2023-2024学年江苏省扬州市广陵区红桥高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市广陵区红桥高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．0B．C．D．不存在
【答案】B
【分析】利用倾斜角的定义分析运算即可得解.
【详解】解：直线即为轴，轴和轴垂直，
又知倾斜角的范围是，
∴由定义可知直线倾斜角为.
故选：B.
2．已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直线平行，令直线为，再由所过的点求参数，即可得方程.
【详解】令直线为，且过点，
所以，即，故直线的方程为.
故选：C
3．已知是椭圆 的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，则的周长为 （ ）
A．10B．16C．20D．26
【答案】C
【分析】由椭圆的定义可得，，代入即可求出答案.
【详解】由椭圆的定义可得：，，
则的周长为：
.
故选：C.
4．已知点，点B在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离即可求解.
【详解】由于不在直线上，所以当时，此时最小，
故,
故选:C
5．已知等比数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用等比数列通项公式求得，由即可求结果.
【详解】令公比为，由题设，可得，
所以.
故选：B
6．下列求导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的求导法则，逐项验证即可.
【详解】对于，，错误；
对于,由导数公式,知正确；
对于,，错误；
对于,错误.
故选：
7．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数的定义，结合已知求.
【详解】由题设.
故选：B
8．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（常数大于零且不等于一）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线：与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由题意列式求出C圆的方程，再由直线方程可得直线恒过定点，求出圆C上横坐标为1的点的纵坐标即可.
【详解】设，由，且，
得，即，
直线：恒过定点，
把代入，解得，
要使对任意实数k，直线l：与圆C恒有公共点，
则，即b的取值范围是
故选：C
二、多选题
9．已知直线，其中，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，直线与直线垂直
C．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
D．若直线与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为
【答案】ABD
【分析】根据直线方程确定定点判断A；由并确定斜率，根据垂直判定判断B；求出坐标轴上的截距判断C；利用平行线距离公式求距离判断D.
【详解】由直线方程，若，即直线过定点，A对；
时，斜率为1，而斜率为，显然斜率乘积为，
所以直线与直线垂直，B对；
时，，令则，令则，显然截距不相等，C错；
若直线与直线平行，即，则两条平行直线之间的距离，D对.
故选：ABD
10．设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用等差数列前n项和公式可得，进而有，再由通项公式及前n项和二次函数性质判断各项正误.
【详解】由题设，则，
所以，即，则，，A、C错；
由，开口向上且对称轴为，
所以，，B、D对.
故选：BD
11．方程表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则（ ）
A．B．点是该双曲线的一个焦点
C．D．该双曲线的渐近线方程可能为
【答案】BCD
【分析】由题设得且、焦点在x轴上，结合双曲线性质求各项正误.
【详解】由题设，，且，即焦点，
离心率，渐近线为，
而，故时双曲线的渐近线方程为，
综上，A错，B、C、D对.
故选：BCD
12．已知函数f (x)的定义域为R，导数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的有（ ）
A．函数f (x)的单调递减区间是
B．函数f (x)的单调递增区间是
C．x＝0是函数f (x)的零点
D．x＝－2时函数f (x)取极小值
【答案】BD
【分析】根据的图像，分析出各个区间的导函数的符号即可判断每个区间的单调性.
【详解】由图可知，当 ， ，即 是单调递减的，
当 时， ，是单调递增的，
时， ，是单调递增的，
∴在x=-2时取极小值，故A错误，B正确，D正确，
对于C，不能判定是的零点，故错误；
故选：BD.
三、填空题
13．经过两点的直线的倾斜角为，则
【答案】/
【分析】根据斜率列方程，由此求得.
【详解】倾斜角为，斜率为，
所以，
解得.
故答案为：
14．若双曲线（）的离心率为，则其渐近线方程为
【答案】
【分析】根据离心率，结合双曲线参数关系求得，再由双曲线渐近线求法写出渐近线方程.
【详解】由题设，则，而双曲线的渐近线为，
所以渐近线方程为.
故答案为：
15．已知函数满足，且当时，，设，则的大小关系是 ．
【答案】
【分析】根据条件判断出在上是增函数，进而利用单调性即可求出结果.
【详解】因为，所以，
当时，，所以在上是增函数.
因为，所以，
即，所以.
故答案为：.
16．已知数列，满足，则
【答案】
【分析】根据已知条件可得，，进而求结果.
【详解】由，
则,，
两式作差，得,，
所以，故.
故答案为：
四、解答题
17．求下列函数的导数：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用导数加减、乘法及简单复合函数导数求法求函数的导函数；
（2）应用导数除法法则求函数的导函数.
【详解】（1）
（2）
18．已知函数，且.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）对函数求导，根据已知求得，再由导数几何意义求切线方程；
（2）由（1）有，令求增区间即可.
【详解】（1）由题设，则，
所以且，则，，
所以点处的切线方程为，即.
（2）由（1），
当，即或，故在区间，上递增，
所以的增区间为，.
19．设等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
已知数列满足_____________，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式列方程求基本量，即可写出通项公式；
（2）根据所选条件，应用裂项相消法、等差等比前n项和公式求.
【详解】（1）令等差数列公差为，则，
所以数列的通项公式；
（2）选①，
则；
选②，
则；
选③，
则.
20．已知圆经过点，，.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点向圆作切线，求切线方程.
【答案】(1).
(2)或.
【分析】（1）设圆的一般方程，由题意列出方程组，求得一般方程，即可化为标准方程；
（2）讨论切线斜率是否存在，存在时，设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可求得答案.
【详解】（1）设圆的方程为，
则 ,
解得，，，
所以圆的方程为，
故圆的标准方程为.
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即,
由，解得，
所以切线方程为，即.
综上所述，所求切线方程为或.
21．已知数列满足：,数列的前n项和
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据数列的递推关系式判断数列类型求出通项公式,根据的前n项和,利用,求出数列的通项公式即可,注意检验;
(2)根据数列通项公式的特殊性,利用错位相减法,求出其前n项和即可.
【详解】（1）解:由题知
,
是以2为公比的等比数列,
,
的前n项和,
时,
当时,,
故,
综上:;
（2）由(1)知,
,
,①
,②
②-①可得:
故.
22．已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限；
(1)若直线的斜率为，求的值；
(2)求线段的长度的最小值．
【答案】(1);
(2)4.
【分析】（1）由题设直线，联立抛物线得到关于x的一元二次方程，结合已知求横坐标，由抛物线定义求焦半径，即可得结果；
（2）令直线，联立抛物线得到关于y的一元二次方程，应用韦达定理、弦长公式求得，即可得最小值.
【详解】（1）由题设，，直线，联立抛物线，消去y，
得，则，
由点在第一象限，则，
所以，故，，
所以.
（2）由题设，令直线，联立抛物线，消去x，
得，显然，
所以，
故，
当且仅当时等号成立，故线段的长度的最小值为4.