2023-2024学年河南省信阳市商城县上石桥高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省信阳市商城县上石桥高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线：，则下列选项错误的是（ ）
A．当直线与直线平行时，
B．当直线与直线垂直时，
C．当实数变化时，直线恒过点
D．原点到直线的距离最大值为
【答案】C
【分析】A项：根据与直线平行可求出值，即可求解；
B项：根据与直线垂直可求出值，即可求解；
C项：将直线整理得：，从而求出定点，即可求解；
D项：当原点与直线过的定点连线垂直直线时有最大距离，从而求解.
【详解】对于A项：当直线与直线平行，得斜率为：，解得：，故A项正确；
对于B项：当直线与直线垂直，得斜率：，解得：，故B项正确；
对于C项：直线化简为：，由，解得：，即l恒过定点，故C项错误；
对于D项：当原点与直线的定点的连线垂直于直线时距离最大，由两点间距离得：，故D项正确.
故选：C.
2．已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
因为直线与C无公共点，所以，即，
所以，又，所以C的离心率的取值范围为.
故选：D.

3．已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】设，根据向量共面定理，解方程组即可求解.
【详解】因为，且三向量共面，
所以，所以，
所以，解得.
故选：A
4．圆：和圆：的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此得到公切线条数.
【详解】因为两个圆：和：，
即，，
所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以两圆圆心距为，
因为，所以两圆外切，有3条公切线，
故选：C.
5．如图三棱柱中，是棱的中点，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算求解.
【详解】因为
，
即.
故选：A.
6．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由点在抛物线上，可设，利用，可得，通过计算可得的值，进一步求出点横坐标，利用抛物线的定义求，从而得到答案.
【详解】∵点在抛物线：上，故设.
又抛物线的焦点为，准线为，所以.
∵，∴.
而，，
∴，解得：.
∴点的横坐标为.
根据抛物线的定义，得，所以.
故选：A.
7．在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求出直线与平面所成的角为的正弦值，再表示出并求出其范围.
【详解】
设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，
设，
则,
设平面的法向量为，
则取，则，
所以为平面的一个法向量，
所以
由于，所以，
所以，
因为所以.
故选：B
8．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出点的轨迹方程为，设，整理可得，从而将所求转化为点到点和点的距离之和的一半，再结合图象进行求解即可.
【详解】设，
由，
得，化简整理得，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
设，则，
故，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.

【点睛】关键点点睛：设，得出，将问题转化为点到点和点的距离之和的一半是解决本题的关键.
二、多选题
9．在下列四个命题中，正确命题的是（ ）
A．若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
B．向量，若与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为；
C．直线的一个方向向量为；
D．若存在不全为0的实数x，y，z使得，则共面
【答案】CD
【分析】由向量可以平移的性质来判断A选项，由向量数量积和向量共线的定义来判断B选项，由直线方向向量的概念判断C选项，由向量共面定理判断D选项即可.
【详解】对于A，向量所在的直线为异面直线，因为向量是可自由平移的，
则向量可以平移到同一平面，此时共面，故A错；
对于B，向量，若与的夹角为钝角，
则，且与不共线，
即：，解得：且，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故直线的一个方向向量为，C正确；
对于D，存在不全为0的实数x，y，z，
当时，
，
由向量共面定理知一定共面,
同理，当或时，也一定共面,故D正确.
故选：CD
10．已知直线：，：，，以下结论正确的是（ ）
A．无论m取何值，与都互相垂直
B．和分别过定点和
C．不论m为何值，和都关于直线对称
D．若和交于点M，则的最大值是
【答案】ABD
【分析】对于A：根据直线垂直的分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于C：根据直线对称的点的性质分析判断；对于D：由选项AB可知：，即点M的轨迹为以为直径的圆，结合圆的性质分析求解.
【详解】对于选项A：因为，无论m取何值，与都互相垂直，故A正确；
对于选项B：对于直线：，当时，恒成立，即过定点，记为，
对于直线：，当时，恒成立，则恒过定点，记为，故B正确；
对于选项C：在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程得：不恒在上，故C错误；
对于选项D：由选项AB可知：，即点M的轨迹为以为直径的圆，
可知圆心为，半径为，
所以的最大值是，故D正确；
故选：ABD.
11．设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．椭圆的离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
【答案】AB
【分析】由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；面积，结合的范围判断C；根据圆心到直线的距离与半径的关系判断D．
【详解】因为椭圆C的方程，故，
由椭圆的定义可知，故A正确；
离心率，故B正确；
面积，而，
∴面积最大值为，故C错误；
∵，
∴以线段为直径的圆的方程，其圆心为，半径为1，
又直线方程为，∴圆心到直线的距离为，
∴以线段为直径的圆与直线相离，故D错误．
故选：AB．
12．已知抛物线，焦点，过点作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于及两点.则下列说法正确的是（ ）
A．拋物线的准线方程为
B．若，则直线的斜率为1
C．若，则直线的方程为
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据抛物线方程即可判断，对于B，根据求出A点坐标，即可判断；对于C，由可得坐标之间的关系，结合抛物线方程求得坐标，即可判断；对于D，设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系，求出相关弦长的表达式，推出，继而证明∽，即可判断.
【详解】对A：由抛物线可得准线方程为，正确；
对B：设A点的坐标为，，则，
所以，又，从而直线的斜率为或，故B错误；
对C：设，
.
又，即，
又或，
当时；
当时，，
此时直线的斜率不存在，直线的斜率为0，不合题意，舍去，
直线的方程为：，故C正确.
对于D；由题意知的斜率存在，设直线，
则直线，设，
由，即，则，
由于在抛物线内部，必有，所以，
又，
，同理可证：，
，
又∽，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．如图，正方形和的边长都是1，且平面，点、分别在、上移动，若，则线段长度的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用两点距离公式，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】正方形和的边长都是1，且平面，
因为⊥，⊥，所以为平面与平面夹角的平面角，
故，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以，
则
，
故当时，取的最小值，最小值为.
故答案为：
14．已知实数满足，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】表示直线上的点到点与的距离之差，求出点关于直线的对称点为，再根据即可得解.
【详解】
表示直线上的点到点与的距离之差，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
则，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最大值为.

