微专题23　定点、定线问题

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【难点突破】
类型一 定点问题
[高考真题1] (2023·全国乙卷改编)已知椭圆C：eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1，点A(－2，0).过点
(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
样题1 已知抛物线C：y2＝8x，O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－16，试问直线AB是否过定点？若不过定点，请说明理由；若过定点，请求出定点坐标.
样题2 (2023·襄阳调研改编)已知椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1，椭圆C的上顶点为A，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的直线l与椭圆C交于两个不同的点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.证明：以MN为直径的圆过y轴上的定点.
规律方法 动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0).
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
训练1 已知曲线C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A，B，斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，证明：直线l经过定点，并求出定点的坐标.
类型二 定线问题
[高考真题2] (2023·新高考Ⅱ卷改编)已知双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1.记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.
样题3 已知双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1，设A1，A2是C的左、右顶点，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))的直线l与C交于M，N两点，试探究直线A1M与A2N的交点S是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由.
样题4 (2023·赣州二模节选)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，过点P(1，2)的直线l交C于A，B两点时，在线段AB上取点M，满足|AP|·|MB|＝|AM|·|PB|，证明：点M总在某定直线上.
规律方法 解决定线问题的核心在于确定动点的轨迹方程，主要方法有：
(1)待定系数法，设出含参数的直线方程，利用条件消去参数，得到系数确定动点的坐标，确定直线.
(2)设点法，设出动点的坐标，通过动点满足的条件消去参数，得到动点的轨迹方程，从而确定直线.
训练2 (2023·淄博模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(2，t)到其焦点F的距离为3，A，B为抛物线C上异于原点的两点.延长AF，BF分别交抛物线C于点M，N，直线AN，BM相交于点Q.
(1)若AF⊥BF，求四边形ABMN面积的最小值；
(2)证明：点Q在定直线上.