2022-2023学年广西北海市高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年广西北海市高二下学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数在区间上恒有,对于,则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据判断单调性,根据单调性的概念选出结果即可.
【详解】解:由题知,所以在区间上单调递增,
所以当时,成立,
当时,成立,
故“”是“”的充分必要条件.
故选:C
2．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，令导函数小于令，解不等式即可得解.
【详解】解：由，则，
令，则，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A.
3．某职业体验活动共设置五个职业，五位同学各选其中一个职业，若至少选出四个职业，活动才能正常进行，则不同的选择方案共有（ ）
A．1320种B．1200种C．325种D．600种
【答案】A
【分析】5位同学选了4个职业和选了5个职业两种情况求出不同的选择方案，相加后得到答案.
【详解】5位同学选了4个职业，则必有2个同学选择了同一个职业，先对5位同学分为4组，再进行排列，有种选择，
5位同学选了5个职业，进行全排列即可，有种选择，
故不同的选择方案共有种选择.
故选：A
4．的展开式中的常数项是（ ）
A．－112B．－48C．48D．112
【答案】D
【分析】先求出展开式的通项，分别令和，求解即可得出答案.
【详解】展开式的通项为．
令，得，则；
令，得，则；
故的展开式中的常数项是．
故选：D.
5．设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为，则( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由分布列的性质可知，从而可求解.
【详解】由题意可知ξ～B(n，p)，由分布列的性质可知.
即.
故选: B.
6．抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先列举得到满足题意得所有情况，然后再根据古典概型求解即可得到所求概率．
【详解】抛掷两枚骰子，向上点数共出现36中情况，其中向上点数之差的绝对值为3的情况有：（1,4），（4,1），（2,5）（5,2），（3,6）（6,3），共6种，
故所求概率为．
故选C．
【点睛】本题考查古典概型概率的求法，解题的关键是正确得到基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，其中常用的方法是列举法，列举时要完整、不要遗漏任何情况，属于基础题．
7．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，再利用特殊点选出正确答案.
【详解】由题意得的定义域为，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除B；又，故排除C，D.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成，其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有四个变爻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据古典概型求得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，再根据独立重复试验的概率求得其值.
【详解】由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有四个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生四次的概率，
故选：D.
二、多选题
9．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项，利用复合函数的求导法则可判断BD选项.
【详解】，，，
，故AD错误，BC正确.
故选：BC.
10．已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是（ ）
参考数据：若，则，
A．
B．
C．
D．对于任意的正数，有
【答案】ABD
【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可．
【详解】对于A，，故A选项正确；
对于B，由正态分布密度曲线，可知，所以，故B选项正确；
对于C，由正态分布密度曲线，可知，所以，故C选项错误；
对于D，对于任意的正数，由图象知表示的面积始终大于表示的面积，所以，D选项正确，
故选：ABD．
11．在等差数列中，，，为的前n项和，则下列式子一定成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】由已知可得，结合等差性质即可作出判断.
【详解】∵，∴异号，
又，∴且，
∴，，
故选：ABC
12．已知抛物线的焦点为F，过点F倾斜角为的直线与抛物线C交于两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于D，则以下结论正确的是（ ）
A．B．F为的中点C．D．
【答案】AB
【分析】过点作抛物线C的准线m的垂线，结合抛物线定义，易得为正三角形，然后再根据条件逐项求解判断.
【详解】如图，
分别过点作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点，
抛物线的准线m与x轴交于点P，则，
因为直线的倾斜角为，轴，
由抛物线定义可知，，
则为正三角形，所以，则，
所以，故A正确；
，所以点F为的中点，故B正确；
因为，所以，所以，，故C错误，，故D错误
故选：AB
三、填空题
13．的展开式中常数项是 .
【答案】252
【分析】写出的展开式的通项公式，令，求得k值，代入通项公式，即可得答案.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，解得k=5，
所以常数项为.
故答案为：252
14．已知函数在点处的切线方程为，则t= .
【答案】
【分析】求得在处导数，即可求出，再将代入切线求得.
【详解】，，
，，即，
又为切点，，解得.
故答案为：.
15．从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为 .
【答案】
【分析】根据双曲线方程的特点,结合分类和分步计数原理直接求解即可.
【详解】因为方程表示双曲线,所以.因此可以分成两类：
第一类：从集合中取一个正数,从集合取一个负数,有种不同的取法；
第二类：从集合中取一个负数,从集合取一个正数,有种不同的取法.
所以一共有种不同的方法.
所以
故答案为：
16．已知函数，若函数f(x)在处取得极大值，则实数a的取值范围是 .
【答案】.
【解析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，得到函数的单调区间，结合函数的最大值，可得a的取值范围.
