2023-2024学年上海市建平中学高二上学期第三次阶段学习评估（12月月考）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市建平中学高二上学期第三次阶段学习评估（12月月考）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 ．
【答案】平行
【分析】根据线面垂直的判定定理可得答案.
【详解】垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是平行.
故答案为：平行.
2．关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意，将不等式化为，即可得到结果.
【详解】由可得，，解得.
所以不等式的解集为.
故答案为：
3．抛物线的准线方程为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可.
【详解】由题, 开口向左,且,故准线方程为,即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程,属于基础题.
4．若是奇函数，且当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据函数奇偶性代入即可得到答案.
【详解】由题意得．
故答案为：.
5．已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为 .
【答案】3
【分析】先由的值判断焦点位置，再根据椭圆基本量的关系进行求解即可.
【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，所以，，，
所以，解得.
故答案为：3.
6．已知直线，则与的夹角大小是 .
【答案】
【分析】先求出两直线的斜率，再利用两直线的夹角公式求解即可.
【详解】设直线与的夹角为（），
因为，
所以两直线的斜率分别为，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
7．如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为 ．

【答案】
【分析】根据线面角的知识求得正确答案.
【详解】连接，由于平面，
所以是直线与平面所成角，
设正方体的边长为，则，
所以，
所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为.
故答案为：

8．已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到为直角三角形，得到，再由双曲线的定义，得到，联立方程组，求得，结合面积公式，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
所以双曲线的焦距为，因为，为直角三角形，
可得，又因为，
可得，即，
解得，所以的面积为．
故答案为：．

9．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是 .
【答案】直角三角形
【详解】 如图，过点A作AE⊥BD，E为垂足．
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC．
又∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC．
又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，
∴BC⊥AB．
∴△ABC为直角三角形．
10．已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意，根据一次函数与二次函数的性质，整理关于的等式，利用基本不等式求最值即可.
【详解】由，则函数单调递增，
且当时，；当时，.
由在时恒成立，
则当时，恒成立；
当时，恒成立.
故有时，，则有，
则有，当且仅当等号成立.
故答案为：.
11．已知点在上运动，点在圆上运动，且最小值为，则实数的值为 .
【答案】5
【分析】结合图形，先判断得，再将问题转化为求的最小值，利用换元法与二次函数在闭区间上的最值求法即可得解.
【详解】因为可化为，又，
所以表示焦点在轴上，实半轴长为的双曲线上支的一部分，
而圆的圆心为，半径为，如图，

因为最小值为，即，
又，即，
所以，即，
则，又，所以，
因为点在上运动，故设,，
所以，
令，，则，，
所以，
令，则其对称轴为，
因为，所以，则在上单调递减，
则，
即，则，解得或（舍去），
所以.
故答案为：5.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解.
12．已知正方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积，则点的轨迹长度为 .
【答案】
【分析】由题意求出到的距离，又易证面，进而得到点在所在平面的轨迹是以为半径的圆，因为内切圆的半径为，所以该圆一部分位于三角形外，作出图形即可求解．
【详解】因为正方体的棱长为，所以，
所以，
设到的距离为，由，得，
平面，平面，
，
又，，
平面，
，同理可证，又，
面，
点在所在平面的轨迹是以为半径的圆，
内切圆的半径为，
该圆一部分位于三角形外，
如图有，解得，
，
圆在三角形内的圆弧为圆周长的一半，
，
故答案为：.
二、单选题
13．已知是两个不同的平面，的一个充要条件是（ ）
A．内有无数条直线平行于
B．存在平面
C．存在平面，且
D．存在直线
【答案】D
【分析】通过举反例说明A，B，C错误，根据线面垂直证明面面平行即可判断D正确．
【详解】对于A，由于内有无数条直线平行于，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故A错误；

