2023-2024学年河南省南阳市华龙高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省南阳市华龙高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线，则该直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.
【详解】设该直线倾斜角为，由题意可知，故.
故选：A
2．已知直线与直线间的距离为，则（ ）
A．或B．
C．或11D．6或
【答案】A
【分析】运用两条平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】直线可化为，
所以，解得或．
故选：A.
3．点与圆的位置关系为（ ）
A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m的值无关
【答案】A
【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果.
【详解】，
在圆外，
故选：A.
4．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆方程的特征分析求解.
【详解】由题意可得：，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．4B．3C．5D．
【答案】B
【分析】写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得.
【详解】双曲线中，，且焦点在x轴上，
所以渐近线方程为，即，
由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等，
不妨求点到的距离，得.
故选：B
6．抛物线上一点到其准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的标准方程及其简单几何性质进行求解.
【详解】把点的坐标代入抛物线方程，解得，
所以抛物线的方程为，即，抛物线的准线的方程为，
所以点到抛物线准线的距离为.
故选：B
7．如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算直接得解.
【详解】由是的中点，
可知，
所以，
故选：D.
8．已知椭圆，过点的直线与交于两点，且为的中点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，代入椭圆方程相减得直线斜率，从而得直线方程．
【详解】，在椭圆内部，
易得直线的斜率存在，设的斜率为，
由题意得，两式相减得
，则，得.
故的方程为，即.
故选：C．
二、多选题
9．已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于选项：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故D错误；
因为是空间中不共面的三个向量，
对于选项B：设，显然不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；
对于选项C：设，
则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故C正确；
故选：BC.
10．已知圆M的方程为，则关于圆M的说法正确的是（ ）
A．圆心M的坐标为
B．点在圆M内
C．直线被圆M截得的弦长为
D．圆M在点处的切线方程为
【答案】ABD
【分析】由圆的标准方程即可判断A，根据点与圆的位置关系即可判断B，根据直线与圆相交，结合勾股定理即可求解弦长判断C，根据点的位置即可判断切线与轴平行，即可判断D.
【详解】由圆M的方程为，知其圆心为，半径为1，故A正确；
点到点的距离为，故B正确；
点到的距离为，所以，故C错误；
因为，所以点在圆M上，
而点与圆心在垂直于坐标轴x的直线上，
所以圆M在点的切线直线与轴平行，其方程为，故D正确.
故选：ABD．
11．已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．的最小值为1
D．椭圆的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据椭圆的方程求出，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解.
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，故，
故的周长为，故A正确；
当点位于椭圆的上下顶点时，面积的最大，
最大值为，故B正确；
因为为椭圆上异于长轴端点的动点，
所以，即，故C错误；
椭圆的离心率为，故D正确.
故选：ABD.
12．已知抛物线的焦点为，为上一动点，，则下列结论中正确的是（ ）
A．的准线方程为B．直线与相切
C．的最小值为4D．的最小值为3
【答案】BC
【分析】求出抛物线的焦点、准线，结合抛物线定义判断AC；联立方程判断B；建立函数关系求出最小值判断D作答.
【详解】抛物线，即的焦点，准线方程为，A错误；

由消去y并整理得：，显然此方程有二相等实根，因此直线与相切，B正确；
令抛物线的准线交y轴于点，过作准线的垂线，令垂足为，连接，
，当且仅当点与点重合时取等号，C正确；
设，，
当且仅当时取等号，即的最小值，D错误.
故选：BC
三、填空题
13．已知，，且，则x的值是 ．
【答案】2
【分析】由，得直接求解即可.
【详解】因为，，且，
所以，解得，
故答案为：2
14．设，，若空间向量与平行，则 .
【答案】
【分析】由空间向量平行列式求解参数，即可求出向量的模.
【详解】因为空间向量与平行
所以存在唯一实数，使得.
则，解得，即
所以.
故答案为：.
15．已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 .
【答案】
【分析】由向量的线性运算可知，再由共面定理可知，即可得解.
【详解】由，
得，
即，
又，，，四点共面，
即，，共面，
所以存在唯一实数对，使，
所以，
解得，
故答案为：.
16．已知实数x，y满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】将化为圆，利用为圆上的点到的距离，求解即可.
【详解】将，化为，
如图所示：该曲线为圆心的圆,
可以表示为圆上的点到的距离，
所以的最大值为圆心到的距离加上半径，
所以,
即的最大值为.
故答案为：.
四、问答题
17．已知直线与直线相交于点，则
(1)求过点且平行于直线的直线
(2)求过点且垂直于直线的直线
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出点坐标，利用两直线平行得到所求直线斜率后，即可求出结果；
（2）利用两直线垂直得到所求直线的斜率后，即可求出结果.
【详解】（1）由解得，即，
因为直线的斜率为，
所以过点且平行于直线的直线的斜率为，
所以直线为：，化简得.
（2）因为直线的斜率为，
所以点且垂直于直线的直线的斜率为
所以直线为：，化简得.
18．已知圆．
(1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：
(2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．
【答案】(1)，圆心坐标，半径为
(2)或
【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；
（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案
【详解】（1）由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标，半径为．
（2）由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，得或．
19．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的顶点为焦点的双曲线方程.
【答案】
【详解】椭圆
∴ a2＝25，b2＝16，c2＝25－16＝9
且 椭圆焦点在y轴上
∴ 双曲线的焦距是2×5＝10，实轴长为2×3＝6，虚轴长为8
即 a＝3，b＝4，c＝5
∵ 焦点在y轴上
∴ 双曲线方程为：
20．（1）求与双曲线有相同的焦点且过点的双曲线标准方程；
（2）求焦点在直线上的抛物线的标准方程.
【答案】（1） ；（2）或.
【分析】（1）由题可得焦点为，利用待定系数法可得，进而即得；
（2）由题可得抛物线的焦点，进而即得.
【详解】（1）由双曲线可知其焦点为，
可设所求双曲线的标准方程为，则，
所以，解得，
所以与双曲线有相同的焦点且过点的双曲线标准方程为；
（2）由，令，可得，令，可得，
所以抛物线的焦点为或，
所以焦点在直线上的抛物线的标准方程为或.
21．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可；
（2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积.
【详解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，
因为焦距为，，
又离心率，，
再由，
所以椭圆标准方程为：.
（2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为：
则，
，
由弦长公式,
到直线的距离,
．
22．已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设可得，即可得写出抛物线标准方程；
（2）由已知有直线为，联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求，点线距离公式求O到直线的距离，进而求的面积.
【详解】（1）由焦点F到准线的距离为2，即，故抛物线的标准方程为；
（2）由（1）知：，则直线为，即，
联立抛物线可得：，则，，
所以，
又O到直线的距离，
所以.