故答案为：.
15．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设的中点为，先求得点的轨迹，然后根据点的横坐标的取值范围来求得的取值范围.
【详解】设，，两式相加得，
，
，则
，即，
所以，
设是的中点，则，
所以，
，
，
所以是以为圆心，半径为的圆，
所以，，
，
所以.
故答案为：
16．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，E上存在点P，使得，且的内切圆与y轴相切，则E的离心率为 .
【答案】/
【分析】根据向量的运算得到，然后利用双曲线的性质和三角形内切圆的几何关系得到有关的方程求解即可.
【详解】不妨设点在第一象限，
因为，所以，
所以，，
又，联立可得：，
所以，即，
设的内切圆半径为，过圆心往三边作垂线，垂足分别为，如图所示，

因为的内切圆与y轴相切，故，
，，
所以，
即，即，
两边平方得，
即，则，
两边同时除以，得，解得，
因为，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果.
四、解答题
17．已知中，点，点，点．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求角平分线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，得到边上的高所在直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，得到角平分线的倾斜角为，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解．
【详解】（1）解：因为点，点，所以边所在直线斜率，
所以边上的高所在直线的斜率，且过点，
所以边上的高所在直线的方程为．
（2）解：由，可得，所以角平分线的倾斜角为，
所以角平分线所在直线的斜率，且过点，
所以角平分线所在直线l的方程为．

18．在长方体中，，是的中点．以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)写出在平面上的投影向量的坐标；
(2)求点到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依题意平面，所以在平面上的投影向量为；
（2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解；
（3）利用直线与平面所成角的向量公式求解.
【详解】（1）依题意：，，，所以，
因为在长方体中，平面，
所以在平面上的投影向量为，坐标为．

（2）由题意知，，，，
所以，．
设平面的法向量为，则，
所以，所以.
令，则，所以是平面的一个法向量．
因为，
所以到平面的距离为．
（3）设直线与平面所成角为，
则．
即直线与平面所成角的正弦值是．
19．已知圆过点和，且与直线相切．
(1)求圆的方程；
(2)设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据弦的垂直平分线过圆心可知，圆心在线段的垂直平分线上，先求的垂直平分线，设圆心，半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而可求得圆心坐标，可得圆的标准方程；
（2）设M点坐标为，P点坐标为，由中点坐标公式可用分别表示，将点代入圆的方程从而可得关于点M的轨迹方程．
【详解】（1）圆心显然在线段的垂直平分线上，
设圆心为，半径为，则圆的标准方程为，
由点在圆上得：，
又圆与直线相切，有．
于是，解得，或，
所以圆的标准方程为或.
（2）设点坐标为，点坐标为，
由为的中点，，则，即
又点在圆上，
若圆的方程为，有，
则，整理得：，
此时点的轨迹方程为．
若圆的方程为，有，
则，整理得：，
此时点的轨迹方程为，
综上，点的轨迹方程为或.
20．已知椭圆的下顶点为，右顶点为，且，左焦点为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，交轴于点，设为线段的中点，直线交于点，过点作交轴于点．

(1)求椭圆的方程；
(2)当的面积为时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件建立关系待定系数求解即可；
（2）设直线斜率为，直线方程，联立直线与椭圆，应用弦的中点坐标、弦长公式与点到直线的距离公式，用表达的面积，再解方程得，再求出中点，直线与交点，则可求出的值.
【详解】（1）由题意知，点，，
则 ，又，，
解得：，，
∴椭圆的方程为．
（2）设，，因为直线l过F且斜率为，
设，
由得，
所以，，
因为M为线段AB的中点，
所以，，
所以，
又因为，所以，
因为在直线上，
令，则，
所以直线的方程为，令，所以，
，
所以，
又点到直线的距离为：，
所以的面积为

化简得：，
则，解得：，即，
所以，则直线的方程为，
又直线的方程为： ，
联立直线的方程与的方程，
解得，则，
所以.
21．已知双曲线的右焦点，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】【小题1】； 【小题2】证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标，离心率列出方程组，求出，即可写出双曲线方程.
（2）先根据题意可判断直线AB的斜率存在且不为0,结合过点设出直线方程；再与双曲线方程联立得到两根之和、两根之积；最后表示出，结合韦达定理化简即可证明结果.
【详解】（1）由题意得，解得，所以双曲线的方程为.
（2）由题意得直线AB的斜率存在且不为0.设直线方程为，，.
联立，消去得，
所以.
，
又，
.
22．已知F为抛物线C的焦点，过F的直线交C于A，B两点，点D在C上，使得的重心G在x轴的正半轴上，直线，分别交轴于Q，P两点.O为坐标原点，当时，.
(1)求C的标准方程.
(2)记P，G，Q的横坐标分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先判断焦点在x轴，再根据抛物线的定义，结合即可.
（2）设直线：，设，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意，，用表示，计算即可.
【详解】（1）依题的重心G在x轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，
则抛物线的焦点在轴上，
设抛物线方程为：，
当时，，则，
则抛物线方程为：.
（2）依题知直线的倾斜角不为0，则设直线：，
设，
由，得，
，则，
则，
，
因为三点共线，则，，
当时，重心G不会落在x轴上，
所以，解得：，
同理可得：，又
，
则
，
则该定值为，