们的关系如图（图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根据定义域和基本不等式的求解法则先求出集合，然后再根据韦恩图求出阴影部分集合.
【详解】解：由题意得：
故选：C
5．伟人毛泽东的《清平乐•六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：设为不到长城，推出非好汉，即，
则，即好汉到长城，
故“到长城”是“好汉”的必要条件，
故选：．
6．已知集合，．从集合A中任取一个元素m，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】列举集合A中的元素，确定在集合中的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】集合A中的元素有共7个元素，
其中属于集合的有共3个元素，
故从集合A中任取一个元素m，则的概率为.
故选：B
7．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】根据题意可得，再根据结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
则，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
8．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式的解集是，即对于，恒成立，即，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：不等式的解集是，
即对于，恒成立，
即，
当时，，
当时，，
因为，
所以，
综上所述.
故选：A.
二、多选题
9．下列求导正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】依据求导公式和导数四则运算去判断即可解决.
【详解】对于选项A，∵，∴选项A正确；
对于选项B，，令，则，∴选项B错误；
对于选项C，∵，∴选项C正确；
对于选项D，∵，∴选项D错误．
故选：AC
10．已知5个成对数据（x，y）的散点图如下，若去掉点D（4，3），则下列说法正确的是（ ）
A．变量x与变量y呈负相关B．变量x与变量y的相关性变强
C．残差平方和变小D．样本相关系数r变大
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可
【详解】由散点图可知，去掉点D后，与的线性相关加强，且为负相关，所以AB正确，
由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C正确，
由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误，
故选：ABC
11．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．函数在上单调递增
C．函数的最小值为，没有最大值D．函数的极小值点为
【答案】BD
【分析】对于A，注意到可知，由此可判断；
对于B，对求导，利用导数与函数的单调性的关系可判断其正确；
对于C，举反例排除即可；
对于D，利用导数与函数极值的关系可判断其正确.
【详解】对于A，因为，所以，解得，故的定义域为，故A错误；
对于B，，令，得，故在上单调递增，故B正确；
对于C，令，则，故的最小值不为，故C错误；
对于D，令，得或，所以在和上单调递减，
令，得，故结合两侧的单调性可知是的极小值点，故D正确.
故选：BD.
12．从装有个红球和个蓝球的袋中（均不小于2），每次不放回地随机摸出一球. 记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为，“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对AC，利用互斥事件和独立事件的概率公式求解判断；对BD，利用条件概率公式求解判断.
【详解】由题意可知，，，，
，
从而，故AC正确；
又因为，，
故，故D正确；
，
故，故B错误.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知函数，则在处的切线方程为 .
【答案】
【分析】直接求导，计算出，，即可求得切线方程.
【详解】，易得，，所以切线方程为，即.
故答案为：.
14．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用参变分离法将不等式转化为，令，将不等式恒成立问题转化为成立，求解函数的最大值.
【详解】因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，令，可知成立，当，函数单调递增，所以，所以.
故答案为：
15．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则 .
【答案】
【分析】先求，，根据条件概率和全概率公式可得，代入计算即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以.
故答案为：.
16．某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的，，三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种，则三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率是 ；记，，三个区选择的疫苗批号的中位数为，则的期望是 .
【答案】 /
【分析】根据题意，利用古典概型的概率计算公式，求得三个区注射的疫苗批号恰好有两个区相同的概率；再由三个区选择的疫苗批号的中位数为的所有可能值为，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解.
【详解】设三个区注射的疫苗批号恰好有两个区相同记为事件，则；
再设三个区选择的疫苗批号的中位数为，则的所有可能值为，
可得，
，
，
所以的数学期望为.
故答案为：；.
四、解答题
17．已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.
(1)若，求的值；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将分式不等式转化为二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数关系可得；
（2）分别确定集合与，根据命题的充分必要性可的，进而可得的取值范围.
【详解】（1）由不等式得，即，
由于其解集是，
所以，是一元二次不等式的两个实数根，
所以，解得；
（2）由得，所以，
若“”是“”的充分不必要条件，则，
当时，，满足题意；
当时，，所以，所以；
当时，，成立；
当时，，成立；
当时，，成立；
综上所述，实数的取值范围是.
