2023-2024学年湖南省株洲市第一中学高二上学期12月月考试题数学含答案

这是一份2023-2024学年湖南省株洲市第一中学高二上学期12月月考试题数学含答案，共15页。试卷主要包含了 函数 的图象大致为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑, 如有改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案; 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.
A.
B.
C.
D.
2. 已知集合 , 则
A.
B.
C.
D.
3. 若直线经过 两点, 则直线 的倾斜角为
A.
B.
C.
D.
4. 函数 的图象大致为
5. 如图, 边长为 2 的正方形 是用斜二测画法得到的四边形 的直观图,则四边形 的面积为
A.
B.
C.
D.
6. 已知直线 与圆 相交于 两点, 若 , 则实数 的取值范围为
A.
B.
C.
D.
7. 已知 为函数 的零点, 且在区间 上 有且仅有两条对称轴,则 可以是
A.
B.
C.
D.
8. 已知抛物线 上存在两点 (异于原点 ), 设直线 的斜率分别为 , 若 , 则
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 某产品售后服务中心选取了 10 个工作日, 分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量 (单位:次)为:
则这组数据的
A. 众数是 31
B. 中位数是 40
C. 极差是 37
D. 分位数是 30.5
10. 如图所示, 四边形 为正方形, 平面 平面 为 的中点, , 则下列结论正确的是
A.
B. 直线 到平面 的距离为
C. 异面直线 与 所成角的余弦值为
D. 直线 与平面 所成角的正弦值为
11. 已知等差数列 的前 项和为 , 公差为 , 若 , 则
A. 数列 是递增数列
B. 是数列 中的最小项
C. 和 是数列 中的最小项
D. 满足 的 的最大值为 25
12. 已知焦点在 轴上, 对称中心为坐标原点的等轴双曲线 的实轴长为 , 过 的右焦点 , 斜率存在且不为零的直线 与 交于 两点, 点 关于 轴的对称点为 , 则下列说法正确的是
A. 双曲线 的标准方程为
B. 若直线 的斜率为 2 , 则
C. 若点 依次从左到右排列, 则存在直线 使得 为线段 的中点
D. 直线 过定点
三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知向量 的夹角的余弦值为 , 则 ________
14. 若空间向量 共面, 则实数 ________
15. 已知数列 满足 , 且 , 则 ________
16. 已知 是椭圆 上异于上下顶点的任意一点, 为坐标原点, 过点 作圆 的切线, 切点分别为 , 若存在点 使得 , 则 的离心率的最小值为________
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)在 中, 角 所对的边分别为 , 且满足 .
(1) 求 ;
(2) 若 , 求 的最小值.
18. (本小题满分 12 分)已知等差数列 的前 项和为 , 正项等比数列 的前 项和为 .
(1) 若 , 求数列 的通项公式;
(2) 若 , 求 .
19. (本小题满分 12 分)已知 是双曲线 上任意一点.
(1) 求证: 点 到双曲线 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2) 若点 , 求 的最小值.
20. (本小题满分 12 分)如图, 在四棱锥 中, 平面 为侧棱 上一点, 平面 与侧棱 交于点 , 且 与底面 所成的角为 .
(1) 求证: 为线段 的中点;
(2) 求平面 与平面 的夹角的正弦值.
21. (本小题满分 12 分)给定数列 , 若满足 且 , 且对于任意的 , 都有 , 则称 为“指数型数列”. 若数列 满足: .
(1) 判断数列 是否为 “指数型数列” ? 若是, 给出证明; 若不是, 请说明理由;
(2) 若 , 求数列 的前 项和 .
22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 的右焦点为 , 离心率为 ，点 在 上.
(1) 求椭圆 的标准方程;
(2) 过点 作直线 (直线 的斜率不为 0 ) 与椭圆 相交于 两点, 过焦点 作与直线 的倾斜角互补的直线 与椭圆 相交于 两点, 求 的值.2023 年下学期高三 12 月联考 - 数学参考答案、提示及评分细则
1.【答案】D
【解析】 . 故选 .
2.【答案】B
【解析】 , 故 . 故选 B.
3.【答案】C
【解析】由直线经过 两点, 可得直线的斜率为 , 设直线的倾斜角为 , 则 . 又 , 所以 . 故选 C.
4.【答案】A
【解析】由 可知 为奇函数, 故排除 ; 又当 时, , 排除 , 故选 .
5.【答案】C
【解析】由直观图知: 在四边形 中, , 且其对应高 , 所以四边形 的面积为 . 故选 C.
6.【答案】C
【解析】过点 作 , 垂足为 , 由 , 可得 , 有 , 有 , 可得 , 有 , 可得 . 故选 C.
7.【答案】A
【解析】由题意知 , 因此 , 则 ,于是 . 故选 .
8.【答案】B
【解析】设点 的坐标分别为 , 有 , 由 , 有 , 可得 , 有 . 故选 B.
