2023-2024学年上海市吴淞中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市吴淞中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，证明题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．和9的等差中项是 .
【答案】/3.5
【分析】若和的等差中项为，则，求解即可.
【详解】由等差中项的性质知：设和9的等差中项为，
则，解得：，所以和9的等差中项是.
故答案为：
2．抛物线的焦点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可得，的焦点坐标可直接求解.
【详解】由题意可知，，解得，
因为抛物线开口向上，所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：.
3．两平行直线之间的距离为 .
【答案】/
【分析】利用平行直线间的距离公式从而求解.
【详解】由题意得，可化为，
所以两直线的距离为，
故答案为：.
4．双曲线的一条渐近线方程为，则正实数 .
【答案】4
【分析】易知双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，代入即可得.
【详解】双曲线方程为，则其焦点在轴上，，
故其渐近线方程为，
一条渐近线方程为，则，即.
故答案为：4.
5．设是椭圆的长轴，点在上，且，若，，则的离心率为 .
【答案】
【分析】不妨设椭圆的焦点在轴上，设出其方程，根据已知得出，过点作，垂足为，在直角三角形中得出，，即可得出点的坐标，即可代入方程中得出，即可根据椭圆离心率的求法得出答案.
【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为，
过点作，垂足为，
是椭圆的长轴，，
，即，
，
，，
则在直角三角形中，，
则，故点，
代入方程，解得：，
则，
则，
故答案为：.
6．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数 .
【答案】
【分析】化双曲线方程为标准方程，求得的值，依题意列方程，解方程求得的值.
【详解】双曲线方程化为标准方程得，故，
依题意可知，即，解得.
【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.
7．“共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如茎叶图所示，下列关于该组数据的说法错误的是 .①极差为36；②众数为34；③第50百分位数为27；④平均数为32.
【答案】③
【分析】通过茎叶图可直接得到最大值，最小值和出现次数较多的数据，即得极差和众数，对于百分位数，则必须把数据按从小到大排列，再判断第50百分位数是哪个数据还是哪两个数据的均值，此题中因是整数，故应是第五个和第六个数据的平均数，而平均数只需运用公式计算即得.
【详解】由数据的茎叶图可知，最大为53，最小为17，,则极差为53-17=36，故①正确；
其中仅有数据34出现了两次，其余数据都只有1次，故众数为34，②正确；
把数据按从小到大的顺序排列，第五个和第六个数据分别为27和32，该组数据共有10个，由是整数，
故第50百分位数应该是第五个和第六个数据的平均数，即，而不是27，故③错误；
运用平均数公式可得平均数为，故④正确.
故答案为：③.
8．如图在长方体中，，，点为的中点，点为的中点.则 .
【答案】
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可求得结果.
【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，
.
故答案为：.
9．四棱锥中，，，则这个四棱锥的高是 .
【答案】
【分析】计算出点到平面的距离即可，借助空间向量中点到面的距离公式即可得.
【详解】设平面的法向量为，则有，即，
令，则，则，
则.
故答案为：.
10．已知直线.当在实数范围内变化时，与的交点恒在一个定圆上，则定圆方程是 .
【答案】
【详解】由题意，联立两直线方程，利用代入消元法，消去得，整理后可得，所求定圆方程是.
11．已知圆M：，圆N：直线分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】由题意可知，，，结合P为椭圆上的点，可用P的坐标表示，然后结合椭圆的性质即可求解
【详解】由题意可得，，，，
，
，
为椭圆上的点，
由题意可知，，
，
故答案为8．
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及求椭圆中最值问题，属于知识的简单综合应用．
12．已知双曲线C：，左、右焦点分别为，过点作一直线与双曲线C的右半支交于P、Q两点，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ的内切圆的半径r = ．
【答案】2
【详解】由双曲线的性质知，,因∠F1PQ=90°，故 ,因此 ，从而直角三角形的内切圆半径是,故填2.
点睛：在一个直角三角形中，内切圆的半径，可根据切线长定理得到：，其中分别为直角边和斜边.
二、单选题
13．下列关于概率的说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．任何事件的概率都是在(0，1)之间
C．概率是客观存在的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
【答案】C
【分析】根据频率与概率的定义一一进行判断可得答案.
【详解】解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，
一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间的某个常数上，这个常数就是事件A的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验次数无关，
故选：C.
【点睛】本题主要考查频率与概率的定义，相对简单.
