2023-2024学年贵州省高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年贵州省高二上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线与直线平行，则（ ）
A．B．3C．或3D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行与系数的关系即可求出结果.
【详解】由，解得或.
当时，两直线重合；当时，符合题意.
故选：B.
2．在空间直角坐标系中，点在平面上的投影的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点在平面上的投影特征求解即可.
【详解】点在平面上的投影的坐标为.
故选：D.
3．圆：与圆：的位置关系为（ ）
A．外离B．相切C．相交D．内含
【答案】D
【分析】根据圆与圆的位置关系知识即可求解.
【详解】由题意得，圆与圆的半径之差为，
所以圆与圆的位置关系为内含.
故选：D.
4．已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，代入相关值可求解出结果.
【详解】因为向量，
所以向量在向量上的投影向量，
故选：A.
5．已知直线与圆：交于，两点，则（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【分析】利用半弦长、半径、弦心距的关系，即可得到弦长.
【详解】由题意得圆：，
则圆心到直线的距离为，
所以.
故选：B.
6．如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可.
【详解】因为分别为的中点，所以.
因为为的重心，所以，
所以.
故选：B.
7．在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建系，利用空间向量的方法求点到面的距离即可.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
则由得令，得，
则，
故点到平面的距离为.
故选：C.
8．在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长交于点，通过三角形重心的性质得出为的中点，结合已知即可得出,再通过三棱台的性质得出，则，即可将分解为，即可利用向量模的求法结合已知得出答案.
【详解】如图，延长交于点，
的重心为，
为在边上的中线，即为的中点，
三棱台中，，
,,
，
三棱台中，面面，且面分别交面，面于，，
，
，则，
得，
所以.
故选：D.
二、多选题
9．下列各组向量中互相平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据向量的共线定理即可判断两个向量是否平行，其中零向量与任何向量都平行.
【详解】对于，因为，所以不平行；
对于，因为，所以；
对于，因为，所以；
对于，因为零向量与任何向量都平行，所以.
故选：BCD
10．已知圆，圆，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．与没有公共点
C．与的位置关系为外离
D．若分别为圆与圆上的动点，则的最大值为
【答案】BD
【分析】求出两圆的圆心及半径，求出即可判断A；求出圆心距即可判断BC；根据的最大值为即可判断D.
【详解】由题意可知圆，则圆心，半径，
圆，则圆心，半径，
则，与直线不垂直，故A不正确；
因为，
所以与的位置关系为内含，故B正确，C不正确；
对于D，的最大值为，故D正确.
故选：BD.
11．已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（ ）
A．直线不经过第二象限的充要条件是
B．线段的中点的轨迹方程为
C．当时，的最小值为
D．当时，的最小值为
【答案】BC
【分析】举判断A；利用相关点法求轨迹方程判断B；当到直线的距离最小时，为最小值判断C；作关于直线的对称点，将转换为得到最小值判断D.
【详解】显然当时，直线的方程为，也不经过第二象限，所以A不正确；
设的中点为，则
因为，所以，
即线段的中点的轨迹方程为，故B正确；
圆心，半径为，当时，直线的方程为，
因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故C正确；
设关于直线的对称点为，则解得即，
因为，所以，
所以的最小值为，故D不正确.
故选：BC.
12．数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ）
A．若秒针指向了钟上数字5，如图2，则
B．若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面
C．若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为
D．若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】分别用立体几何中空间向量法判断A，B，C，求出四面体的外接球的表面积，判断D.
【详解】
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
若秒针指向了钟上数字5，则，
则，，所以，A正确.
，故是平面的一个法向量.
因为，所以，
所以与不垂直，从而与平面不平行，B不正确.
若秒针指向了钟上数字4，则，
，
，C正确.
由，得.
因为，所以外接圆的半径，
则四面体的外接球的半径，则，
故四面体的外接球的表面积为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知直线的倾斜角比直线：的倾斜角小，则直线的倾斜角为 .
【答案】
【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求得的倾斜角，即可得答案.
【详解】由题意得直线：的斜率为，
直线的倾斜角范围为大于等于小于，故的倾斜角为，
所以直线的倾斜角为，
故答案为：
14．已知向量，则在上的投影向量的模为 .
【答案】/
【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以在方向上的投影向量的模为.
故答案为：.
15．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为 .
【答案】
【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.
【详解】设直线与平面所成的角为，
则，所以.
故答案为：
16．已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则 .
【答案】
【分析】利用圆的一般方程求出圆心和半径，结合圆的性质和勾股定理即可求解.
【详解】由，得，
所以圆的圆心为，半径为3.
因为直线是圆的对称轴，
所以经过点.
由，得，
所以的坐标为.
因为圆的半径为3，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线，直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行关系得到关于的方程，求解出的值并进行检验；
（2）根据垂直关系得到关于的方程，由此求解出结果.
【详解】（1）因为，所以，
整理得，解得或，
当时，重合，舍去，
当时，，符合题意，
故.
（2）因为，
所以，
解得.
18．如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记.
(1)求的值；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算和向量基本定理求解；
（2）利用空间向量的线性运算和向量数量积求解.
【详解】（1）因为是的中点，，所以，
又，所以，
则.
（2）因为，
所以由正四面体的棱长为4，
可得，
故.
19．已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若，，点M在圆C上，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组求出参数即可得解.
（2）由题意设点在圆上，则，，由两点之间的距离公式化简可得，由此即可得解.
【详解】（1）设圆C：（），
由题意得，解得，
所以圆C的方程为．
（2）设，，由，得，
则．
当时，取得最小值，最小值为10；
当时，取得最大值，最大值为34．
故的取值范围为.
20．已知直线的方程为.
(1)证明：不论为何值，直线过定点.
(2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可.
（2）设出与直线垂直的方程，分别令、求出相对于的值、值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果.
【详解】（1）证明：直线的方程，
可整理为.
由，解得，
所以直线过定点.
（2）由（1）知，直线过定点，
设过点且与直线垂直的直线方程为，
令，则.
令，则.
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
21．如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，且，正三角形的边长为2.
(1)证明：平面.
(2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）先通过线面平行的判定定理证明平面，然后根据线面平行的性质定理证明，再结合线面平行的判定定理完成证明；
（2）建立合适空间直角坐标系，然后根据直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值求解出的值.
【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，
又平面平面，
所以平面，
因为平面平面平面，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）分别取的中点，连接，
因为平面平面为正三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的法向量为，
则由得，
令，得，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得或（舍去），
故.
22．如图，在三棱锥中，为的中点.
(1)证明：.
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）连接，利用勾股定理逆定理可得，再根据，即可得到平面，从而得到；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【详解】（1）
证明：连接，
因为为的中点，
所以，.
因为，所以.
因为，所以，所以.
因为，平面，平面，所以平面.
因为平面，所以.
（2）由（1）可知，两两垂直，以为坐标原点，
以的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
因为，所以.
设平面的法向量为，
因为，
所以令，
得.
取平面的法向量.
设二面角为，由图易知其为锐二面角，则，
故二面角的余弦值为.