2023-2024学年山东省烟台市龙口第一中学等校高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省烟台市龙口第一中学等校高二上学期12月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）.
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线方程及其定义确定焦点到准线的距离.
【详解】由抛物线方程知：，即，
根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是.
故选：B
2．已知动点在椭圆上，点到定点的距离记为，到定直线的距离记为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程和两点间的距离公式即可求解.
【详解】设点，
则，
，
所以.
故选：C.
3．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】B
【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的渐近线方程求出的值，求出的取值范围，结合双曲线的定义可求得的值.
【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则，
因为，则，所以，，
设点，其中或，
则，
若点在双曲线的右支上，则，则，
当点在双曲线的左支上，则，则.
由双曲线的定义可知，解得（舍）或.
故选：D.
5．已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，，利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.
【详解】解：设，，则，，，，
所以，即，
所以，即
所以弦所在直线方程为，即.
故选：A
6．已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.
【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，
.
等于的最小值的3倍，
.
椭圆中，
，即，
则.
，
，解得或（舍）.
故选：B.
7．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：，从点发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出坐标，进而联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出点B的纵坐标.
【详解】抛物线C：的焦点坐标为，设，，因为点在抛物线上，
所以，由题意可知，三点在一条直线上，直线的斜率为
，即直线的方程为，联立，
可得，因为.
故选：A
8．已知双曲线的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对称性知四边形为平行四边形，可求得及，在中，由余弦定理建立的关系，从而求得渐近线方程.
【详解】如图所示，不妨设在左支，
设右焦点为，连接，
由对称性知四边形为平行四边形，
由得，
由双曲线定义知：，
所以，
因为，所以
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，即，所以，
则C的渐近线方程为.
故选：D
【点睛】求双曲线的渐近线就是求与的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于的一个齐次等式，求解均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.
二、多选题
9．已知椭圆C：的一个焦点为F，P为C上一动点，则（ ）
A．C的短轴长为B．的最大值为
C．C的长轴长为6D．C的离心率为
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果.
【详解】由标准方程可知，，，
所以，，．
所以短轴长为，长轴长为，即选项AC正确；
离心率，即D正确；
由椭圆性质得， 故选项B错误.
故选：ACD
10．已知曲线：，则（ ）
A．若，则是圆，其半径为
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若C过点，，则是双曲线
D．若，则不表示任何图形
【答案】BC
【分析】根据每一个选项的条件对曲线变形可以对每一个选项作出判断.
【详解】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误；
对于B，时，曲线可化为，而，所以其焦点在轴上，故B正确；
对于C，将点，代入曲线：，有，，所以曲线是双曲线是双曲线，故C正确；
对于D，若，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，故D错误.
故选：BC
11．已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
B．以为直径的圆与相切
C．设，则
D．若，则的面积为
【答案】CD
【分析】A项，分别求过点与抛物线的切线，和斜率为0的直线；
B项，根据抛物线定义和梯形中位线性质求得，得到答案；
C项，根据抛物线定义可知，利用三点共线求距离之和最小值；
D项，设直线PQ方程，与抛物线联立，利用韦达定理和弦长公式求解.
【详解】A项，过抛物线有且仅有一个公共点的直线必有有，，
当直线斜率存在时，设直线方程为，当直线与抛物线相切时有且仅有一个公共点，联立得，，所以，
解得，，所以切线方程为，所以过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，所以A项错误；
B项，如图，设点在上的射影为，取PQ的中点N，的中点，
由抛物线定义可知，，
在梯形中，有，
所以以为直径的圆与准线相切，切点为，所以B项错误；
C项，由抛物线定义可知，，所以，当且仅当P、F、M三点共线时，有最小值，为，所以，所以C项正确；
D项，设PQ方程为，代入得：，
判别式，即，，，
因为，
所以，解得，，
所以O点到直线的距离为，
所以的面积为，所以D项正确.
故选：CD.
12．已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．双曲线的离心率为
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A，先求出点坐标，求出和的坐标，即可计算；对于B，将点坐标代入双曲线的方程，建立与的齐次方程即可求出离心率；对于C，代斜率的坐标计算公式化简可求，对于D，分别化简，，，结合与的数量关系即可判断
【详解】
因为为正三角形，所以
所以，
所以
故A正确
将点坐标代入双曲线方程可得
即
即
即
即
设（），则
解之得：或（舍）
所以，所以
故B正确
故C错误
设的内切圆半径为，则，，
所以，即，故D正确
故选：ABD
三、填空题
13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出双曲线的一个离心率 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】分类讨论双曲线的焦点在轴、轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离心率公式计算可得.
【详解】当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，
所以离心率，
当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，即，
所以离心率，
综上，可得双曲线的离心率为或.
