微专题2　三角恒等变换与解三角形

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1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cs α＝eq \f(1＋\r(5),4)，则sin eq \f(α,2)＝( )
A.eq \f(3－\r(5),8) B.eq \f(－1＋\r(5),8)
C.eq \f(3－\r(5),4) D.eq \f(－1＋\r(5),4)
2.(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acs B－bcs A＝c，且C＝eq \f(π,5)，则B＝( )
A.eq \f(π,10) B.eq \f(π,5)
C.eq \f(3π,10) D.eq \f(2π,5)
3.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq \r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
4.(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
【热点突破】
热点一 三角恒等变换
1.同角三角函数的基本关系：sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.诱导公式的记忆口诀：在eq \f(kπ,2)＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看
象限”.
3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.
例1 (1)(2023·天津模拟)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝eq \f(1,3)，cs αsin β＝eq \f(1,6)，则cs(2α＋2β)＝( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,9)
C.－eq \f(1,9) D.－eq \f(7,9)
规律方法 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”
表示.
2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.
训练1 (1)(2023·广州模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋cs(π－α)＝sin α，
则2sin2 α－sin αcs α＝( )
A.eq \f(21,10) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(\r(3),2) D.2
(2)(2023·长春质检)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＋eq \r(3)cs α＝eq \f(1,3)，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(3)－2\r(2),6) B.eq \f(1－2\r(6),6)
C.eq \f(\r(6)－1,6) D.eq \f(\r(2)－2\r(3),6)
热点二 正弦定理、余弦定理
1.正弦定理：在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC的外接圆半径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B, c＝2Rsin C，sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccs A，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc).
3.三角形的面积公式：S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
例2 (1)(2023·昆明诊断)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝30°，且2sin Bsin C＋sin B＋2cs 2B＝2，则eq \f(b,c)的值为( )
A.eq \f(4－\r(3),2) B.eq \f(4－\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),4)
(2)(2023·烟台模拟)如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.
①若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；
②若CD＝eq \r(3)BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.
规律方法 1.利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.
2.涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.
训练2 (1)(多选)(2023·华南师大附中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，sin A＝eq \f(4,5)，tan C＝7，则下列结论正确的是( )
A.cs A＝±eq \f(3,5) B.B＝eq \f(π,4)
C.b＝eq \f(5\r(2),2) D.△ABC的面积为7eq \r(2)
(2)(2023·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sin B－sin C)2＝sin2 A－sin Bsin C.
①求角A的大小；
②若b＝5，BC边上的高为eq \f(10\r(7),7)，求边c.

热点三 解三角形的实际应用
解三角形实际问题的步骤
例3 (1)如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆.现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部).现分别从地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝60eq \r(2)米，则OP等于( )
A.40米 B.30米
C.30eq \r(2)米 D.30eq \r(3)米
(2)(2023·惠州模拟)如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200 mm，曲柄CB长70 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为________ mm.(结果保留整数)(参考数据：sin 53.2°≈0.8)
规律方法 解三角形应用问题的要点
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的
元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
训练3 (1)(2023·东北师大附中模拟)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为10eq \r(3) km，基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站之间的距离为( )
A.10eq \r(6) km B.30(eq \r(3)－1) km
C.30(eq \r(2)－1) km D.10eq \r(5) km
(2)(2023·重庆诊断)如图，圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器，也是作为指导劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为α，β，测得表影长之差为l，那么表高为( )
A.eq \f(ltan αtan β,tan α－tan β) B.eq \f(l（tan β－tan α）,tan βtan α)
C.eq \f(ltan βtan α,tan β－tan а) D.eq \f(l（tan α－tan β）,tan αtan β)