2022-2023学年河南省济源第一中学高二下学期3月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省济源第一中学高二下学期3月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接求导，代入计算即可.
【详解】，故.
故选：D.
2．已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算求出复数，再求其共轭复数的虚部即可.
【详解】由题，
则，
所以的共轭复数为，其虚部为.
故选：B
3．设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.
4．若用反证法证明命题“已知，求证：，中至少有一个数大于”，则假设的内容是（ ）
A．假设，均小于B．假设，均不大于
C．假设，均大于D．假设，中有个大于
【答案】B
【分析】反证法证明命题，第一步是假设结论的反面成立，写出所证命题结论的否定，再与选项比对即可得解.
【详解】，中至少有一个数大于的否定是：，没有一个数大于，即，均不大于，
所以假设的内容是：假设，均不大于，于是有A，C，D都不正确，B正确.
故选：B
5．某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（ ）
A．当时，该命题不成立B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立D．当时，该命题成立
【答案】C
【分析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论.
【详解】可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立．
所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立，
当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立.
故选：C.
6．定积分的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据定积分的性质和运算法则可得答案.
【详解】.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用定积分的性质求值的问题，属于基础题.
7．已知函数在处有极小值，则c的值为（ ）
A．2B．4C．6D．2或6
【答案】A
【分析】根据求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.
【详解】由题意，，则，所以或.
若c=2，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.函数在处有极小值，满足题意；
若c=6，则，函数在R上单调递增，不合题意.
综上：c=2.
故选：A.
8．加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（ ）种加工方法．
A．24B．32C．48D．64
【答案】A
【分析】考察排列组合的捆绑与插空的方法
【详解】工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有种方法，AB内部排序，有种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共种情况，所以一共有种可能性
故选：A
9．已知，，是的三个内角的弧度数，则与的大小关系为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接利用柯西不等式即可得结果.
【详解】由柯西不等式,
≥
,
当且仅当 ，时等号成立，故选A.
【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.
10．已知关于的不等式有实数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用绝对值不等式的性质求得的最大值，根据不等式有解的意义求得的取值范围.
【详解】∵，
当且仅当且即时取“等号”
∴，
因为，即有解，
∴.
故选：C.
11．若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求，再解不等式或得的单调性，根据的单调性，列出使得函数在上有最大值的不等式组，解不等式组即可.
【详解】由题知，，，
由得，，由得或.
所以函数在上递减，在上递增，上递减，
若函数在上有最大值，则，解得.
故选：A．
12．已知且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据两个等式的结构特征构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，结合单调性进行求解即可.
【详解】，，
因为，所以，
构造函数，，当时，单调递增，
当时，单调递减，，，
，
如图所示：
因为，所以，
而，因此有，
故选：A
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据等式的形式构造函数，利用导数判断函数的单调性，用单调性进行求解.
二、填空题
13．若，则 .
【答案】或
【分析】分成或两种情况来求得的值.
【详解】依题意或，解得或.
故答案为：或
14．已知函数，则 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，两边求导再赋值计算得解.
【详解】函数，求导得：函数，
当时：，解得，
所以.
故答案为：
15．已知复数满足，则复数的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用向量模的几何意义求得数的最大值.
【详解】，的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，
，表示对应点与点之间的距离，
所以距离的最大值为.
故答案为：
16．某种圆柱形的饮料罐的容积为，为了使得它的制作用料最少（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含的代数式表示） ．
【答案】
【分析】设饮料罐的底面半径为，高为，应用圆柱体表面积的求法求饮料罐的表面积，再由三元基本不等式求最小值，由等号成立的条件即可得答案.
【详解】设饮料罐的底面半径为，高为，
由题意：，故，
圆柱的表面积：，当且仅当，即时等号成立，
据此，为了使得它的制作用料最少，则饮料罐的底面半径为.
故答案为：.
三、解答题
17．设复数，其中.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可；
（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.
【详解】（1）是纯虚数，只需，解得.
（2）由题意知，
解得，
故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.
18．已知曲线
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可.
【详解】（1）∵，∴在点处的切线的斜率，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
（2）设曲线与过点的切线相切于点，
则切线的斜率，
∴切线方程为，即．
∵点在该切线上，∴，即，
∴，解得或．
故所求切线方程为或．
【点睛】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决，属于中档题.
19．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若的解集包含，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，不等式化为，分类讨论，即可求解；
（2）原问题等价于在时恒成立，转化为，即可求解.
【详解】（1）解：当时，不等式 可化为，
①当时，不等式为，解得：，故；
②当时，不等式为，解得，故；
③当时，不等式为，解得，故，
综上：原不等式的解集为.
（2）解：原问题等价于在时恒成立，
当时，不等式可化为，
解得，所以，因为，所以，
所以a的取值范围是.
20．已知函数在处取得极值.
(1)求在上的最小值；
(2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，即可求出函数解析式，从而求出函数的单调区间，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的最小值；
（2）依题意有唯一解，即函数与只有1个交点，由（1）可得函数的单调性与极值，结合函数图象即可求出参数的取值范围；
【详解】（1）解：因为，所以，
在处取得极值，，即解得，
，所以，所以当或时，当时，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
在上的最小值为.
（2）解：由（1）知，，
若函数有且只有一个零点，
则方程有唯一解，即有唯一解，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
又，函数图象如下所示：
或，得或，
即b的取值范围为.
21．记为等差数列的前项和，且，.
（1）求；
（2）用数学归纳法证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）通过基本量列出方程组并解除，进而得到答案；
（2）分两步进行，先验证n=1时不等式成立，其次先假设n=k时不等式成立，然后再根据归纳假设，再证明n=k+1时不等式成立即可.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由，得：
，解得，所以.
（2）证明：①当时，，不等式显然成立.
②假设时不等式成立，即.
当时，.
即时不等式成立.
由①②可知，对于任意，不等式都成立.
22．设函数.
(1)求的单调区间；
(2)，为的导函数，当时，，求整数的最大值.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下讨论单调性即可；
（2）将不等式转化为，利用导数可求得在上单调递减，在上单调递增，其中，由此可求得，由的范围可求得结果.
【详解】（1）由题意知：定义域为，；
当时，，在上单调递增；
当时，若，；若时，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，，；
由得：，即；
令，则；
令，则，
在上单调递增，
又，，
，使得，此时，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，即，
又，，整数的最大值为.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的基本思路是采用参变分离的方式，将问题转化为变量与函数最值的大小关系问题，从而利用导数求得函数的最值，进而得到变量的取值范围.