2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高级中学校高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高级中学校高二上学期12月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，且，则的值为（ ）
A．4B．-4C．5D．-5
【答案】C
【分析】向量垂直时，数量积等于零，向量数量积用坐标进行表示即可.
【详解】因为向量，，且，
所以，即，
则，
故选：C.
2．数列0，，，，…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析数列前4项的特征，确定并判断即得.
【详解】依题意，，…，由此得，A是；
而选项B中，选项C中，选项D中，BCD不是.
故选：A
3．已知直线：和：平行，则实数（ ）
A．2或B．1C．D．2
【答案】D
【分析】由两直线的不相交可得的值，进而分类讨论平行和重合的情形即可..
【详解】当：，：平行
得，解得或，
当时，：，：，即，此时直线和直线重合，故不符合题意，
当时，：，：，此时直线和直线平行，符合题意；
故选：D
4．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．4B．3C．5D．
【答案】B
【分析】写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得.
【详解】双曲线中，，且焦点在x轴上，
所以渐近线方程为，即，
由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等，
不妨求点到的距离，得.
故选：B
5．数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，列出数列的前几项，得到数列为周期数列，然后根据周期性求.
【详解】因为数列满足，
所以，，，，
则是以4为周期的周期函数，
所以，
故选：C.
6．如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出正方体边长为2，从而利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体边长为2，则，
故，
则与MN所成角的余弦值为.

故选：A
7．双曲线：的一条渐近线方程是，则E的离心率是（ ）
A．5B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的渐近线方程可知，据此即可求出双曲线的离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，可得，
又，则，即，则.
故选：B.
8．已知圆，直线.若直线与圆相交所得的弦长为8，则（ ）
A．或2B．或12C．或12D．或1
【答案】C
【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心与半径，再利用点线距离公式与弦长公式得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】由圆的方程，得圆的标准方程为，
所以，解得或.
圆心到直线的距离，
又弦长为，即，
整理得，解得或，均满足圆的条件.
故选：C.
二、多选题
9．已知数列的通项公式为，则-19是该数列中的第几项的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】AC
【分析】令，求解判断.
【详解】令，即，解得或.
故选：AC
10．下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C．已知向量，，若，则
D．任意向量，满足
【答案】ABC
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断A，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断B，根据空间向量共线的坐标表示可判断C，利用数量积的定义判断D.
【详解】对于A：因为，，则，正确；
对于B：因为，则，
即，又与有公共点，所以三点共线，正确；
对于C：因为向量，，，
所以存在，使得，即，
则，解得，正确；
对于D：表示平行于的向量，表示平行于的向量，
当与不平行时，一定不成立，错误.
故选：ABC
11．已知直线，，则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，之间的距离为
【答案】ABD
【分析】将化为，令即可确定定点；将、代入方程，由方程形式判断直线位置关系；由直线平行得，应用平行线距离公式求距离.
【详解】由，令，可得，
所以过定点，A对；
时，，而，即，B对；
时，，而，显然不垂直，C错；
，则，可得，由上知，之间的距离为，D对.
故选：ABD
12．已知椭圆M：的左、右焦点分别为，，过斜率不为0的直线l交该椭圆于A，B两点，则（ ）
A．M的长轴长为6B．的周长为8
C．的周长为12D．面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】由椭圆方程得出，然后根据椭圆的几何性质判断各选项.
【详解】由题意得，，，则M的长轴长为6，的周长为，的周长为．当A为M的短轴端点时，的面积最大，且最大值为．
故选：ACD.

