2022-2023学年黑龙江省大兴安岭实验中学（东校区）高二下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省大兴安岭实验中学（东校区）高二下学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
由于，则，因此，.
故选：A.
2．设，则“”的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据必要不充分条件的含义可知所选集合应该能真包含集合，由此可判断答案.
【详解】由，得，即，
则选项是“”的必要不充分条件，即是选项中集合的真子集，
结合选项，A,B中集合都不含3，不符合题意，D中集合不能包含，不符合题意，
而C集合满足，
故选：C.
3．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）
A．120种B．180种C．240种D．300种
【答案】C
【分析】按照分组分配的方法，列式求解.
【详解】将5位同学分为2，1，1，1的分组，再分配到4所学校，
共有种方法.
故选：C
4．从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望.
【详解】解：设得分为，根据题意可以取，，.
则，，
，
则分布列为：
所以得分期望为.
故选：.
5．已知随机变量 分别满足，，且期望，又，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用正态分布的对称性可求得，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，可求得答案.
【详解】由题意，，且期望，故，
由，知，
故.
故选：C
6．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量服从两点分布，且，则
C．若随机变量的分布列为，则
D．若随机变量，则的分布列中最大的只有
【答案】D
【分析】A选项，根据正态分布的对称性得到，A正确；B选项，根据服从两点分布，且得到分布列，求出的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据概率之和为1列出方程，求出；D选项，根据解出答案.
【详解】A选项，，由正态分布的对称性可知，A正确；
B选项，若随机变量服从两点分布，且，
即分布列为：
所以
故，则，B正确；
C选项，分布列中概率之和为1，即，解得，C正确；
D选项，随机变量，令，
即，解得，
因为，所以或3，
则的分布列中最大的有或，D错误.
故选：D
7．阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有的学生每天阅读时间超过小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占.现从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用全概率公式可构造方程求得所求概率.
【详解】设写作能力被评为优秀等级为事件，每天阅读时间超过小时为事件，
则，，；
，
，
即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为.
故选：B.
8．一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（ ）
A．20B．C．D．
【答案】D
【分析】根据组合的定义，结合二项式系数和的公式进行求解即可.
【详解】因为只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，
所以因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为：，
根据二项式系数和公式可知：，
故选：D
二、多选题
9．给出以下四个说法，正确的有（ ）
A．如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个
B．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C．在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
D．设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上
【答案】BCD
【分析】利用回归分析的相关定义对各个选项逐一分析判断即可得到结果.
【详解】选项A，因为经验回归方程必过样本点的中心，非样本点，故选项A错误；
选项B，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确；
选项C，因为决定系数越大，表示残差平方和越小，数据就越集中，即模型的拟合效果越好，故选项C正确；
选项D，因为两个变量之间的线性相关系数为的绝对值越大，数据就越集中在回归方程附近，当时，点就在直线上了，所以选项D正确.
故选：BCD.
10．2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．变量x，y线性负相关且相关性较强
C．相应于点(9.5,10)的残差约为-0.4D．当x=8时，y的估计值为14.4
【答案】ABD
【分析】对选项A由样本中心在回归方程上求参数；对选项B由相关系数的意义及回归方程的斜率符号判断；对选项C利用残差的定义求残差；对选项D将8代入回归方程求估计值.
【详解】由表格知：，
所以，可得，A正确；
由相关系数且回归方程斜率为负，则变量线性负相关且相关性较强，B正确；
由，故残差为，C错误；
由，D正确；
故选：ABD
11．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．若随机变量服从正态分布，，则
B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种
C．从双不同颜色的鞋子中任取只，其中恰好只有一双同色的取法有240种
D．西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种
【答案】ACD
【分析】根据正态分布的性质判断A，根据分步乘法计数原理判断B，先选一双鞋子，再从剩下的双鞋子中各选一只，按照分步乘法计数原理判断C，先分组、再分配，即可判断D.
【详解】对于A：若随机变量服从正态分布，，则，
，故A正确；
对于B：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种，故B错误；
对于C：先从双不同颜色的鞋子中任选一双有种取法，
再从剩余的双鞋子中的任意两双，在这两双中各选一只有，
由分步乘法计数原理可得从双不同颜色的鞋子中任取只，
其中恰好只有一双同色的不同取法共有，故C正确；
对于D：分组的方案有、和、两类，第一类有种；
第二类有种，所以共有种不同的方案，故D正确；
故选：ACD．
12．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ）
A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为
B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手中有白、红球各1个的概率为
C．经过6次试验后试验停止的概率为
D．经过8次或9次试验后试验停止的概率最大
【答案】ABD
【分析】利用条件概率公式计算判断AB；利用二项分布计算判断C；设实验次结束的概率为，解不等式判断D作答.
【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则，
从箱子中不放回地抽球，记“第次抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到红球”，，
对于A，，经过两次实验后，实验者手
中恰好有2个白球的概率为：，A正确；
对于B，已知第一次拿到白球，第二次拿到红球的概率为：，B正确；
对于C，实验6次结束，则前5次有4次硬币正面朝上，第6次硬币正面朝上，其概率为：，C错误；
对于D，实验次结束的概率为，则，，
令，得，化简得，解得，即，
所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
【答案】0
【分析】结合已知条件，利用集合元素的互异性，即可求得本题答案.
【详解】因为，且，所以，
则有，
所以，且，得，
所以，
故答案为：0
14．已知p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0，若p是错误的，则实数a的取值范围是 ．(用区间表示)
【答案】
【分析】由题可知命题的否定为真命题，由二次不等式恒成立列式求解即可.
【详解】由题意知，恒成立，
∴关于的方程的根的判别式，∴，
∴实数的取值范围是，
故答案为：.