9.【答案】ACD
【解析】这组数据中 31 出现了 2 次, 出现次数最多, 因此众数是 31 , A 正确;从小到大排列 10 个数据分别为 ,第 5 位和第 6 位为 40 和 46 , 因此中位数是 43 , B 错误;最大值为 67 ,最小值为 30 ,因此极差为 , C 正确; 是整数, 分位数应取第 1 位与第 2 位的平均值, 即 30 和 31 的平均值 30.5 , D 正确. 故选 ACD.
10.【答案】ACD
【解析】 , 故 A 正确;易知 平面 平面 , 所以 平面 , 由 , 可知 平面 , 所以直线 到平面 的距离为 , 故 错误;
异面直线 与 所成角即 与 所成角, 因此余弦值为 , 故 正确;易知 平面 , 即 , 故 与平面 所成角的正弦值为 , 故 正确. 故选 .
11.【答案】AC
【解析】因为 , 所以 , 即 . 因为 , 所以 , 数列 是递增数列,所以 A 正确;
因为数列 是递增数列, 所以最小项是首项 , 所以 B 错误;
因为 ,所以当 或 时, 取最小值,所以 C 正确;
由不等式 , 可得 , 所以满足 的 的最大值为 24 , 所以 D 错误. 故选 AC.
12.【答案】ABD
【解析】设双曲线 的标准方程为 , 由双曲线 的实轴长为 , 可得 , 可知双曲线 的标准方程为 , 故 A 正确;
由上知 , 则直线 的方程为 , 设 , 则 , 联立方程 消去 整理得 , 有 , 可得 , 故 B正确;
由 , 有 , 故不存在直线 使得 为线段 的中点, 故 错误;
设直线 的方程为 , 联立方程 消去 整理得 , 有 , 直线 斜率为 , 直线 斜率为 , 若直线 过定点 , 则 , 即 , 经检验, 上述等式恒成立, 则直线 过定点 , 故 D 正确. 故选 ABD.
13.【答案】 -2
【解析】 .
14.【答案】1
【解析】由题可知 , 即 , 故 .
15.【答案】1
【解析】因为 , 且 , 所以 , 所以 是以 6 为周期的数列. 因为 , 所以 .
16.【答案】
【解析】当 时, 由于 为切点, 所以 . 又因为点 在椭圆 上, 所以 , 即 , 解出 .
17.【答案】(1)
【解析】(1)
, 即 ,
即 ;
(2) 由余弦定理有 ,
当且仅当 时取等号, 故 的最小值为 1 .
18.【答案】(1) (2)
【解析】(1) 设 的公差为 的公比为 ,
由 , 得 ,
又 , 得 ,
解得 (舍去)或
因此数列 的通项公式为 ;
(2) 由 , 得 , 解得 或 -4 (舍),
当 时, 由 得 , 则 .
19.【答案】(1) 略 (2)
【解析】(1) 证明: 由已知可得 , 所以双曲线的渐近线方程为 ,
点 到直线 , 即直线 的距离 ,
点 到直线 , 即直线 的距离 ,
所以点 到双曲线 的两条浙近线的距离的乘积为
,
又 在双曲线 上, 所以 , 所以 , 所以 是一个常数;
(2) 解: 因为 , 所以 , 解得 或 ,
所以
当 时, 的最小值为 , 所以 的最小值为 .
20.【答案】(1) 略 (2)
【解析】(1) 证明: 因为 平面 平面 , 所以 ,又因为 , 且 , 所以 平面 为 与平面 所成的角,
由 , 有 , 所以 为 中点,
因为 平面 平面 , 所以 平面 ,又因为 平面 , 平面 平面 , 所以 , 所以 ,所以 为线段 的中点;
(2) 解: 由 (1) 可知 两两垂直, 如图所示, 以 分别为 轴建立空间直角坐标系.则 ,所以 , 设平面 的法向量为 ,则
取 , 得 ,设平面 的法向量为 , 由 ,则 取 , 得 ,
所以 ,
所以平面 与平面 的夹角的正弦值为 .
21.【答案】(1) 数列 为指数型数列, 证明略 (2)
【解析】(1) 由 , 两边同时除以 得 ,
所以 , 且 ,
所以 是首项为 2 , 公比为 2 的等比数列, 所以 ,
又 ,
所以 , 所以数列 为指数型数列;
(2) 由 (1) 知 , 所以 ,
故 ,
所以 .
22.【答案】(1) (2)
【解析】(1) 由 , 可得 ,
可得椭圆 的方程为 , 代人点 的坐标有 , 解得 ,
故椭圆 的标准方程为 ;
(2) 由 (1) 知 , 点 , 当斜率不存在时, 直线 为 , 此时与椭圆 无交点,
设点 的坐标分别 , 直线 的方程为 , 直线 的方程为 ,
联立方程 消去 整理得 ,
有 ,
联立方程 消去 整理得 ,
有 ,
又由右焦点 , 有 ,
对 消元, 可得到原式 ,
故 的值为 .