微专题5　与平面向量有关的最值、范围问题

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【真题体验】
1.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A.3 B.2eq \r(2)
C.eq \r(5) D.2
2.(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝eq \r(2)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \f(1＋\r(2),2) B.eq \f(1＋2\r(2),2)
C.1＋eq \r(2) D.2＋eq \r(2)
3.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,2)＋…＋eq \(PA,\s\up6(→))eq \\al(2,8)的取值范围是________.
【热点突破】
热点一 向量模的最值、范围
向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.
例1 (1)已知单位向量a，b满足|a－b|＋2eq \r(3)a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(\r(2),2)
(2)(2023·湖北名校联考)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，且(b－c)·(2b－c)＝0，则|a－2c|的最大值为________.
规律方法 模的范围或最值常见方法
(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题；
(2)数形结合；
(3)坐标法.
训练1 (1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为________.
(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________.
热点二 向量数量积的最值、范围
数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；(3)运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.
例2 (1)(2023·潍坊模拟)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆O的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.[0，1] B.[0，eq \r(2)]
C.[1，2] D.[－1，1]
(2)(2023·广州模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC边上(包括端点)，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围是________.
规律方法 结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择的变量要有可操作性.
训练2 (1)(2023·漳州质检)已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，4))
C.[0，2] D.[0，4]
(2)(2023·荆州质检)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a－b|＝1，则(a－b)·(b－c)的最大值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.1 D.eq \f(3,2)
热点三 向量夹角的最值、范围
求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.
例3 若平面向量a，b，c满足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝6，a·b＝2，则a，b夹角的取值范围是______________________________________________.
规律方法 本题考查向量夹角取值范围的计算，解题的关键就是将向量的坐标特殊化处理，借助基本不等式或函数的性质求解.
训练3 在平行四边形ABCD中，eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(2\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(λ\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，λ∈[eq \r(2)，2]，则cs ∠BAD的取值范围是________.
热点四 向量系数的最值、范围
此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解.
例4 (1)(2023·烟台模拟)如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则2x＋2y的最大值为( )
A.eq \f(8,3) B.2
C.eq \f(4,3) D.1
(2)(2023·岳阳模拟)设点P在以A为圆心，1为半径的圆弧eq \(BC,\s\up8(︵))上运动(包含B，C两个端点)，∠BAC＝eq \f(2π,3)，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＋y的取值范围为________.
规律方法 解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向量定理及推论
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0).
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1，进行转化，列不等式或等式得到关于系数的关系式，从而求系数的取值范围.
训练4 如图，在△ABC中，点P满足eq \(BP,\s\up6(→))＝3eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，则λ＋μ的最小值为________.