2023-2024学年上海市行知中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市行知中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．若，，且，则 ．
【答案】3
【分析】根据计算得到答案.
【详解】，，，则，解得.
故答案为：.
2．等差数列的前n项和为，若，，则公差 .
【答案】
【分析】根据已知条件列方程来求得公差.
【详解】依题意，即，解得.
故答案为：
3．某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下：83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的分位数为 ．
【答案】93
【分析】由百分位数定义可得答案．
【详解】根据题意，10个数据从小到大依次为83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，
而，
则这10名党员学习成绩的分位数为第8项数据93．
故答案为：93．
4．若圆锥的母线为，高为1，则圆锥的侧面积为 .
【答案】
【分析】由题意求出圆锥的底面半径，代入圆锥的侧面积公式求解即可.
【详解】由题意知,,
所以圆锥的底面半径,
由圆锥的侧面积公式可得,
,
故答案为
【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式;其中根据圆锥的轴截面三角形求出底面半径是求解本题的关键;属于基础题.
5．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是 .
【答案】
【分析】根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
6．数列是正数等比数列，且，则 .
【答案】7
【分析】根据等比中项的概念，得，，再结合完全平方公式求值.
【详解】∵，且，，
得：，又，
所以：.
故答案为：7
7．已知抛物线，则其准线方程为 .
【答案】
【分析】化简标准方程，即可得其准线方程.
【详解】抛物线，化标准方程为，则焦准距
则其准线方程为.
故答案为：.
8．已知，，，则在上的投影为 .
【答案】
【分析】首先求出向量的坐标，然后根据向量投影公式即可求出答案,
【详解】因为，，，
所以，所以
所以在上的投影为.
故答案为：.
9．一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是 .
【答案】
【分析】由题知第一次取出的是黑球，设出事件，求出相应概率，带入条件概率公式即可求得第二次才取出红球的概率.
【详解】由题意知第一次取出的是黑球，设为事件，
第二次取出红球设为事件，
则，则，
所以第二次才取出红球的概率是.
故答案为：
10．已知双曲线的两个焦点分别为、，该双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个公共点为P，，则的大小为 （结果用反三角函数表示）
【答案】
【分析】由题可得双曲线的焦点坐标，利用抛物线的性质可得点的坐标，再由两点间距离公式可以求得点到另一个焦点的距离，在利用余弦定理即得.
【详解】由题意知：抛物线的焦点是，
故双曲线的焦点坐标为和，
又两曲线的一个公共点为，且，
由抛物线的性质可得点的横坐标为，代入抛物线方程可得点的纵坐标为，
不妨设点，由两点间距离公式可得，
在中，由余弦定理可得：
，
所以的大小为，
故答案为：.
11．如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】由在直角梯形中．，
则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，
故，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4
12．定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为 .
【答案】
【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案.
【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点，
集合表示直线上的点，
，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为.
双曲线的渐近线为，不妨取，则，即，
平行线的距离，故或（舍去）.
故答案为：.
【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键.
二、单选题
13．下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）
A．两个点B．三个点
C．一条直线和一个点D．两条相交直线
【答案】D
【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；若点在直线上，则一条直线和一个点不能确定一个平面，可判断C；两条直线能确定一个平面，可判断D.
【详解】解：对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面；
对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，故B不能；
对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故C不能；
对于D，两条相交直线能确定一个平面，故D能.
故选：D.
14．设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件．
故选A．
【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．
15．在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（ ）
A．样本容量
B．图中
C．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等
【答案】C
【分析】由频率分布直方图区间的概率确定样本总容量，由频率和为1求x，根据频率分布直方图估计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项．
【详解】由频率分布直方图可得：，，，，的频率依次为.
对于A：∵成绩落在内的人数为16，则，
解得，故A错误；
对B：由频率可得，解得，故B错误；
对C：由选项B可得：成绩落在的频率为，
估计全体学生该学科成绩的平均分分，故C正确；
对D：设该学科成绩为A等的最低分数为，
∵，，的频率依次为，即，
可知，则，解得，
虽然，但是估计值，有可能出现没有学生考到分的情况（学生成绩均为正整数），
这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等，D错误；
故选：C.
16．设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A．①和②都为真命题B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题D．①和②都为假命题
【答案】C
【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答.
【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，
当时，，
函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，
存在，使得，取不小于的正整数，则有，
即，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，
，于是，
依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，
因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，
判断正确的是①为假命题，②为真命题.
故选：C
【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.
三、解答题
17．如图，直三棱柱中，，，点D是BC的中点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意先计算的面积，然后代入三棱锥体积公式计算即可；（2）由题意可判断直线与所成的角就是异面直线与所成的角，分别计算、，利用余弦定理计算，即可得答案.
【详解】（1）由题意得
所以三棱锥的体积.
即所求三棱锥的体积为.
（2）连接，由题意得，，且，
所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角.
在中，，，，
由余弦定理得，
因为，所以.
因此所求异面直线与所成角的大小为.
18．已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
【答案】（1）an=2n−1.（2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.
解得d=2.
所以an=2n−1.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.
所以.
从而.
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.
19．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）
【答案】（1）33.3米；（2）故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．
【详解】试题分析：（1）根据题意，建立坐标系，可得P的坐标并设出椭圆的方程，将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得l=2a，计算可得答案；
（2）根据题意，设椭圆方程为，将（11，4.5）代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当ab≥99且l=2a，h=b时，，进而分析可得答案．
解：（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），
椭圆方程为．
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，
得，
此时此时
因此隧道的拱宽约为33.3米；
（2）由椭圆方程，
根据题意，将（11，4.5）代入方程可得．
因为
即ab≥99且l=2a，h=b，
所以
当S取最小值时，
有，
得，
此时，h=b≈6.4
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．
点评：本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．
20．已知抛物线：．
(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程；
(2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；
(3)已知点，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M、N（均不与点Р重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的焦点，准线.
(2)20
(3)存在，
【分析】（1）根据抛物线的方程求焦点和准线；
（2）根据题意可得直线AB的方程，联立方程，理由韦达定理结合抛物线的定义分析运算；
（3）设直线MN，联立方程，根据题意可得，结合韦达定理分析运算.
【详解】（1）∵抛物线：，则，且焦点在轴正半轴，
故抛物线的焦点，准线.
（2）由（1）可得：，可得直线，
设，
联立方程，消去y得，
可得，
故.
（3）存在，理由如下：
设直线，
联立方程，消去x得，
则，
可得，
若以线段MN为直径的圆恒过点P，则，
可得

，
可得或，
若，则，可得直线，
过定点，与点重合，不合题意；
若，则，此时，
可得直线，过定点；
综上所述：直线过定点.
【点睛】方法定睛：存在性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
21．已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B．
(1)当时，求到 l 的距离；
(2)若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴；
(3)设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)存在，，.
【分析】（1）由题可得焦点坐标，可得直线方程，然后利用点到直线的距离即得；
（2）求得两渐近线方程，联立方程可得，进而即得；
（3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，联立直线与椭圆方程利用韦达定理，结合条件可得AB的中点，再由，则，求解即可．
【详解】（1）由双曲线Γ：的左焦点，右焦点，
当时， ，
∴，
∴直线，
故到l的距离；
（2）由双曲线Γ：得两渐近线的方程为，
∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，
∴，
由得交点C的横坐标为，
由得交点D的横坐标为，
∴，当时取等号，
所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴；
（3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
设，
由，消去y得，
∴且，
解得且，
，
AB的中点，
所以AB的垂直平分线方程为，
令，则，
又，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，又，
故，点，
即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时．