14．已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若共面，那么中至少存在一对向量共线
B．若共面，那么存在一组实数对，使得
C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面
D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面
【答案】B
【分析】根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可.
【详解】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量，因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题；
B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题；
C：设，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题；
D：如下图所示： 若，显然异面，
所以本选项命题是假命题，
故选：B
15．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条B．有且仅有两条
C．有无穷多条D．不存在
【答案】B
【分析】过一点的直线需先考虑直线斜率是否存在，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，由题意求得的符合题意的直线有两条.
【详解】过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，
若直线的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意；
故设直线的斜率为，则直线的方程为，
代入到抛物线得，
因为两点的横坐标之和为3，
所以，解得：，所以，
则这样的直线有且仅有两条.
故选：B
16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】设点，，，根据已知列式化简得出动点的轨迹方程为椭圆，由椭圆的定义得出为椭圆的两焦点，即可根据椭圆的定义得出答案.
【详解】设点，，，
由，得，
点在椭圆上，
，，
则代入，得，
，
，
将代入，得，
得
由，得，
则，
直线与直线斜率之积为，即，得，
则，即，
故动点的轨迹方程为，即，
即动点的轨迹方程为椭圆，
平面内存在两定点，使得为定值，
则为椭圆的两焦点，
则，
故选：A.
三、解答题
17．（1）已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，求；
（2）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，用分别表示“取得的牌面数是10”和“取得的牌的花色是红桃”这两个事件.判断事件是否独立，说明理由.
【答案】（1）；（2）独立，理由见解析
【分析】（1）根据互斥事件以及对立事件的概率计算结合题设，即可求得答案；
（2）分别求出事件的概率，求出事件的概率，根据独立事件的乘法公式验证，即可判断出结论.
【详解】（1）由题意得，
又，，
故
（2）独立，理由如下：
由题意得，
事件即取得的牌是红桃10，故，
则，所以独立.
四、证明题
18．证明圆与圆内切，并求切点坐标以及两个圆的公切线方程.
【答案】证明见解析，；
【分析】根据两圆方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离与半径之差的关系，即可根据两圆位置关系的条件得出答案，由两圆公切线的求法将两圆方程作减得出公切线方程，再将公切线与其中一圆联立即可得出切点坐标.
【详解】将两圆化为标准方程得：
，，
即两圆的圆心坐标分别为与，半径分别为，，
则两圆心距离为，
则，故两圆内切，
两圆方程作减得两圆公切线：，
与圆联立，消去得：，解得，
则，故两圆的切点坐标为.
五、问答题
19．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
根据题意有，
解答，所以，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由条件，得，即，
因为，所以，并且有，所以有，
由得，整理得，
因为，所以有，即，
解得，
所以的取值范围是：
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
六、证明题
20．如图，在三棱锥中，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成的角的大小；
(3)求点到重心的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明平面得到，再证平面；
（2）找出线面角，借助直角三角形及边长求角度大小即可得；
（3）由重心知，左右平方计算即可得.
【详解】（1）为等边三角形，为的中点，
，
又，，且，、平面，
平面，
又平面，所以，
且，，、平面，
平面；
（2）
连接，由（1）知平面，
是直线和平面所成角，
为等边三角形，
，为等腰直角三角形，且，
，
，
，.
直线和平面所成的角的大小等于；
（3）为重心，则有，
故,
，
，
.
21．已知椭圆经过点，其左焦点为.过点的直线交椭圆于、两点，交轴的正半轴于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且与垂直的直线交椭圆于、两点，若四边形的面积为，求直线的方程；
（3）设，，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据题意列出有关、的方程组，解出和的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，则，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出关于的表达式，同理得出关于的表达式，由可得出关于的方程，解出正数的值，即可得出直线的方程；
（3）求出点的坐标，利用向量的坐标运算可得出和的表达式，代入韦达定理计算出的值，由此可证明出结论成立.
【详解】（1）由题意得，解得，因此，椭圆的方程为；
（2）设直线，设点、，
由，消去得，
则，，
，
同理，
四边形的面积为，
整理得，解得或，或，
因为，所以或，
因此，直线的方程为，或.
（3）在直线的方程中，令，得，即点，
，，
，，，同理可得，
.
因此，为定值.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解、利用四边形的面积求直线的方程，同时也考查了利用椭圆中的定值问题，涉及椭圆中向量共线的问题，考查计算能力，属于中等题.