18．已知三次函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程，
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)；
(2)见解析.
【分析】（1）求导可得，利用导数的几何意义，可得曲线在点处的切线斜率为，，利用直线点斜式即可得解；
（2）求导可得，对参数进行讨论即得解.
【详解】（1）当时，，
，
所以曲线在点处的切线斜率为，
又，，
整理可得曲线在点处的切线方程为；
（2），
若，由可得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，
可得或，
所以在 为增函数，在上为减函数，
当时，
若，
在 为减函数，在上为增函数，
若，，在上为减函数，
若，
在 为减函数，在上为增函数，
综上可得：
若，
在上为增函数，在上为减函数，
当时， 在 为增函数，在上为减函数，
当时，
若
在 为减函数，在上为增函数，
若，，在上为减函数，
若，在 为减函数，在上为增函数.
19．武汉热干面既是中国四大名面之一，也是湖北武汉最出名的小吃之一．某热干面店铺连续10天的销售情况如下（单位：份）：
(1)分别求套餐一、套餐二的均值、方差，并判断两种套餐销售的稳定情况；
(2)假定在连续10天中每位顾客只购买了一份，根据图表内容填写下列列联表，并据此判断能否有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关？
附：
【答案】(1)套餐一：均值120，方差480；套餐二：均值80，方差220；套餐二销量相对稳定
(2)填表见解析；没有
【分析】（1）直接由公式分别求出套餐一、套餐二的均值、方差，从而判断其稳定性.
（2）由题意先完善列联表，再求出，从而得出结论.
【详解】（1）套餐一：均值
方差；
套餐二：均值
方差．
因为，所以，套餐二销量相对稳定．
（2）列联表如下：
因为，
所以，没有95%以上的把握认定顾客性别与套餐选有关．
20．某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
(1)为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了8对观测值，求与的线性回归方程.
(2)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
(3)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；
②参考数据：，，，.
【答案】(1)
(2)设备M的性能等级为丙级
(3)
【分析】（1）根据线性回归方程公式计算得解；
（2）根据题中的100个数据计算概率判断满足其中的几个不等式，通过评判规则来决定性能等级;
（3）由题意从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算次品总数的数学期望，分别满足超几何分布和二项分布，再求期望.
【详解】（1），，，，
，，
所以与的线性回归方程为；
（2），，，，
，，
，，
，
设备M的性能等级为丙级.
（3）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件，
所以样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.由题意可知从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，
其中次品数设为Y1，则，于是；
从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y2，由题意可知Y2的分布列为：
故.
则次品总数Y的数学期望.
21．某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．
(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从学生中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】(1)根据题意得出不选择校本课程二的概率为，选择校本课程二的概率为，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和期望；
(2) 这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
则，设，利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为，
选择校本课程二的概率为，
则X的可能取值为3，4，5，6，
，，
，，
所以X的分布列如下表所示：
所以．
（2）因为这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
所以，
设，
则，
由两式相减得，
即，
所以.
22．已知函数．
(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，显然不满足题意；当时，将零点问题转化为交点问题，利用导数分析的单调性以及极值情况即可得出答案.
（2）分，，三种情况讨论，将不等式恒成立转化成求即可.
【详解】（1）当时，显然不满足题意；
当时，若函数只有一个零点，
即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为只有一个根，
即直线与函数（且）的图像只有一个交点．
，令，得，
在和上，，在上，，
所以在和上单调递减，在上单调递增．
在时有极小值，图像如图所示：
由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，则或，
综上．
（2）恒成立，等价于，
令
①若时，，所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则，所以在上单调递增，
当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意．
③若时，令
令，因为在上单调递增，
且当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于0时，趋近于负无穷，
所以，
，单调递减，，单调递增，
只需即可，
，
令在上单调递增，
时，，
所以在上单调递增，，即，
综上：
天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
套餐一
120
100
140
140
120
70
150
120
110
130
套餐二
80
90
90
60
50
90
70
80
90
100
顾客套餐
套餐一
套餐二
合计
男顾客
400
女顾客
500
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
顾客套餐
套餐一
套餐二
合计
男顾客
400
300
700
女顾客
800
500
1300
合计
1200
800
2000
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
Y2
0
1
2
P
X
3
4
5
6
P