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    2023-2024学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案

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    2023-2024学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案

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    这是一份2023-2024学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案,共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题
    1.已知数列,则是这个数列的( )
    A.第11项B.第12项C.第13项D.第14项
    【答案】B
    【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式,最后利用通项公式进行求解即可.
    【详解】数列,即数列,
    由数列的前几项观察归纳,知被开方数是以6为首项,4为公差的等差数列,
    所以通项公式,
    令,解得.
    故选:B.
    2.直线过圆的圆心,并且与直线垂直,则直线的方程为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】求圆心坐标,由垂直可得斜率,然后根据点斜式可得.
    【详解】由可知圆心为,
    又因为直线与直线垂直,
    所以直线的斜率为,
    由点斜式得直线,
    化简得直线的方程是.
    故选:D.
    3.已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点在抛物线的准线上,且双曲线的离心率等于,则双曲线的标准方程为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】根据给定条件,求出双曲线的焦点坐标,再结合离心率求出方程作答.
    【详解】抛物线的准线方程为,则双曲线的焦点坐标为,
    而双曲线的离心率为,令其实半轴长为,则,即有,虚半轴长,
    所以双曲线的标准方程为.
    故选:B
    4.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,书中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是尺,芒种的日影子长为尺,则冬至的日影子长为( )
    A.尺B.尺C.尺D.尺
    【答案】D
    【解析】根据题意转化为等差数列,求首项.
    【详解】设冬至的日影长为,雨水的日影长为,根据等差数列的性质可知,芒种的日影长为,
    ,解得:,,
    所以冬至的日影长为尺.
    故选:D
    5.若数列满足,,,则( )
    A.B.-2C.3D.
    【答案】A
    【分析】代入计算出数列的前几项,归纳出周期后可得结论.
    【详解】,则,,,,
    所以数列是周期数列,且周期是4,因此,
    故选:A.
    6.设等差数列,的前项和分别为,,若,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】利用等差中项求解即可.
    【详解】因为,为等差数列,
    所以,,所以,
    故选:D
    7.如图,在直三棱柱中,D为棱的中点,,,,则异面直线CD与所成角的余弦值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】以C为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法,可求得答案.
    【详解】解:以C为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
    由已知可得,,,,则,,
    所以.
    又因为异面直线所成的角的范围为,所以异面直线与所成角的余弦值为.
    故选:A.
    8.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,若A为线段的中点,且,则C的离心率为( )
    A.B.2C.D.3
    【答案】B
    【分析】由题意可得为直角三角形,再结合A为线段的中点,可得AO垂直平分,可表示出直线,再联立渐近线方程可以得到,,的关系,进而得到双曲线离心率
    【详解】由题意可知,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,当两个交点分别在第二和第三象限时不符合,
    A为线段的中点,当交点在轴上方或轴下方时,根据对称性结果是一样的,选择一种即可,如图.
    根据双曲线可得,,,两条渐近线方程,
    ,为的中点,
    ,又A为线段BF1的中点,垂直平分,
    可设直线为①,直线为②,直线为③,
    由②③得,交点坐标,点还在直线上,,可得,
    ,所以双曲线C的离心率,
    故选:B
    二、多选题
    9.已知空间向量,则下列选项中正确的是( )
    A.当时,B.当时,
    C.当时,D.当时,
    【答案】BCD
    【分析】A选项,根据垂直得到数量积为0,列出方程,求出,A错误;
    B选项,根据向量平行列出方程组,求出;
    C选项,根据向量运算法则计算出,利用模长公式列出方程,求出;
    D选项,先利用向量夹角余弦公式计算出两向量夹角的余弦,进而计算出正弦值.
    【详解】当时,,解得:,故A错误;
    令,则,,故B正确;
    ,所以,解得:,故C正确;
    当,,
    因为,,故D正确.
    故选:BCD
    10.椭圆C的方程为,焦点为,,则下列说法正确的是( )
    A.椭圆C的焦距为3B.椭圆C的长轴长为10
    C.椭圆C的离心率为D.椭圆C上存在点P,使得为直角
    【答案】BC
    【分析】由椭圆方程,计算,由焦距、长轴、离心率的定义可判断ABC,当点P为上顶点或者下顶点时,最大,分析可判断D
    【详解】由题意,
    椭圆的焦距为,A错误;
    椭圆的长轴长为,B正确;
    椭圆的离心率,C正确;
    当点P为上顶点或者下顶点时,最大,此时又为锐角,可得,故,因此椭圆C上不存在点P,使得为直角,D错误
    故选:BC
    11.已知数列的前项和为,则下列结论正确的有( )
    A.是递减数列B.
    C.D.当最小时,
    【答案】BCD
    【分析】由数列前项和为,可求数列通项,然后逐个验证选项.
    【详解】,当时,;
    当时,
    注意到时也满足,
    所以数列的通项公式为,,
    ,是递增数列,A选项错误;
    ,B选项正确;
    ,C选项正确;
    ,,当最小时,,D选项正确.
    故选:BCD.
    12.已知抛物线的焦点在直线上,直线与抛物线交于点(为坐标原点),则下列说法中正确的是( )
    A.B.准线方程为
    C.以线段为直径的圆与的准线相切D.直线的斜率之积为定值
    【答案】CD
    【分析】由直线l过定点,得到,可判定A正确;根据抛物线的几何性质,可得判定B错误;过点作准线的垂线,根据抛物线的定义得到,可判定C正确;联立方程组,结合韦达定理,得到,求得,可判定D正确.
    【详解】对于A中,由直线,可化为,可得直线过定点,
    因为抛物线的焦点在直线l上,可得,则,所以A错误;
    对于B中,由抛物线的准线方程为,所以B错误;
    对于C中,过点作准线的垂线,垂足分别为,的中点为D点,
    过D点作准线的垂线,垂足为,可得,所以C正确;
    对于D中,设,联立方程组,
    整理得,可得,则,
    所以D正确.
    故选:CD.
    三、填空题
    13.已知等差数列的前三项为,,,则实数 .
    【答案】0
    【分析】由这3项成等差数列可求得.
    【详解】由题意,解得,
    故答案为:0.
    【点睛】本题考查等差数列的概念与性质,等差数列中连续的3项仍然成等差数列.
    14.圆关于直线对称的圆的方程为 .
    【答案】
    【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点,就是所求圆的圆心,而半径不变,从而可求出圆的方程
    【详解】圆的圆心为,半径为2,
    设点关于直线对称点为,则
    ,解得,即,
    所以圆关于直线对称的圆的方程为

