2023-2024学年广东省广州市真光中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市真光中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解.
【详解】因为直线过，两点，可得，
又因为，所以，可得，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由离心率求得即得渐近线方程．
【详解】，，，
故选：B
3．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】分别当时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求的范围．
【详解】当时，两直线分别为：，，
两直线斜率相等，则平行且不重合．
若两直线平行且不重合，则
或，
综上所述，是两直线平行的充分不必要条件．
故选：A
4．是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1B．1C．9D．9或2
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】是双曲线上一点，所以，所以，
由双曲线定义可知，
所以或者，又，所以，
故选：C
5．已知抛物线的焦点为，定点，点为抛物线上一点，则的最小值为（ ）
A．8B．C．6D．
【答案】A
【分析】由抛物线的几何性质知：，由图知为的最小值，求长度即可
【详解】点是抛物线的焦点，其准线方程为，作于，作于，
∴，当且仅当为与抛物线的交点时取得等号，
∴的最小值为.
故选：A
6．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在为直径的圆上，即，根据得到离心率范围.
【详解】，故在为直径的圆上，即，
圆在椭圆内部，故，，故.
故选：B.
7．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.
【详解】的中点坐标为，则，
设，，则，，
相减得到：，即，，
又，，解得，，椭圆的方程为.
故选：C.
8．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，确定，根据向量之间的关系得到，得到，，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，设，显然当时，，当时，，
要想求解直线OM的斜率的最大值，此时．

设，，，则，即，
解得．
，故，即，
，故，
当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为．
故选：B.
二、多选题
9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；
对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；
对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误．
故选：BC.
10．已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若双曲线上一点满足，则的周长为28
B．渐近线方程为
C．若从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
D．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
【答案】AC
【分析】计算，得到A正确，渐近线方程为，B错误，最短距离为，C正确，计算离心率得到D错误，得到答案.
【详解】双曲线的焦点分别为，，
对选项A：，，故，，
的周长为，正确；
对选项B：双曲线的渐近线方程为，错误；
对选项C：从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为，正确；
对选项D：双曲线离心率为，椭圆的离心率，错误；
故选：AC.
11．已知直线l：和圆O：，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线：垂直
C．直线l与圆O相交
D．直线l被圆O截得的最短弦长为
【答案】BC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由可得，，
令，即，此时，所以直线l恒过定点，A错误；
对B，因为直线：的斜率为，所以直线l的斜率为，即，
此时直线l与直线垂直，满足题意，B正确；
对C，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确；
对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；
故选：BC.
12．已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设，则
D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】ABC
【分析】根据过焦点的直线与抛物线的相交的交点坐标关系、圆的几何性质逐项判断即可.
【详解】由题意，抛物线的准线为，所以，抛物线C的方程为，焦点为，
过作于，

则由抛物线的定义可得，故A正确；
，则以PQ为直径的圆的半径，
线段PQ的中点坐标为，
则线段PQ的中点到准线的距离为，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；
抛物线的焦点为，，
当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立消去x，并整理得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
13．与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为 ．
【答案】
【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出的值，再由双曲线的离心率得出，进而可得双曲线的标准方程．
【详解】由椭圆方程，可得焦点为
设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则
故，所以，
所以双曲线的标准方程为：
故答案为：
14．求圆上的动点到直线距离的最大值 ．
【答案】
【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解.
【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1，
圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线距离的最大值为.
故答案为：.
15．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到，最后利用基本不等式中“1”的妙用，将化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值.
【详解】先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆的焦点分别为点与点，
于是点与点也是双曲线的两个焦点，
因此，最后使用基本不等式中“1”的代换，
于是就有（当且仅当时取等号），
因此的最小值为9．
故答案为：9
16．月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与圆分别相切于点，称两射线的切点上方部分与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”．若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，当取得最大值时的值为 ．
【答案】/
【分析】根据相切得到切线方程为，当圆与直线相切且与圆外切时半径最大，据此得到方程组，解得答案.
【详解】如图所示：切线斜率存在，设切线为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
切线方程为，
当圆与直线相切且与圆外切时半径最大，则，
圆心在切线的左上方，故，即，
，解得，（舍去负值）.
故答案为：.
四、解答题
17．已知数列前项和为．
(1)试写出数列的前5项；
(2)数列是等差数列吗？请说明理由；
(3)求的通项公式．
【答案】(1)
(2)数列不是等差数列，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系即可求得数列的前5项；
（2）利用等差数列的定义即可判断数列不是等差数列；
（3）利用数列前项和与通项的关系即可求得数列的通项公式．
【详解】（1）由得，
，
所以．
（2）由（1）知，所以数列不是等差数列．
（3）当时，；
当时，；
综上，的通项公式为．
18．已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与交于两点，且以为直径的圆过点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用抛物线定义即可求得抛物线的标准方程；
（2）设，联立抛物线与直线的方程，利用设而不求的方法列出关于m的方程，解之即可求得m的值，进而得到直线的方程．
【详解】（1）由题意抛物线的焦点，准线方程是
则，故抛物线的标准方程为．
（2）显然的斜率不为0，设，
联立，得
，
又，所以，
又，
则，
即，
即，解得，
所以直线的方程为，
即或．
五、证明题
19．如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理确定，根据线面垂直得到，得到平面；
（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算两个平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）中，，即，
满足，故，
平面，平面，故，
又，平面，故平面；
（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

，，，，，，
平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，，
则，取得到，
平面与平面夹角的平面角为锐角，
故余弦值为.
20．在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
,平面与平面所成的夹角的余弦为
六、解答题
21．已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）不妨设，，，由可得，结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．
（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，
由于且直线的斜率不等于0，
不妨设，，，
则，，
由可得，
联立方程，消去x得
则，由韦达定理可得，
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直线，即.
七、证明题
22．已知椭圆的左焦点为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）确定焦点得到，解得，，得到椭圆方程.
（2）考虑斜率存在和不存在的情况，设出直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定中点坐标得到直线的方程，取代入计算得到答案.
【详解】（1）椭圆的左焦点为，，则右焦点为，点在椭圆上，
取得到，即，又，
解得，，（舍去负值），故椭圆方程为，
（2）当两条直线斜率存在时，设的直线方程为，，，
则，整理得到，
，
故，，即，

同理可得：，则，
故直线的方程为：，
取，
.
故直线过定点.
当有直线斜率不存在时，为轴，过点.
综上所述：直线必过定点
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.