2023-2024学年北京市海淀区北京交大附中高二上学期12月月考数学试题含答案

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一、单选题
1．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断.
【详解】且，则；且，则，所以.
故选：A
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用诱导公式即可得.
【详解】.
故选：A.
3．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的定义域求解.
【详解】解：因为函数，
所以，解得，
所以函数的定义域是，
故选：D
4．已知向量，，若时，；时，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由向量平行、垂直的坐标表示进行运算即可求解.
【详解】由题意若，则当且仅当，若，则当且仅当，解得，.
故选：C.
5．以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析各选项中函数的奇偶性和单调性，再判断作答.
【详解】对于A，函数是R上的奇函数，也是减函数，A是；
对于B，函数是R上的奇函数，是增函数，B不是；
对于C，函数是R上的增函数，不具奇偶性，C不是；
对于D，函数是上的增函数，不具奇偶性，D不是.
故选：A
6．在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
7．实数-•+lg4+2lg5的值为（ ）
A．25B．28C．32D．33
【答案】D
【分析】直接根据指数幂的运算法则、对数的性质及其运算法则进行计算即可，化简过程注意避免出现计算错误．
【详解】
，故选D．
【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则以及对数的运算法则与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．
8．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共名学生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调查．已知高一年级共有名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.
【详解】解：因为高一年级共有名学生，占高一、高二这两个年级共名的，
则采用分层抽样的方法抽取人中，应抽取高一年级学生的人数为人.
故选：C.
9．对任意，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用各基本初等函数的定义域和值域对各选项中的不等式进行判断.
【详解】对于A选项，对任意的实数，，A选项中的不等式不恒成立；
对于B选项，函数的定义域为，且当时，，B选项中的不等式不恒成立；
对于C选项，对任意的实数，，则，C选项中的不等式恒成立；
对于D选项，函数的定义域为，且当时，，D选项中的不等式不恒成立.故选C.
【点睛】本题考查不等式恒成立的判断，要充分理解各基本初等函数的定义域和值域，并结合不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于基础题.
10．已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
11．已知，则“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件.
【详解】设，可知函数对称轴为
由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立
由此可知：当，即时，
当时，可得，即
可知“”是“”的充要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题.
12．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
13．函数零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，转化为方程求根即可得解.
【详解】当时，由可得，解得，即函数有零点0；
当时，由可得，解得，即函数有零点.
综上可知，函数有2个零点.
故选：C
14．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则b＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理直接求解
【详解】由正弦定理
故选：C
15．将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将所得图象沿轴负方向平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的平移与伸缩变换求解即可.
【详解】将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，
可得，所得图象沿轴负方向平移个单位长度，
可得.
故选：B
16．已知三条不同直线、、，两个不同平面、，有下列命题：
①，，，，则
②，，，，则
③，，，，则
④，，则
其中正确的命题是（ ）
A．①③B．②④C．①②④D．③
【答案】D
【分析】对于①：根据面面平行的判定定理分析判断；对于②：根据线面垂直的判定定理分析判断；对于③：根据面面垂直的性质定理分析判断；对于④：根据线面平行的判定定理分析判断.
【详解】对于①：根据面面平行的判定定理可知：要求直线、相交，
但本题没有提及，所以不能得出，故①错误；
对于②：根据线面垂直的判定定理可知：要求直线、相交，
但本题没有提及，所以不能得出，故②错误；
对于③：根据面面垂直的性质定理可知：，故③正确；
对于④：根据线面平行的判定定理可知：要求直线，
但本题没有提及，所以不能得出，故④错误；
故选：D.
17．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（ ）
A．0.08B．0.18C．0.25D．0.72
【答案】D
【分析】根据独立事件乘法公式求解
【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为
故选：D
18．甲乙两名篮球运动员在4场比赛中的得分情况如图所示.，分别表示甲、乙二人的平均得分，，分别表示甲、乙二人得分的方差，那么和，和的大小关系是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】根据茎叶图提供的数据，分别计算平均数和方差即可得解.
【详解】根据茎叶图中数据可得，
，，
，
，
所以，.
故选：C
19．已知函数，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数，分解不等式即可得解.
【详解】因为，
所以当时，原不等式可化为，解得或；
当时，原不等式可化为，解得.
综上，不等式的解集为.