    故答案为:
    15.等差数列的前n项和记为,且,,则 .
    【答案】
    【分析】利用等差数列的求和公式,建立方程组,可得答案.
    【详解】设等差数列的首项为,公差为,则,
    解得,则.
    故答案为:.
    16.已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是 .
    【答案】13
    【分析】利用离心率得到椭圆的方程为,根据离心率得到直线的斜率,进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率,写出直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,利用弦长公式求得,得,根据对称性将的周长转化为的周长,利用椭圆的定义得到周长为.
    【详解】∵椭圆的离心率为,∴,∴,∴椭圆的方程为,不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,∵,∴,∴为正三角形,∵过且垂直于的直线与C交于D,E两点,为线段的垂直平分线,∴直线的斜率为,斜率倒数为, 直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,
    判别式,
    ∴,
    ∴ , 得,
    ∵为线段的垂直平分线,根据对称性,,∴的周长等于的周长,利用椭圆的定义得到周长为.
    故答案为:13.

    四、解答题
    17.平面直角坐标系中,已知△三个顶点的坐标分别为,,.
    (1)求边所在的直线方程;
    (2)求△的面积.
    【答案】(1);
    (2)5.
    【分析】(1)根据已知两点,求得直线斜率,再利用点斜式即可求得直线的方程;
    (2)利用点到直线的距离公式,求得三角形的高,再结合两点之间的距离公式以及三角形面积公式,即可求得结果.
    【详解】(1)直线的斜率,故直线的方程为,
    即.
    (2)点A到直线的距离,
    又,
    则△的面积.
    18.已知是等差数列的前项和,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据等差数列回到基本量,解出首项和公差即可求解;
    (2)先求前项和,再建立方程求解即可.
    【详解】(1)设等差数列的公差为,因为,
    所以.
    解得.
    所以.
    (2).
    因为,所以,解得或.
    因为,所以.
    19.已知圆圆心为原点,且与直线相切,直线l过点.
    (1)求圆的标准方程;
    (2)若直线l被圆所截得的弦长为,求直线l的方程.
    【答案】(1);
    (2)或
    【分析】(1)直接由圆心到直线的距离求出半径,即可求出圆的方程;
    (2)先由弦长公式求出,斜率不存在时符合题意,斜率存在时,设出直线方程,由解出直线斜率,即可求解.
    【详解】(1)设圆的半径为,则,故圆的标准方程为;
    (2)设圆心到直线到的距离为,则,解得;当直线l斜率不存在时,易得,此时圆心到的距离,符合题意;
    当直线l斜率存在时,设,即,则,解得,即,
    故直线l的方程为或.
    20.已知数列满足:,.
    (1)计算数列的前4项;
    (2)求证:是等差数列;
    (3)求的通项公式.
    【答案】(1),,,;
    (2)证明见解析;
    (3).
    【分析】(1)根据给定的递推公式,依次计算.
    (2)将给定的等式两边取倒数,再结合等差数列定义推理即得.
    (3)利用(2)的结论,求出的通项公式.
    【详解】(1)数列中,,,则,,,
    所以数列的前4项为,,,.
    (2)由(1)知,,将等号两端取倒数得,,即,
    所以数列是以为首项,1为公差的等差数列.
    (3)由(2)知,即,
    所以数列的通项公式为.
    21.如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,E是的中点,且,.
    (1)证明:平面;
    (2)若,,求二面角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2).
    【分析】(1)设,连接,证明 ,,原题即得证;
    (2)证明平面,再以点O为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法求解.
    【详解】(1)证明:设,连接.
    因为四边形是菱形,所以O是的中点.
    因为,所以.
    因为四边形是菱形,所以.
    因为平面,平面,且,
    所以平面.
    (2)因为,所以,所以.
    因为,又平面.
    所以平面.
    因为O,E分别是,的中点,所以,所以平面.
    故以O为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,,故,,,设平面的法向量,则,
    令,得.
    设平面的法向量,则,
    令,得.设二面角为,
    则.
    所以.
    22.椭圆的右焦点为F、右顶点为A,上顶点为B,且满足.
    (1)求椭圆的离心率;
    (2)直线l与椭圆有唯一公共点M,与y轴相交于N(N异于M).记O为坐标原点,若,且的面积为,求椭圆的标准方程.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据已知条件可得出关于、的等量关系,由此可求得该椭圆的离心率的值;
    (2)由(1)可知椭圆的方程为,设直线的方程为,将直线的方程与椭圆方程联立,由可得出,求出点的坐标,利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值,即可得出椭圆的方程.
    【详解】(1)解:,
    离心率为.
    (2)解:由(1)可知椭圆的方程为,
    易知直线的斜率存在,设直线的方程为,
    联立得,
    由,①
    ,,
    由可得,②
    由可得,③
    联立①②③可得,,,故椭圆的标准方程为.

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