2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高二上学期12月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】借助几何图形，并求出点关于直线的对称点的坐标，再求出线段长即得.
【详解】如图，显然点在直线的同侧，设点关于直线的对称点为点，
则，解得，，即点，
由对称性知，
当且仅当点为线段与直线的交点时取等号，
所以的最小值是.
故选：C
2．若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用圆的标准方程即可求解
【详解】方程表示圆，
则，
解得，即的取值范围为.
故选：A.
3．已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，根据点在椭圆上可得，继而根据，设，求出，代入中，即可求得答案.
【详解】由于点是椭圆上的动点，设，则，
又于点，则；
设，由，得，
则，代入，得，
即点的轨迹方程为，
故选：A
4．已知点在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】先根据点在抛物线上，求出；再根据抛物线的定义即可得出答案.
【详解】因为在抛物线上，
所以，解得，
故抛物线的准线为，
所以点到抛物线的准线的距离为.
故选：B.
5．空间四边形中，设，，，点在棱上，且，是棱的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的运算结合基底可得答案.
【详解】由题意.
故选：C
6．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A．18B．24C．32D．64
【答案】A
【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种，
若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，
则安排的方法有种，
所以总的方法数有种.
故选：A
7．甲、乙和另外5位同学站成两排拍照，前排3人，后排4人.若每个人都随机站队，且前后排不认为相邻，则在甲、乙站在同一排的条件下，两人不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，分别求得与，再由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】记事件“甲与乙站在同一排”，事件“甲与乙不相邻”，
则，.
由条件概率公式，得.
故选：B.
8．已知一组成对数据中y关于x的一元非线性回归方程，已知，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得和的平均数，根据样本中心满足回归方程，即可求解.
【详解】因为y关于x的一元非线性回归方程，
设，则回归直线方程，
又因为，可得，即样本中心为，
将样本中心代入回归直线方程，可得，解得，即.
故选：B.
二、多选题
9．若是双曲线上一点，为的左､右焦点，则下列结论中正确的是（ ）
A．双曲线的实轴长为
B．若，则三角形的周长为
C．的最小值是
D．双曲线的焦点到渐近线的距离是2
【答案】BC
【分析】由双曲线方程可直接得到；由的关系和向量垂直得到，再确定周长即可；由双曲线的意义可直接确定C；由渐近线方程和点到直线的距离可确定D.
【详解】对于，由双曲线得，则，即，故双曲线实轴长为，故错误；
对于，由，即，设，因为，
则，所以，解得，则的周长为，故B正确；
对于，易知，故C正确；
对于，由选项知，双曲线焦点为，渐近线为，即，
所以焦点到渐近线的距离为，故错误.
故选：.
10．如图，在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面或内部一点，直线与底面所成的角分别记为，且，记动点P的轨迹与棱的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．为中点
B．线段长度的最小值为5
C．存在一点，使得平面
D．若在正四棱柱表面，则点的轨迹长度为
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用线面夹角的定义确定P在球上，结合球的特征可判定A、B、D选项，构造面面平行及球心到线段的距离可判定C项.
【详解】
设在底面的投影为，连接，由题可知，
所以，即，
建系可得：，，，
即
化简得：，
即P在球心，半径的球上，
所以，故B正确；
设，则，
即，故A错误；
取上一点上一点，使，
连接，易得，
由正四棱柱的特征可知：，
而平面，平面，所以平面，
同理，平面，
又平面，所以平面平面，
易知球心到线段的距离为，故截面与球存在交点，
所以存在一点，使得平面，故C正确；
当位于侧面上时，P轨迹为劣弧，易知，
当位于侧面上时，P轨迹为劣弧，易知，
则点的轨迹长度,
如下图所示：
故D正确.
故选：BCD
11．若的二项展开式的第一项为，最后一项为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．展开式的第四项的二项式系数等于
C．展开式中不含常数项D．展开式中所有项的系数之和等于32
【答案】AC
【分析】通过计算可判断A；直接求第四项的二项式系数可判断B；求出展开式的通项，观察后可判断C；令，计算可判断D.
【详解】选项A：依题意有，解得，所以A正确；
选项B：展开式的第四项的二项式系数应为，故B错误；
选项C：的展开式的通项，
由于，所以，因此展开式中不含常数项，故C正确；
选项D：令，可得展开式中所有项的系数之和等于，故D错误．
故选：AC.
12．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同
B．有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C．若随机变量，则其数学期望
D．若随机变量，，则
【答案】ACD
【分析】A选项，计算出平均数，众数和中位数，得到A正确；B选项，计算出样本容量为18；C选项，根据二项分布的数学期望公式求出答案；D选项，利用正态分布的对称性得到概率.
【详解】A选项：平均数为：，3出现了两次，出现次数最多，众数为3，
将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为，故A正确；
B选项：样本的容量为，故B错误；
C选项：由，故C正确；
D选项：，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知点P是直线：和：（m，，）的交点，点Q是圆C：上的动点，则的最大值是 .
【答案】
【分析】根据题意分析直线分别过定点，点P的轨迹是以为直径的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点P的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆C的圆心，半径，
所以的最大值是.