【详解】解：由，可得，
设，，
当，，，函数单调递增，
当，，，函数单调递增；
，，函数单调递减；
由f(x)在处取得极大值，可得，
当时，单调递增，当，，单调递减；
当，，单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；
当时，即，可得：在单调递增，所以当，
，当，，即f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；
当时，即，在单调递增，在单调递减，
所以当，，单调递减，与题意不符；
当，即可，当，，函数单调递增；
当，，函数单调递减，所以f(x)在处取得极大值，符合题意，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题.
四、解答题
17．安徽新高考改革方案正式公布，根据改革方案，计入高考总分的考试科目共有6门，即“3＋1＋2”，“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目，不分文理科，使用全国卷，选择性考试科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6门.由考生根据报考高校要求，结合自身特长兴趣，首先在物理和历史中选择1门，再从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门.
附表：
，.
(1)若某学生根据方案从选择性考试科目中随机选择三科，求该生恰好选到政史地的概率；
(2)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解学生选科的需求，随机选取100名学生进行调查，得到如下统计数据，判断是否有99%的把握认为“选科与性别有关”？
【答案】(1)
(2)没有99%的把握认为“选科与性别有关”
【分析】（1）列举出所有选科的可能情况，该生恰好选到政史地为其中一种情况，即可求得答案；
（2）计算的值，与临界值表比较，即可得结论.
【详解】（1）设物理、历史两门学科分别为A，B，思想政治、地理、化学、生物学四门学科分别为a，b，c，d.
从选择性考试科目中随机选择三科，共有12种结果，分别是，，，
，，，，，，，，.
所以该生恰好选到政史地的概率为.
（2）∵.
∵，所以没有99%的把握认为“选科与性别有关”.
18．设是公比不为的等比数列，为，的等差中项，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）设公比为，由题意可得，解得，可得；（Ⅱ）根据以及，可得，可得.
【详解】解：（Ⅰ）设的公比为．
因为为，的等差中项，
所以，即，
又因为，
所以，
即，
因为，
所以．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
19．已知三棱柱中，平面，，，为中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接，交于点，利用三角形中位线性质可证得，由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）根据平行关系可知所求角为，求得三边长后，利用余弦定理可求得结果.
【详解】（1）连接，交于点，连接，
几何体为三棱柱，四边形为平行四边形，为中点，
又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）由（1）知：，
则异面直线与所成角即为直线与所成角，即，
，，为等边三角形，
又为中点，，，
平面，平面，，，
同理可得：，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
20．中，角的对边分别为，且.
（1）判断的形状；
（2）设向量且，求.
【答案】（1）直角三角形；
（2）.
【分析】（1）根据已知条件及对数运算性质，得出,进而利用正弦定理把边转化成角的正弦，利用二倍角公式化简求得，根据推断出，进而求得即，判断出为直角三角形；
（2）根据，把向量的坐标代入求得,进而根据，求得和的另一关系式，进而联立方程求得和，进而用勾股定理求得.
【详解】（1）由题，故，
由正弦定理，
即.
又，
故,
由，得，
所以，即，
故为直角三角形；
(2)由，，得
①
，，
又，即②
联立①②解得，即，
在直角中，由勾股定理，得，
所以.
21．已知椭圆过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M，连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E，连接动点M与椭圆的上顶点B，与x的正半轴交于点F，记四边形的面积为，的面积为，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）将代入椭圆方程，可求出，从而可得椭圆方程，
（2）设，分别表示出直线的方程，再表示出点的坐标，表示出四边形的面积，由于，则四边形的面积，再设椭圆的参数方程为为参数，求出动点M到直线的距离，化简后，利用三角函数的性质可求出其范围，再表示出，进而可求出的范围.
【详解】（1）依题意，得，
故C的方程为．
（2）依题意，，设，则，
所以直线，令，
则．
直线，令．
则，
又易知，所以四边形的面积
．
由题意可知的直线方程为，
再设椭圆的参数方程为为参数，
则动点M到直线的距离，，
化简得．
∵，
∴，
的面积，∴．
∵，∴，
即．
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系的综合问题，考查椭圆方程的求法，考查椭圆中四边形和三角形面积的求法，解题有关键是根据题意表示出椭圆的参数方程，然后利用参数表示出动点M到直线的距离，化简后利用三角函数的性质可求出的取值范围，从而可求出的取值范围，考查计算能力，属于较难题.
22．已知函数；
（1）若存在两个极值点，求的取值范围；
（2）若存在两个极值点，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出导函数，令，由存在两个极值点，则函数在上有两零点，列出不等式组，解不等式组即可得解；
（2）由（1）知的范围，由存在两个极值点，得，设，则，不等式整理得，等价于，设函数，根据函数的单调性求得最小值，即可得证.
【详解】（1）的定义域， ，
由题意知：有两个正实数解.即：有两个正根.
令.则
解方程组得：
（2）由（1）知: 存在两个极值点当且仅当
由于的两个极值点满足，所以
不妨设，则，
由于
所以，等价于
设函数，，
所以在上单调递减.又因为，从而当时，.
所以，即.
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
选择物理
选择历史
合计
男
40
10
50
女
30
20
50
合计
70
30
100