微专题3　三角中的最值、范围问题

这是一份微专题3　三角中的最值、范围问题，共4页。试卷主要包含了基本不等式等内容，欢迎下载使用。

【真题体验】
1.(2018·北京卷)若△ABC的面积为eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；eq \f(c,a)的取值范围是________.
2.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq \f(cs A,1＋sin A)＝eq \f(sin 2B,1＋cs 2B).
(1)若C＝eq \f(2π,3)，求B；
(2)求eq \f(a2＋b2,c2)的最小值.
【热点突破】
热点一 三角函数式的最值或范围
求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解.
例1 已知函数f(x)＝2sin xcs x－2eq \r(3)cs2x＋eq \r(3).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值.
易错提醒 求三角函数式的最值、范围问题要注意：
(1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；
(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求三角函数式的范围.
训练1 (2023·江西大联考)已知－eq \f(π,2)<α<βA.[－eq \r(3)，0) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))
C.(0，eq \r(3)] D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))
热点二 三角形中有关量的最值或范围
三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.
(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.
(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值.
考向1 三角形面积的最值或范围
例2 (2023·济宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，eq \r(3)asin B－bcs A＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.
考向2 与三角形周长或边长相关的最值或范围
例3 (2023·武汉质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
bsin eq \f(B＋C,2)＝asin B.
(1)求角A的大小；(2)求eq \f(a－c,b)的取值范围.
易错提醒 求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化.
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0训练2 (1)(2023·泉州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(sin B＋sin C)2－sin2(B＋C)＝3sin Bsin C，且a＝2，则△ABC的面积的最大值是( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3)
C.2eq \r(3) D.4
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知S＝eq \f(\r(3),4)(b2＋c2－a2)，a＝4.
①求角A的大小.②求△ABC周长的取值范围.