2022-2023学年河南省济源市第一中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省济源市第一中学高二下学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故选：C
2．下表是某产品1~4月份销量（单位：百件）的一组数据，分析后可知，销量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则预测5月份的销量是（ ）
A．2B．1.5C．2.5D．1.6
【答案】A
【分析】由数表求出月份与销量的平均数即得样本点的中心，进而求出，再经计算而得.
【详解】由数表得，
由此得样本点的中心，并且该点在回归直线上，
则有，解得，即回归直线方程为，
当时，，
所以预测5月份的销量是2.
故选：A
3．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312
【答案】A
【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．
【解析】次独立重复试验．
4．已知，则的最小值是（ ）
A．6B．4C．D．
【答案】C
【分析】由“1”的妙用结合基本不等式可得结果.
【详解】因为，则，
所以，，
当且仅当即时，的最小值为.
故选：C.
5．函数在处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求在处切线的斜率，并求，进而写出切线方程即可.
【详解】由题意，，故，又，
∴在处的切线方程为，即.
故选：C
6．若曲线与直线，，所围成的平面图形的面积为，则二项式展开后常数项是（ ）
A．84B．C．28D．
【答案】B
【分析】由定积分求得，进而由二项展开式的通项公式可得结果.
【详解】依题意得，
则的通项为（），
令得，所以二项展开式中的常数项为.
故选：B.
7．届高三毕业生即将离开校园，高三班有名“奥赛、强基”选手，现在准备把手中的资料送给高二班的名同学，若高二班的名同学每人至少接受名同学的送书，则不同的送书方案有多少种（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，，有两种分法，即可求出．
【详解】由题意名高三同学分成组，有种分法，共种不同的送书方案．
故选：B．
8．从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，事件为“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件为“取到的两张均为假钞”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题设有，分别求出、，进而求.
【详解】由，且，
∴，而，
∴.
故选：D
9．设每天去某网红景点旅游的人数（单位：万人）为随机变量，且，则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为（ ）
参考数据：若，则，，．
A．0.97725B．0.84135C．0.6827D．0.15865
【答案】B
【分析】将改为并求出概率，进而根据正态曲线的对称性求出，最后得出.
【详解】∵，∴，
∴，∴．
故选：B.
10．已知，若，， ，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合导数判断函数的单调性，即可求解.
【详解】，令，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，又的定义域为，所以在和上单调递减，
又，，，，所以．
故选：B．
11．观察下列数表，数表中的每一行从左到右，每一列从上到下均为等差数列.
若第行与第列的交叉点上的数记为，则（ ）
A．210B．399C．400D．420
【答案】C
【分析】观察对角线上各数的规律，推理出其通项，在进行求和.
【详解】由题意以推导出第行与第列交叉点上的数应该是，然后由等差数列的求和公式求和即可
根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，
第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，
由此可以推导出第行与第列交叉点上的数应该是，
所以
.
故选：C
12．已知定义在上的函数的导函数为，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得：，设可得，所以
，可得，对其求导结合可得的值，再由导数判断单调性即可求最值.
【详解】由，可得，
设，则，
所以，所以，
可得，，
又由，可得，所以，
所以，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的最小值为．
故选：B.
二、填空题
13．已知随机变量，则 .
【答案】
【分析】根据二项分布的概率公式求即可.
【详解】由题意知：，
故答案为：.
14．为了解患某疾病是否与性别有关，随机地调查了50人，得到如下的列联表：
则 （填“有”或“没有”）的把握认为患该疾病与性别有关．
参考公式：，其中．参考数据：
【答案】没有
【详解】根据的计算公式求得，结合题意给的数据表和独立性检验的思想即可下结论.
由题意知，，
所以没有99.9%的把握认为患者与该疾病有关.
故答案为：没有
15．同学们，对于本张数学试卷的12个选择题，我们假定：某考生对选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，而对其它三个选项都没有把握，设该生选择题的总得分为分，则 .