三、填空题
13．抛物线的焦点坐标是 ．
【答案】
【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.
故答案为
【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.
14．已知直线l经过点，且与直线垂直，则l的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用两直线垂直的斜率要求求出直线的斜率，然后利用点斜式方程列出直线方程.
【详解】因为直线l与直线垂直，
所以直线的斜率为，
又因为直线l经过点，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
15．已知数列的前n项和,则数列的通项公式为
【答案】
【分析】由数列的前项和,利用公式,即可得出数列的通项公式.
【详解】数列的前项和为,
,
时, ,
时上式也成立，
,故答案为.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.
四、单空题
16．已知直线与椭圆相交与两点，中点坐标是，则直线的方程是 ．
【答案】
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设，因为中点坐标是，所以，
因为两点在椭圆上，所以，
两式相减得，
所以，
故直线的方程是，即经满足题意检验.
故答案为：.
五、问答题
17．已知数列中，.
（1）写出数列的前5项.
（2）猜想数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用递推关系式，根据，逐项代入即可求解.
（2）根据前项即可猜想.
【详解】（1）由，可得：
，，
， .
（2）猜想：
【点睛】本题考查了由递推关系式求数列中的项、根据前几项求数列的通项公式，属于基础题.
18．（1）已知椭圆的焦距为10，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程.
【答案】（1）或；（2）或
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）根据双曲线焦点所在坐标轴进行分类讨论，求得，进而求得双曲线的标准方程.
【详解】（1）依题意，解得，
所以椭圆的标准方程是或.
（2）依题意，双曲线的渐近线方程为，，
若双曲线的焦点在轴上，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
双曲线的焦点在轴上，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
所以双曲线的标准方程为或.
19．已知圆：和圆：.
(1)判断圆和圆的位置关系；
(2)过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程.
【答案】(1)圆与圆外离
(2)或
【分析】（1）由圆心距与半径之和半径之差的关系，判断两圆的位置关系；
（2）设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知系数即可.
【详解】（1）因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
所以圆和圆的圆心距，所以圆与圆外离.
（2）根据题意知切线有斜率，设所求切线的方程为：，即，
所以到的距离，解得.
所以切线的方程为或
20．已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9．
(1)求的值；
(2)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）结合抛物线的定义，结合距离公式，即可求解；
（2）直线与抛物线方程联立，得到韦达定理，再根据焦点弦长公式，即可求解.
【详解】（1）设，且，
则．
（2）由（1）知抛物线，焦点，直线，．
联立，得，
设，
则，
．
六、证明题
21．如图1所示，四边形ABCD中，，，，，M为AD的中点，N为BC上一点，且．现将四边形ABNM沿MN翻折，使得AB与EF重合，得到如图2所示的几何体MDCNFE，其中．

(1)证明：平面FND；
(2)若P为FC的中点，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理得到，再根据线面垂直的判定定理和性质得到，并且利用勾股定理的逆定理得到，最后利用线面垂直的判定定理证得平面FND；
（2）先建立合适的空间直角坐标系，再写出相关点及向量的坐标，最后利用向量的夹角公式和同角三角函数的基本关系求得结果．
【详解】（1）∵四边形ABCD中，，，，，
M为AD的中点，且，
∴四边形ABNM为正方形，且边长为1，
∴题图2中，四边形EMNF是边长为1的正方形，故，
又，，∴，∴，
又，，平面MDCN，平面MDCN，
∴平面MDCN，∵平面MDCN，∴，
易知，∴，∴，
又，平面，平面，
∴平面；
（2）解法一：由（1）知平面MDCN，又，
以N为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，
∴，，，
设平面FND的法向量为，则，
令，令，则，∴，
设平面PND的法向量为，则，
令，则，，∴，
∴，
∴，
∴二面角的正弦值为．
解法二：如图，取NC的中点O，连接PO，则，
∴平面MDCN，
∵平面MDCN，∴，
过O作，垂足为H，连接PH，则就是二面角的平面角，

又，，∴，∴，
∵平面MDCN，平面FND，∴平面平面MDCN，
∴二面角的正弦值为．
22．已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.
【答案】(1)
(2)见解析.
【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.
（2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证.
【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得，
所以抛物线的方程为.
（2）设，
联立，
由韦达定理得，
所以
所以，
所以以为直径的圆经过原点O.得证