2023-2024学年黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．数列的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可.
【详解】选项A：，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：不符合题意；
而选项D中的通项公式满足数列，
故选：D
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标．
【详解】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为，
故选：A．
3．已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A．3B．6
C．3或D．6或
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式求解.
【详解】解：设数列的公比为q，
则，
所以，，
所以．
故选：B．
4．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.
【详解】令，可得；令，可得.
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.
因为，所以椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的方程为，则，，
所以椭圆的方程为.
故选：C.
5．已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进一步求出公差.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：D
6．已知直线与圆相交于两点，且，则实数（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，可得，利用点到直线距离公式求a.
【详解】设圆心C到直线AB的距离为d，
∵圆的方程为∴ 圆心，圆的半径为3，，
又，∴， 即点到直线的距离为，
所以， 所以解得或.
故选：D．
7．在数列中，，（），则的前2022项和为（ ）
A．589B．590C．D．
【答案】C
【分析】通过递推式计算出前几项，找到数列的周期，利用周期性求解即可.
【详解】因为，（），所以，，
，，而，所以数列是以4为周期的周期数列，
所以的前2022项和.
故选：C
8．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】由，得为直角三角形，根据双曲线定义，再利用以及勾股定理建立等量关系即可求解.
【详解】因为的面积为4，所以的面积为8.
又，所以，
所以为直角三角形，且.
设，，
所以，，
所以，
所以，
又，所以.
故选：C.

二、多选题
9．已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，分别讨论直线l与直线AB平行或直线l过线段AB的中点，即可求直线l的方程.
【详解】当直线l与直线AB平行时，因为，所以直线l的方程为，即.
当直线l过线段AB的中点时，AB的中点为，所以直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程为或.
故选：AC.
10．已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项为1B．
C．D．数列的公比为
【答案】BCD
【分析】由可推得，即可判断A、B；由，，可推得，，即可判断C、D.
【详解】设的公差为，的公比为.
对于A，由，得，
整理可得，，所以不确定，故错误；
对于B，因为，所以有，故B正确；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，由已知可得，，所以，故D正确.
故选：BCD.
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为B．的面积的最大值为2
C．若，则的最小值为D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】选项A，由定义可得；选项B，，数形结合当点到的距离最大，即高最大时面积最大；选项C，设点表达，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用的斜率意义，转化为直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值.
【详解】选项A，由椭圆方程可知，，
所以的周长，故A正确；
选项B，因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，
所以，
所以的面积，
当，即时，
即点位于短轴端点时，的面积最大，最大为2，故B正确；
选项C，由，点，且，
因为，
当时，取最小值，且最小值为，故C错误；
选项D，的几何意义为与点两点连线的斜率，设为，
由得，
，
解得，
如图，当直线与椭圆C相切时，，
所以的最小值为.故D正确.
故选：ABD.

12．已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，，直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．
C．D．的面积最小值为
【答案】ACD
【分析】利用导数可得切线方程，进而可得直线方程，即可判断A选项；联立直线与抛物线，结合韦达定理可得与，判断BC选项；利用弦长公式，结合点到直线的距离可判断D选项.
【详解】设，，，因为，所以，，
所以在点处的切线方程为，即，
同理可得，在点处的切线方程为，所以，，
故直线的方程为，直线恒过定点，故A选项正确；
由，得，所以，，
所以，，故B选项错误，C选项正确；
，点到直线的距离，
所以的面积，所以，故D选项正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．在各项均为正数的等比数列中，，则 .
【答案】4
【分析】由条件，结合等比数列性质可得，再对数运算性质求即可.
【详解】因为数列为等比数列，所以，
又，所以，
所以，
故答案为：4.
14．已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用两圆的方程相减，即可求得两圆公共弦所在的直线方程.
【详解】由圆和圆，
两圆的方程相减，可得，
即圆与圆的公共弦所在的直线方程为.
故答案为：.
15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为 .
【答案】25
【分析】先根据定义得到和的关系，再利用均值不等式求最大值.
【详解】因为点P是椭圆C上的一点，所以，
又由均值不等式可得，
当且仅当，即，时等号成立，
故答案为：25
16．在数列中，，且，则 .
【答案】
【分析】根据等差中项可判断为等差数列，进而根据等差数列的基本量求解.
【详解】因为，所以为等差数列，又，设的公差为，所以，解得，所以，所以.
故答案为：
四、解答题
17．（1）已知椭圆的焦距为10，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程.
【答案】（1）或；（2）或
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）根据双曲线焦点所在坐标轴进行分类讨论，求得，进而求得双曲线的标准方程.
【详解】（1）依题意，解得，
所以椭圆的标准方程是或.
（2）依题意，双曲线的渐近线方程为，，
若双曲线的焦点在轴上，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
双曲线的焦点在轴上，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
所以双曲线的标准方程为或.
18．已知数列是等差数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求的最小值及取得最小值时n的值.
【答案】(1)
(2)取最小值为，或
【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由题意列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）写出等差数列的前n项和，利用配方法求得的最小值并求得使取得最小值时n的取值．
【详解】（1）设的公差为d，则，
解得，
所以.
（2），
所以当或时，取得最小值，最小值为.
19．已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对称的性质进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可.
【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为关于抛物线的准线的对称点为，
所以有；
（2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得
，设，
因此有，
则有
【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键
五、证明题
20．如图，在正三棱柱中，点是棱的中点，点是线段上的一点.

(1)若点是线段的中点，证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，，利用线面平行的判定定理即可得出证明；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角与法向量的几何关系，利用法向量求出线面角的表达式即可求得结果.
【详解】（1）证明：连接，，如图，
若点是线段的中点，则为与的交点.
在中，点是棱的中点，点是的中点，所以.
又平面，平面，
所以平面；
（2）不妨设.
以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，平行于所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

所以，，，，.
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以即
令，解得，，所以平面的一个法向量为.
设.
所以，
所以，
解得或（舍）.
所以，
可得.
六、解答题
21．已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用时，，得到，然后利用累乘法求通项；
（2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可.
【详解】（1）由题意得，
①-②得，，，
，
符合此式，
∴.
（2）对任意恒成立，
即对任意恒成立，记，故，
所以当时，，，所以，即，
当时，，即随着的增大，递减，
所以的最大值为，所以，即.
七、证明题
22．已知等轴双曲线C：的左，右顶点分别为A，B，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l交双曲线C于D，E两点（不与A，B重合），直线AD与直线BE的交点为P，证明：点P在定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意列式求，即可得双曲线方程.
（2）分类讨论斜率是否存在，直线DE的方程为，，，联立直线l与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k的范围及关于k的表达式，再联立直线AD与BE求交点坐标，即可证结论并确定直线方程.
【详解】（1）由题意知，，解得，
所以双曲线C的方程是.
（2）由（1）知，.
当直线DE的斜率存在时，设直线DE的方程为，，，
联立方程，消去y得，
则，且，
可得，，
直线AD的方程为，直线BE的方程为，
点P是直线AD与直线BE的交点，则，
所以，解得；
当直线DE的斜率不存在时，直线DE的方程为，不妨设，，
所以直线AD的方程为，直线BE的方程为，
点P是直线AD与直线BE的交点，所以，解得；
综上所述：点P在定直线上.
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.