故选：A
20．《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：
某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元.若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A．5000~6000元B．6000~8000元C．8000~9000元D．9000~16000元
【答案】C
【分析】设他的当月工资、薪金所得为元，求出和均不合要求，假定他的当月工资、薪金所得为8000元，求出少交纳此项税款元，假定他的当月工资、薪金所得为9000元，求出少交纳此项税款元，，故他的当月工资、薪金所得介于8000~9000元.
【详解】设他的当月工资、薪金所得为元，
当时，
由于，故他的当月工资、薪金所得在内，
故，解得，
不合要求，舍去，
当时，则，
解得，不合要求，舍去，
假定他的当月工资、薪金所得为8000元，
原来交纳此项税款为元，
调整后交纳此项税款为元，
少交纳此项税款元，
假定他的当月工资、薪金所得为9000元，
原来交纳此项税款为元，
而调整后交纳此项税款为元，
少交纳此项税款元，
而当月少交纳此项税为332元，，
故他的当月工资、薪金所得介于8000~9000元，
故选：C
二、填空题
21．命题“对任意的，”的否定是 .
【答案】
【分析】根据全称命题的否定求解.
【详解】由全称命题的否定可知，
“对任意的，”的否定是“”.
故答案为：
22．函数的最小正周期是 .
【答案】
【分析】借助降幂公式及辅助角公式，将原函数变为正弦性函数即可得.
【详解】
，
则.
故答案为：.
23．已知，，且，则的最大值等于 ．
【答案】8
【分析】运用基本不等式的变形，化简整理即可得所求最大值．
【详解】 且
则
当且仅当 ，取得等号
则 的最大值为8
故答案为8
【点睛】本题主要考查的是基本不等式的合理运用及其变形．
24．在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列四个推断：
①平面；②平面；
③平面；④平面平面，
其中推断正确的序号是 .
【答案】①③
【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断①；由，与平面相交可判断②；由，根据线面平行的判定定理可判断③，由与平面相交可判断④，进而可得正确答案.
【详解】对于①：因为在正方体中，
，，分别是，，的中点，
所以，因为，所以，
因为平面， 平面，
所以平面，故①正确；
对于②：因为，与平面相交，
所以与平面相交，故②错误；
对于③：因为，，分别是，，的中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面，故③正确；
对于④：与平面相交，所以平面与平面相交，故④错误.
故答案为：①③.
25．已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出图形，结合图形，利用平面向量的数量积的几何意义判断求解即可．
【详解】画出图形如图，
，
它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，
由图可知，在处时，取得最大值，，
此时，可得，即最大值为6，
在处取得最小值，此时，
最小值为，
因为是边长为2的正六边形内的一点，取不到临界值，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义及其应用，考查了向量在几何中的应用，同时考查了数形结合思想的应用，是中档题．
三、单选题
26．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案.
【详解】若，则或，故充分性不成立，
若，则，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
27．若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．任意实数
【答案】C
【分析】由该方程表示椭圆，可得且，焦点在轴上可得，计算即可得.
【详解】由题意得，解得或，即.
故选：C.
28．已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】求出渐近线的方程，由点得，又即可求解.
【详解】易知双曲线的渐近线方程为，由渐近线经过点，可得，
故离心率为.
故选：D.
29．已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设直线l的倾斜角为θ∈[0,π).点A(1,−2),B(,0).
直线l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点P(0,−1).
∵点(1,−2)和(,0)在直线l:ax−y−1=0(a≠0)的两侧，
∴kPA解得.
本题选择D选项.
30．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.
【详解】解：设点A关于直线的对称点，
的中点为，，
故，解得，
要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为，
故选：D.
31．如图，椭圆的左，右焦点分别是，，正六边形的一边的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的中点为，连接，，则可得，再利用余弦定可求出，然后结合椭圆的定义列方程可求出离心率
【详解】设的中点为，连接，，
则，，，
因为，
所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：B
32．已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断两条直线经过的定点，判断交点所在的位置，利用椭圆的定义判断求解即可．
【详解】椭圆的焦点为：，
由与方程可知
直线与直线的交点为，且两条直线经过定点，
它们的交点满足：，在椭圆内部且与椭圆的短轴端点相交
当与重合时，取最小值为：
当与短轴端点重合时，取最大值为：
的取值范围是：
本题正确选项：
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，关键能够通过直线经过的定点确定交点的位置．
33．已知圆，为圆C的动弦，且满足，为弦的中点，两动点在直线上，且，运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由，得到，设的中点，根据恒为锐角，转化为以为圆心，以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相外离，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为，为弦的中点，可得，
又由两动点在直线上，且，
设的中点，当在圆上运动时，且恒为锐角，
可得以为圆心，以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相外离，
则，即，解得或，
所以线段PQ中点的横坐标取值范围是.
