2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．空间四边形中，，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.
【详解】如图所示，根据向量的运算，可得.
故选：B.
2．数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由分母构成等差数列即可求出.
【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，
所以.
故选：C.
3．设不同直线：，：，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
4．记为等差数列的前n项和．若，，则（ ）
A．97B．98C．99D．100
【答案】D
【分析】在等差数列中，根据且，，求得，再代入等差数列的前n项和公式求解.
【详解】在等差数列中，且，，
所以，，
解得
故选：D
5．已知平面内的三点，，，平面的一个法向量为，且与不重合，则（ ）
A．B．
C．与相交但不垂直D．以上都不对
【答案】A
【分析】计算出，可得出也为平面的一个法向量，从而可判断出平面与的位置关系.
【详解】，，
，
，
，，也为的一个法向量，又与不重合，因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查利用向量判断两平面的位置关系，求出两平面的法向量是解题的关键，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
6．A是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当时，,则抛物线的准线方程是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，如图．由题意知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因为|AF|＝4，所以|AB|＝2.点A到准线的距离d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.
故选A.
点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用,尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.
7．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得： ，设A、B ，则所求三角形的面积为= ，故选D.
【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
8．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得，再根据等差数列的求和公式可得，结合已知条件求解即可
【详解】设等差数列的公差为，则，
因为，
所以，
因为等差数列和的前项和分别为、，满足，
所以，
所以，
故选：C
二、多选题
9．（多选）已知数列的通项公式为，则下列是该数列中的项的是（ ）
A．18B．12C．25D．30
【答案】BD
【分析】由于为正整数，且越大，越大，求得无整数解，且，， ，，判断选项即可.
【详解】因为，所以越大，越大．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
故选：BD．
10．已知圆，则下列说法正确的有（ ）
A．关于点对称B．关于直线对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
【答案】ABC
【分析】求得圆心，结合对称性确定正确答案.
【详解】圆即，
所以圆心为，
A选项，为圆心，所以圆关于点对称，A正确.
直线，直线过圆心，所以圆关于直线、
直线对称，BC选项正确.
直线不过圆心，所以D选项错误.
故选：ABC
11．数列前项的和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则数列前5项的和最大
B．设是等差数列的前项和，若，则
C．已知，则使得成等比数列的充要条件为
D．若为等差数列，且，，则当时，的最大值为2022
【答案】AB
【分析】对A，可以采用临界法得到和的最大值；对B，运用等差数列的和的性质易判断；对C，等比中项的个数一般是2个；对D，可以采用基本量法计算即可.
【详解】A：由通项公式知：数列是严格递减数列，又
所以数列前5项的和最大，A对；
B：在等差数列中，成等差，
又，
B对；
C：成等比数列，所以不是充要条件，C错；
D：为等差数列, ，，所以D错，
故选：AB
12．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点与点B到平面的距离相等
【答案】BCD
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C选项.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、
、、、，
对于A选项，，，则，
所以直线与直线不垂直，故A错误；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，即，
因为平面，平面，故B正确；
对于C选项，连接、、，
因为、分别为、的中点，则，
且，所以四边形为平行四边形，则，
所以，所以、、、四点共面，
故平面截正方体所得截面为，
且，同理可得，，
所以四边形为等腰梯形，
分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，如下图所示：
因为，，，
所以，故，，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，
，故，
故梯形的面积为，故C正确；
对于D选项，，则点到平面的距离为，
，则点到平面的距离为，
所以点与点到平面的距离相等，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知直线，则与间的距离为 .
【答案】
【分析】根据平行线间距离直接计算.
【详解】由已知可得两直线互相平行，故，
故答案为：.
14．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2 +y2- 4y= 0所截得的弦长为 .