故答案为：（答案不唯一）.
14．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为 .
【答案】16
【分析】利用过焦点的直线与抛物线的关系，利用韦达定理代入弦长公式求解.
【详解】因为过抛物线的焦点，斜率为1，
所以直线的方程为，则联立直线与抛物线方程
，得到，
令
则，，
代入弦长公式.
故答案为：16.
15．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别相交于两个动点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】由题意可知，为该动圆的直径, ，可列等式得方程.
【详解】因为动圆圆心在轴上移动，且该动圆始终经过点和，所以，为该动圆的直径,
又因为点在该动圆上，所以，，即，
所以，点的轨迹方程为.
故答案为：
16．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．

【答案】
【分析】设双曲线的标准方程为，得到，设点，代入双曲线的方程，求得，求得渐近线方程，即可求解.
【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为，
因为最小直径为，可得，即，
又因为尊高，上口直径为，底部直径为，
设点，
所以且，解得，即，
可得双曲线的渐近线为，
所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为.
故答案为：.

四、解答题
17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程；
(2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设椭圆方程，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为顶点在轴上，设双曲线方程为，
又两顶点间距离是8，即，所以，
且，所以，
又，
所以双曲线方程为.
（2）因为双曲线中，
设椭圆方程为，
则，解得，
所以椭圆方程为.
18．已知抛物线经过点，为抛物线的焦点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值（为坐标原点）
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，将点坐标代入抛物线方程求出，再根据焦半径公式计算可得；
（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据面积公式计算可得.
【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线经过点，，
可得，即，
又，可得，
解得，，
故抛物线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，
由，解得，此时，所以的面积．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得，．
设，，由根与系数的关系得，，
所以
，
综上所述，面积的最小值为．
19．已知O为坐标原点，点和点，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；
(2)若抛物线（）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，，求直线l的方程.
【答案】(1)曲线的方程为，它是焦点为的双曲线的右支.
(2)或．
【分析】（1）由动点满足：可得到轨迹曲线为双曲线的右支；
（2）由（1）可得的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为，后根据弦长公式得到关于的方程，解出即可．
【详解】（1）解： 动点满足，
点的轨迹曲线为双曲线的一支，由双曲线的定义有，，
，
曲线的方程为；
（2）解：由（1）可知曲线的顶点，
，
，
所以抛物线的方程为．
由题意，直线的倾斜角不能为0，
设直线的方程为，设，，，，
代入到消去得：，
，
，，
，
或，
直线的方程为或．
20．在平面直角坐标系中，已知点，，直线PA与直线PB的斜率乘积为，点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)分别过，做两条斜率存在的直线分别交于C，D两点和E，F两点，且，求直线CD的斜率与直线EF的斜率之积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用题意得到，化简即可；
（2）设直线为：，直线为：，分别与联立，利用韦达定理和弦长公式可求得，代入即可求解
【详解】（1）设，因为直线PA与直线PB的斜率乘积为，
所以，
整理得点的轨迹为为
（2）设直线为：①
设直线为：②
将①与曲线联立得：，
设，，，，
所以，
将②与曲线联立得：，
设，，，，
所以，
所以，
解得，所以
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，M在C上，垂直于x轴，O为坐标原点，且，．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l的斜率存在时，试判断x轴上是否存在一点T，使得．若存在，求出T点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由，结合，得出椭圆C的标准方程．
（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理结合求解即可.
【详解】（1）由题意可知点M的坐标为，
因为，所以，即，得．
因为，所以．
因为，所以，
故椭圆C的标准方程为．
（2）假设x轴上存在点，使得，则．
设直线l的方程为，
联立方程组消去x整理得，
则，
，
即．
由，解得，
故存在，使得．
【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于将转化为，从而将几何问题转化为代数问题，结合韦达定理进行求解.
22．在①C的渐近线方程为 ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．
已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______．
(1)求C的标准方程；
(2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据①②提供的渐近线方程和离心率得出之间的关系，再利用在双曲线上即可求得C的标准方程；（2）根据坐标位置可利用对称性求得Q点坐标，分别别写出直线PM和QN的直线方程，求得交点A的坐标表示，利用韦达定理即可证明.
【详解】（1）选①
因为C的渐近线方程为，所以，
故可设C的方程为，
代入点P的坐标得，可得，
故C的标准方程为．
选②．
因为C的离心率为，所以，得，
故可设C的方程为，
代入点P的坐标得，可得，
故C的标准方程为．
（2）由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为．
设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为，
联立直线和双曲线方程得，
所以，，
直线PM：，即，
直线QN：，即，
消去y，得，
整理得，
则．
因为，所以A的横坐标为1．
故A在定直线上．