故选：A.
四、填空题
34．下面三条直线不能构成三角形，请给出一个符合题意的的值 .
【答案】（或或）
【分析】根据，或过和的交点求解即可.
【详解】当直线时，，得；
当直线时，，得；
解方程组得直线和的交点为，
当直线过点时，，解得.
综上，当或或时，三条直线不能构成三角形.
故答案为：（或或）
35．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 .
①②③④
【答案】②
【分析】根据异面直线的定义一一判定即可.
【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，
而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意；
因为，即共面，易知平面，而平面， ，，
故与异面，故②符合题意；
当重合时，易知，则四边形是平行四边形，
则此时，故③不符合题意；
当重合时，显然，相交，故④不符合题意.
故答案为：②
36．椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时，点横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【详解】试题分析：在中，由余弦定理知，因为∠为钝角，所以 ，即 ，化简得，设 ，因为在椭圆上，所以 ，解不等式得： ，所以答案应填：．
【解析】1、余弦定理；2、椭圆的简单几何性质；3、解不等式．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆中的关系、椭圆的定义，余弦定理，解不等式，属于难题．利用余弦定理及椭圆的定义知，∠为钝角时，，再由两点间的距离公式代入化简得：，，所以，从而解得：，本题对计算能力要求较高．
37．已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线右支上，满足，，又直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】由，知 为直角三角形，利用双曲线的定义及勾股定理，以及题中所给的条件建立关于离心率的不等式解出即可.
【详解】因为，故，
由双曲线定义可得，
由勾股定理知：，
整理得，，
又，，，
故，，
解得，
直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，
则直线的斜率，
所以，
所以.
故答案为：.
五、解答题
38．如图，在四棱柱中，平面，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①：；条件②：.
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
(3)的长为或.
【分析】选①或②，都能得到，，后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.
【详解】（1）若选择①，因平面ABCD，平面ABCD，则，
又，平面，平面，，则
平面，又平面，则；
若选择②，做，交AB于F，又，则四边形DCFA是平行四边形，则，又，则.
则在中，，得，又，则.
故，则如图建立以A为原点的空间直角坐标系.
则，
得，则直线与所成角的余弦值为：
.
（2）因，
则.
设平面的法向量为，则，
取，则求点到平面的距离.
（3）因点在线段上，则设，其中.
又，则.又，
设平面法向量为，则，
取，则直线与平面所成角的正弦值为：
或.
得线段的长为或.
39．已知点及圆.
(1)求圆心的坐标及半径的大小；
(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)圆心，半径
(2)
(3)不存在
【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，即可得出答案；
（2）根据由垂径定理求出圆心到直线的距离为，可知为的中点，求解即可；
（3）首先根据直线与圆相交的条件得到，根据垂直平分线的几何关系求出直线的斜率，进而求出参数的值，通过的值判断是否满足条件即可.
【详解】（1）由得，
所以圆心，半径；
（2）设圆心到直线的距离为，由垂径定理可得：，
解得：，因为到点的距离为，
所以为的中点，所以，以线段为直径的圆，
即以为圆心，半径为的圆，所以圆的方程为：.

（3）由直线与圆交于，两点，则圆心到直线的距离，
假设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上.
因为直线过点，所以的斜率，
而，所以，
由于不满足，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.

40．如图，椭圆的一个焦点为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点.
（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；
（ⅱ）求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)
【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆上的点建立方程，求出即可得解；
（2）（ⅰ）求出点的坐标，证明点的坐标满足椭圆方程即可；
（ⅱ）设出的方程为，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，据此求出的表达式，换元后求最值即可.
【详解】（1）因为椭圆一个焦点为，所以，
点代入椭圆方程可得，
又，解得，
所以椭圆方程为.
（2）(i)由题意得，，
设，则，且①，
则的方程分别为：，.
设，则有②，③
由②，③得，由①得，
因为，
所以点M恒在椭圆上.
(ⅱ)设的方程为，代入，得，
设，则有，，
所以，令，
则，
因为，所以，
故当，即，时，有最大值3，此时过点.
所以，
即的面积的最大值为.
全月应纳税所得额（含税级距）
税率（%）
不超过1500元
3
超过1500元至4500元的部分
10
超过4500元至9000元的部分
20
…
…