微专题1　三角函数的图象与性质

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【真题体验】
1.(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,5)))图象上所有的点( )
A.向左平移eq \f(π,5)个单位长度B.向右平移eq \f(π,5)个单位长度
C.向左平移eq \f(π,15)个单位长度D.向右平移eq \f(π,15)个单位长度
2.(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(00，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,ω)倍.
沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍.
例1 (2023·江西重点中学联考)将函数y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得到函数图象关于原点中心对称，则sin 2φ＝( )
A.－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C.－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
易错提醒 在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩，变换只是对其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
训练1 (1)(2023·长沙统一检测)为得到函数y＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x的图象，只需要将函数y＝2sin 2x的图象( )
A.向左平移eq \f(π,3)个单位长度B.向左平移eq \f(π,6)个单位长度
C.向右平移eq \f(π,3)个单位长度D.向右平移eq \f(π,6)个单位长度
(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,3))(ω＞0)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
热点二 三角函数的图象与解析式
已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
例2 (1)(2023·济南模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|0，|φ|0，|φ|0，|φ|0)的性质
(1)单调性：由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间；由eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间.
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；
由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)可得对称轴.
(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，
函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数.
例3 (1)(多选)(2023·武汉调研)已知函数f(x)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)（x－2）))－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)（x＋2）))，则( )
A.函数f(x)的图象关于y轴对称
B.x∈[2，4]时，函数f(x)的值域为[1，eq \r(2)]
C.函数f(x)的图象关于点(5，0)中心对称
D.函数f(x)的最小正周期是8
(2)(2023·衡阳质检)已知函数f(x)＝sin(ωx－eq \f(π,6))(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的最大值为eq \f(ω,3)，则实数ω的取值个数最多为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t 的性质判断各选项.
训练3 (1)(多选)(2023·福州调研)将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数f(x)的图象，则( )
A.f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
B.点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))是f(x)图象的一个对称中心
C.当x＝－eq \f(π,12)时，f(x)取得最大值
D.函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(5π,4)))上单调递增
(2)(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝cs 2x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度后得到g(x)的图象.若对于任意的x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)，则|m－n|的最小值为________.