故答案为：．
14．已知抛物线，倾斜角为的直线过焦点，且与在第一象限交于点M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为E，直线交C于两点，则 ．
【答案】
【分析】由抛物线的定义得出焦点的坐标，由直线的倾斜角，得出为等边三角形，且直线的倾斜角为，由直线的方程与抛物线联立得出交点坐标，设A点在第二象限，由抛物线的定义即可得出，由直线l与直线AB的倾斜角得出直线l与直线关于y轴对称，则点和点关于轴对称，得出点坐标，由为等边三角形，即可得出，从而求得比值．
【详解】由题意知，抛物线的焦点，准线方程，
因为，所以，
由直线l的倾斜角为，知，故为等边三角形，
易知直线的倾斜角为，所以直线的方程为，
联立抛物线与直线的方程得，解得或，
如图所示，不妨设A点在第二象限，所以，
由抛物线的定义知，
由直线l与直线AB的倾斜角可知，直线l与直线关于y轴对称，且抛物线关于轴对称，
所以点和点关于轴对称，即，
又为等边三角形，所以，
所以，
故答案为：．
15．将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有 种.
【答案】288
【分析】先将除甲外其它3个女生排一排，再分两种情况：若2个男生与女生甲排一起，再插入4空中的1个、若2个男生中的一个与女生甲排一起，再和另一个男生插入4空中的2个，最后应用分步分类计数、间接法求2个男生都不与女生甲相邻的排法.
【详解】先将除甲外其它3个女生排一排有种，共有4个空，
若2个男生与女生甲排一起有种，再将他们插入上述4个空中的一个有种，
此时，共有种；
若2个男生中的一个与女生甲排一起有种，再将他们和另一个男生插入上述4个空中的两个有种，
此时，共有种；
又6个人做全排列有种，故2个男生都不与女生甲相邻的排法有种.
故答案为：
16．已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝ 的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
【答案】0.01
【分析】根据已知与临界值比较结合独立性检验的概念判断即可.
【详解】因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
故答案为：0.01.
四、解答题
17．已知圆在轴上截得线段长为4，在轴上截得线段长为．
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)若点到直线的距离为，求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由弦长，半径，圆心到弦的距离之间的关系可知，，消去即可得到圆心的轨迹方程；
（2）设，由点到直线的距离公式得，与联立即可求出圆心与半径，即可求出圆的标准方程.
【详解】（1）设，圆的半径为，
因为圆在轴上截得的线段长为4，点到轴的距离为，
所以有，即,同理有,
即，即
故点的轨迹方程为．
（2）设，由已知得，
所以．又点在双曲线上，
所以，解得：或
此时圆的半径，
故圆的方程为或．
五、问答题
18．已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，直线，的斜率之积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与轴，轴分别相交于，两点，且，，求椭圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法得到，再由离心率公式计算可得；
（2）依题意可得为线段的中点，求出直线与坐标轴的交点，即可得到点坐标，从而求出，由求出，即可得到直线方程，由（1）可得椭圆，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可得到椭圆方程.
【详解】（1）依题意可得，设，，
直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，
则，
，
，，，
又直线与直线的斜率乘积为．
，则离心率．
（2）因为直线与轴，轴分别相交于，两点，且，
为线段的中点，所以为线段的中点，
直线与轴，轴的交点为，，
所以，所以，
又，即，所以或（舍去），
所以直线，
又椭圆，
由，消去整理得，
由，可得，
又，，
所以，所以，则，
所以椭圆的方程为.
19．在空间直角坐标系中，已知长方体，，，，
(1)写出，点的坐标.
(2)点E是的中点，，用表示出及
【答案】(1)；；
(2)；.
【分析】（1）根据空间直角坐标系及长方体的长宽高即可直接写出；
（2）根据向量的线性运算即可求解.
【详解】（1）点在轴上，且，则；
点在轴，轴，轴上的射影为，
它们在坐标轴上的坐标分别为，所以；
（2）；
.
六、证明题
20．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
(1)证明：；
(2)线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，再由底面上的，可得平面，从而证得线线垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法表示线面垂直，求得，得其长度．
【详解】（1）证明：∵在四棱锥中，面，面，面，∴，.
在直角梯形中，，.
又面面，,∴平面，又面，∴；
（2）由题意及（1）得，存在一点，使得直线垂直平面.
在四棱锥中，，，
以为轴建立空间直角坐标系如图所示：
根据题意可得：，
∴.
根据点在线段上，∴.
设，则，
由得，得，∴，
∴.
七、问答题
21．已知是正整数，的展开式中的系数为17.
(1)当展开式中的系数最小时，求出此时的系数；
(2)已知的展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，求.
【答案】(1)140
(2)582
【分析】（1）根据二项式的通项公式确定系数，利用二次函数性质求解最值，从而利用通项求解系数；
（2）根据二项式系数的性质求得a，求出展开式的通项，利用单调性求出系数最大时的r，代入求解b，进而求解.
【详解】（1）根据二项式定理知，的展开式通项为，
根据题意得，即，所以，
所以展开式中的的系数为
，
故当或时，的系数的最小值为64，
此时，的系数为.
（2）由（1）知，则，
二项式展开式的通项为，
所以可得，再根据，即，求得，
此时，所以.
八、应用题
22．2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动．活动分为A、B两类项目，该班级所有同学均参加活动，且每位同学只能选择一项活动参加．活动参加情况如下表：
已知从该班级中随机抽取两位同学，在抽取到男同学和女同学各一位的前提下，两位同学均选择类项目的概率为．
(1)求；
(2)判断是否有的把握认为同学选择项目的类别与其性别有关？
附：，.
【答案】(1)
(2)没有的把握认为同学选择项目的类别与其性别有关
【分析】（1）根据条件概率的公式列出关于的方程，然后求解出的值；
（2）根据的值以及表中数据计算出的值，然后进行判断.
【详解】（1）记“抽取到男同学和女同学各一位”为事件，
所以，
“两位同学均选择类项目”为事件，
所以，
所以，解得．
（2）依题意：，
所以没有的把握认为同学选择项目的类别与其性别有关．
类
类
男同学
25
15
女同学
10
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828