【答案】
【分析】设该生答对题数为，总得分为，由题意知，由二项分布的方差公式计算后再由方差的关系可得结论．
【详解】设该生答对题数为，总得分为，由题意知，
所以，．
故答案为：．
16．已知函数，在处取得极小值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先求出定义域，再求导得，构造函数，则，当时，可得在上单调递增，而，可得在处取得最小值；当时，同样可得在处取得最小值；当时，时，，单调递减，函数无极值；当时，可判断出在处取得极大值，从而可得答案
【详解】函数的定义域为，且，
令，则，且．
（1）当时，，函数在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以在处取得最小值，满足题意．
（2）当时，即，当时，，函数在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以在处取得最小值，满足题意．
（3）当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，所以当时，，单调递减，不符合题意．
（4）当时，即，且当时，，单调递减，，
当时，，单调递减，，
所以在处取得极大值，不符合题意．
综上可知，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数极值问题，解题的关键是对求导后，再构造函数，而，所以再通过考查的单调性来判断函数极值，考查数学转化思想，属于较难题
三、解答题
17．已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据已知条件及零点分段法即可求解绝对值不等式.
（2）根据已知条件去掉绝对值，利用绝对值的等价条件及不等式恒成立的解决方法即可求解.
【详解】（1）依题意，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，无解．
综上可得，不等式的解集为.
（2）因为在上恒成立，
所以，即，
所以，,
所以
又因为
所以,
所以.
综上所述，实数的取值范围为．
18．已知函数.
（1）当时，求表达式的展开式中二项式系数的最大值；
（2）当时，若，求.
【答案】（1）10；（2）.
【分析】（1）时，先求出，然后根据二项式系数的性质求解；
（2）时，，，变形为，然后二项式定理可得．
【详解】（1）由题，
所以当时，，
故，
而的展开式共有6项，
故二项式系数的最大值为
（2）当时，，
即，
由
可知，
19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中．
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润与的关系为．根据（2）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】(1)
(2)
(3)；.
【分析】（1）根据散点图，选择更适宜；
（2）令，拟合函数化为线性回归方程，由题中提供的公式以及数据，即可求解；
（3）（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值为，年利润的预报值为；（ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值，求二次函数的最值即可.
【详解】（1）根据散点图判断，
更适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；
（2）令，，
由表可知：，
；
所以关于的回归方程为：
；
（3）（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值为，
年利润的预报值为.
（ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值
，
当，即时，年利润的预报值最大，
故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.
20．某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得300元优惠券；方案乙的中奖率为，中奖可以获得350元优惠券；未中奖则没有优惠券．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为元，求的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列，并判断他们选择何种方案抽奖，两人获得的优惠券总金额的数学期望较大．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）400，350，他们都选择方案甲进行抽奖时，所获得的优惠券总金额的数学期望较大.
【分析】（Ⅰ）由已知得，两人中奖与否互不影响，记“”的事件为，则事件的对立事件为，根据相互独立事件的概率公式及对立事件的概率公式即可求解；
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的优惠券总金额为元，都选择方案乙所获得的优惠券总金额为元，则的可能取值为0，300，600，的可能取值为0，350，700，分别求出期望，根据期望的大小得出结论.
【详解】解：（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“”的事件为，则事件的对立事件为，即“”，
因为，
所以，
即的概率为．
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的优惠券总金额为元，都选择方案乙所获得的优惠券总金额为元，则的可能取值为0，300，600，的可能取值为0，350，700．
，
，
，
，
，
，
所以，的分布列如下：
所以，
．
因为，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，所获得的优惠券总金额的数学期望较大．
21．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数在上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（Ⅱ）求出，利用在是恒成立转化为求函数最值．
【详解】解：（Ⅰ）由题可知的定义域为，
．
令，得．
∴当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
（Ⅱ）由题可知，
则．
∵在上是增函数，
∴在上恒成立．
∴对任意，不等式恒成立，等价于恒成立．
令，则，．
令，则，
∵，∴，
∴在上单调递减，
∴当时，，当时，，
即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，从而，即的取值范围为．
【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，由函数的单调性求参数范围．解题关键是问题函数单调性转化为不等式恒成立，再用分离参数法转化为求函数的最值．
22．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
月份
1
2
3
4
销量
4.5
4
3
2.5
患该疾病
不患该疾病
总计
男
15
10
25
女
5
20
25
总计
20
30
50
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
0
300
600
0
350
700