【答案】
【分析】由题意求出直线方程、圆的标准方程、圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即得解
【详解】设弦长为，过原点且倾斜角为60°的直线方程为
整理圆的方程为：，圆心为，半径
圆心到直线的距离为：
则：
故答案为：
15．已知椭圆的左焦点为F，A（﹣a，0），B（0，b）为椭圆的两个顶点，若F到AB的距离等于，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意可得直线AB的方程：bx﹣ay+ab＝0，利用点F（﹣c，0）到直线AB的距离公式可求得d＝，整理得到关于的方程，即可求解．
【详解】依题意得，AB的方程为，即：bx﹣ay+ab＝0，
设点F（﹣c，0）到直线AB的距离为d，∴，
∴5a2﹣14ac+8c2＝0，∴8e2﹣14e+5＝0，∵e∈（0，1）
∴e＝或e＝（舍去）．
故答案为．
【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，利用离心率的定义求解；②根据条件得到关于的齐次式，转化为关于的方程求解．
16．已知圆与圆得公共弦所在直线恒过定点，而且点在直线上，则的最小值是 .
【答案】2
【分析】根据两圆方程相减可得相交弦所在直线方程，进而可得定点坐标，将其代入直线中得，由基本不等式即可求解.
【详解】圆与圆相减，
得公共弦所在直线为，
故令且，解得，所以，
将代入得，
由于所以，当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
故答案为：2
四、问答题
17．已知直线l：.
(1)若l不经过第三象限，求a的取值范围；
(2)求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)；或
【分析】（1）将直线方程转化为斜截式，从而得到关于的不等式组，解之即可得解；
（2）利用点线距离公式，结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）直线l的方程可化为，
要使直线l不经过第三象限，则必须有，
解得，故a的取值范围是.
（2）设原点O到直线l的距离为d，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以原点O到直线l的距离的最小值为，
此时直线l的方程为或.
18．已知等差数列是递减数列，设其前项和为，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的最大值及相应的的值．
【答案】(1)
(2)25，或5
【分析】（1）利用数列前项和的定义及等差数列的通项公式，结合等差数列的性质即可求解；
（2）根据（1）的结论及等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质即可求解.
【详解】（1）设等差数列公差为，则
由，得，
将代入上式解得或（舍），
所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
所以，
故数列是以10为首项，为公差的等差数列，
令，解得，
故，
即当或5时，取得最大值25．
五、证明题
19．如图，在四棱锥中，底面为长方形，，，侧面底面，是正三角形，是的中点，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见及解析
(2)
【分析】（1）取中点为，连结，证明为平行四边形，得，再由线面平行的判定定理得证；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】（1）证明：取中点为，连结，
∵是的中点，是中点，
∴，，
∵是的中点，底面为长方形，
∴，，
∴，，
∴为平行四边形，
∴，又∵平面，平面，
∴平面；
（2）过在平面内作，侧面底面，
交线为，∴面，∵，
以A为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
有，，，
设平面的法向量为，则，即
，∴，令，所以
设平面的法向量为，
同理得：，
∴，令，则，
设二面角的平面角为，∴，
所以，∴，所以二面角的正弦值为．
六、问答题
20．椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．
（1）当直线的斜率为时，求线段的长度；
（2）当点恰好为线段的中点时，求的方程．
【答案】(1);(2).
【分析】根据点斜式求出直线方程，代入椭圆方程，解方程可得交点坐标，由两点间的距离公式即可得到弦长；运用点差法，求得直线的斜率，由点斜式即可得到直线方程．
【详解】直线l的方程为，即为，
代入椭圆方程，可得
，．
即有；
由P的坐标，可得，可得P在椭圆内，
设，，
则，，
由中点坐标公式可得，，
由可得，，
将代入，可得
，
则所求直线的方程为，
即为．
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，以及点差法的运用，考查运算能力，属于中档题．对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
七、证明题
21．已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.
【答案】(1)
(2)见解析.
【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.
（2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证.
【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得，
所以抛物线的方程为.
（2）设，
联立，
由韦达定理得，
所以
所以，
所以以为直径的圆经过原点O.得证
八、问答题
22．如图，椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
【答案】（1）；（2）所以直线、斜率之和为定值2．
【分析】（1）运用离心率公式和，，的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；
（2）把直线的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．
【详解】解：（1）由题意知，，结合，解得，
椭圆的方程为；
（2）由题设知，直线的斜率不为0，
则直线的方程为，代入，得
，
由已知，设，，，
则，，
从而直线与的斜率之和：
．
所以直线、斜率之和为定值2．
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．