对于B，若存在平面，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故B错误；

对于C，存在平面，且，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故C错误；

对于D，存在直线，由垂直于同一直线的两个平面互相平行，可得，故D正确；
故选：D．
14．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，由抛物线的定义可得.
【详解】因为，
得，
即动点到定点的距离与到定直线的距离相等，
且点不在直线上，
则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线.
故选：D.
15．在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由线面平行的判定定理性质定理和面面平行的判定定理和性质定理作图可以得到点，进而做出判定．
【详解】
由点到的距离为2，点到的距离为3，
可得P在内，过P作，且，，
又平面，平面，所以平面，
在平面中，过F作，交于G，，
又平面，平面，所以平面，
且，平面，则平面平面．
连接，交于M，连接，
∵平面平面，平面平面，
平面平面，∴．
在中，过P作，且，则．
∵线段在四边形内，Q在线段上，
∴Q在四边形内．
故选：D．
16．如图，椭圆的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点.且，，，若，则离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题设条件求出，从而得到一个关于直线的斜率恒成立的不等式，故可得关于基本量的不等式，据此可求离心率的范围.
【详解】因为点P是上第一象限内任意一点，故为锐角，所以，
设直线的斜率为，则.
由可得，故，
所以，
因为，故，所以，
解得，因为对任意的恒成立，
故，整理得到对任意的恒成立，
故即即.
故选：B.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的离心率范围的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个不等式关系，此关系的构建需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系等．
三、解答题
17．已知均为锐角，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，求出，即可求的值；
（2）利用，由的值，即可求的值．
【详解】（1），，
又，，
，.
（2）为锐角，，．
．
18．（1）用文字语言和符号语言叙述异面直线判定定理：
文字语言：过______一点和______一点的直线，和此平面上______的任何一条直线是异面直线；
符号语言：若______，则直线与直线异面．
（2）用反证法证明异面直线判定定理．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据异面直线的判定定理直接求解即可；
（2）根据题意，由反证法证明即可.
【详解】（1）异面直线判定定理为：过平面内一点与平面外一点的直线，和此平面上不过该点的任何一条直线是异面直线；
符号语言：若，，，，则直线与直线异面．
（2）证明：假设直线和在同一平面内，
那么这个平面一定经过点和直线，
因为，且经过点与直线只能有一个平面，
所以直线与应在平面内，
所以，这与已知矛盾，
所以直线和是异面直线.
19．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
(1)求圆锥筒的容积；
(2)在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据圆锥的结构特征，扇形即为为圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面半径和高，即可求出容积；
（2）根据圆柱内接圆锥关系，求出圆柱的高与底面半径的关系式，进而求出圆柱侧面积的目标函数，根据函数特征求其最值即可.
【详解】（1）设圆锥筒的半径为，容积为，
∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，
∴，解得，
∴，
∴.
∴圆锥筒的容积为.
（2）设内接圆柱高为，由圆锥内接圆柱的轴截面图，
得，
所以内接圆柱侧面积
，
所以当时内接圆柱侧面积最大，最大值为.
【点睛】本题考查圆锥与扇形展开图的关系、体积以及内接圆柱侧面积最值的计算，考查计算求解能力，属于中档题.
20．如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，
(1)求证：平面平面；
(2)设面面，求证：；
(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）由已知，可得面SFD，由面面垂直的判定定理可得证；
（2）利用线面垂直的性质定理证明即可；
（3）设S在面AEF上的射影为O，则为直线SE与平面DEF所成角．设，利用体积法，由求得，从而得的表达式，结合换元法及函数的单调性求出的最大值．
【详解】（1）因为ABCD是正方形，，
又，面SFD，面SFD，
又平面，所以平面平面SFD；
（2）
证明：因为，面，面，所以面，
又因为面面，所以.
（3）设S在面AEF上的射影为，连接EO，则为直线SE与平面DEF所成角．

设，则．
．
在中，，．
可得，
，
，
又，，
令，
令，
，
当且时，，则，
可得在上单调递减，
当，即时，最大为，
最大值为．
21．已知既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值；
(3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，定值为
【分析】（1）根据题意确定，求出，即可得双曲线的方程；
（2）设，，分别联立与、联立与、联立与的方程可得、、，由可得答案；
（3）延长、分别交渐近线于、两点，设，，求出、的方程与的方程联立解得、，可得，设的倾斜角为，利用正切的二倍角公式和三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得，
即，故双曲线的标准方程为；
（2）不妨设，则设，
联立，可得，联立可得，
联立可得，
从而；
（3）证明：如图，延长，分别交渐近线于，两点，
由（2）可知，则，
设,，则，联立，
解得，
而，联立，解得，
从而，
设的倾斜角为，则，而，故，
则，因此．
故的面积为定值.