15．直线与曲线相切，则 .
【答案】
【分析】设切点，根据导数几何意义可得切线方程，由此可构造方程求得结果.
【详解】设直线与曲线相切于点，
，，切线方程为：，即，
，解得：，.
故答案为：.
16．四人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是 .
【答案】
【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】依题意第二次传球不能在甲手中，第三次传球回到甲手中，则概率.
故答案为：
四、解答题
17．已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为5∶2.
(1)求f（x）展开式中的常数项；
(2)若的展开式中含项的系数为20，求a的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二项式系数比求得，再结合二项式定理求常数项即可；
（2）通过二项式定理求特定项的系数即可.
【详解】（1）因为，即，
解得或（舍），
所以f（x）展开式中的常数项为.
（2）的展开式中含项的系数为
，
解得.
18．某部门共有10人，其中有6人已接种某处疫苗，4人未接种该种疫苗，从中随机地抽取4人作为样本，用表示样本中接种疫苗者的人数.
（1）若不放回地随机抽取，求或3时的概率；
（2）若有放回的随机抽取，求的分布列及数学期望；
（3）分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本接种疫苗人数的比例估计总体中接种疫苗人数的比例，求误差不超过0.2的概率；试比较两种抽取方法，哪种抽取方法估计的结果更可靠？
【答案】（1）；（2）分布列详见解析，期望；（3）采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
【分析】（1）利用超几何概率公式求解；（2）由条件可知，根据公式求得概率后，即可求得结果；（3）由，得取2,3，再分别比较两种抽取下的概率，即可得到结论.
【详解】（1）或
；
（2）有放回的随机抽取，各次使用结果相互独立，，的取值有0，,1,2,3,4
，，
，，，
的分布列为：
期望；
（3）样本中接种疫苗的比例为，由题意可知，解得：，即取2,3，
有放回抽取时，所求概率，
无放回抽取时，所求概率,
，所以在误差不超过0.2的限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
19．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学随机抽取了80名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下列联表：
(1)依据的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生锻炼的经常性；
(2)若列联表中的所有样本观测数据都变为原来的10倍，再做第（1）问，得到的结论还一样吗？请说明理由；
附：①，其中.
②临界值表
【答案】(1)不能
(2)不一样，理由见解析
【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，再与临界值表对照下结论；
（2）根据数据，求得，再与临界值表对照即可.
【详解】（1）解：零假设为性别与锻炼的经常性无关，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即不能认为性别因素会影响学生锻炼的经常性.
（2）由题意得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
因此可以认为性别因素会影响学生锻炼的经常性，此推断犯错误的概率不大于0.05，
得到的结论不一样.
20．全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
(2)由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中.
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）
附：①；②若，则，；③．
【答案】(1)8
(2)①317户；②
【分析】（1）利用平均数公式求解；
（2）易知①农户家庭年收入近似服从正态分布，根据，求得即可.②由年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布求解.
【详解】（1）解：这2000户农户家庭年收入的样本平均数.
（2）①农户家庭年收入近似服从正态分布.
因为，
所以.
因为，
所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.
②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布.
所以.
21．碳排放是引起全球气候变暖问题的主要原因．2009年世界气候大会，中国做出了减少碳排放的承诺，2010年被誉为了中国低碳创业元年．2020年中国政府在联合国大会发言提出：中国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．碳中和是指主体在一定时间内产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对“零排放”．如图为本世纪来，某省的碳排放总量的年度数据散点图．该数据分为两段，2010年前该省致力于经济发展，没有有效控制碳排放；从2010年开始，该省通过各种举措有效控制了碳排放．用x表示年份代号，记2010年为．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年开始的年度碳排放量．
表一：2011~2017年某省碳排放总量年度统计表（单位：亿吨）
(1)若关于x的线性回归方程为，根据回归方程估计若未采取措施，2017年的碳排放量；并结合表一数据，说明该省在控制碳排放举措下，减少排碳多少亿吨？
(2)根据，设2011~2017年间各年碳排放减少量为，建立z关于x的回归方程．
①根据，求表一中y关于x的回归方程（精确到0.001）；
②根据①所求的回归方程确定该省大约在哪年实现碳达峰？
参考数据：．
参考公式：．
【答案】(1)3.3（亿吨），0.21（亿吨）
(2)①；②大约在2026年实现碳达峰
【分析】（1）根据回归方程作出估计，并计算出减少的碳排放量.
（2）①根据非线性回归的知识求得正确答案. ②根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）2017年的估计值：（亿吨），
从而估计减少碳排放量为（亿吨）．
（2）①设，则，
，
∴
∴
∴，
②∵y的对称轴为，
∴大约在2026年实现碳达峰，
22．已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析
【解析】（1）先求导数，再根据讨论导函数符号变化情况，最后根据导函数符号变化情况确定极值；
（2）先放缩转化证，利用导数研究单调性，再根据单调性确定其最小值，最后根据基本不等式证得结论.
【详解】（1），
当时，在R单调递减，则无极值.
当时，令得，得，得，
在上单调递减，单调递增，的极小值为，无极大值，
综上：当时，无极值.
当时，的极小值为，无极大值；
（2）当时，，
令，转化证明
，所以在为增函数，
因为
所以，使得
因此函数在上单减函数，在上单增函数，
所以，
因此.
【点睛】本题考查求函数极值以及利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.
4
3
2
0
1
0
2
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5

0
1
2
3
4

0.0256
0.1536
0.3456
0.3456
.1296
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
20
20
40
女生
24
16
40
合计
44
36
80
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
年度碳排放量y（单位：亿吨）
2.54
2.635
2.72
2.80
2.885
3.00
3.09