2023-2024学年四川省成都市第七中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市第七中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线的方向向量得到直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
又因为，所以，
故选：C.
2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为（ ）
A．50B．80C．100D．200
【答案】C
【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.
【详解】由题意样本容量为.
故选：C.
3．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长.
【详解】由圆，
得圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为.
故选：D.
4．设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．12B．24C．D．
【答案】B
【分析】利用条件及双曲线的定义求出，进而可得为直角三角形，然后直接求面积即可.
【详解】由双曲线得，
又，且，
得到，
所以，
即为直角三角形，
所以.
故选：B.
5．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）

A．B．C．4D．2
【答案】C
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
6．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由并联和串联电路的性质先求出从A到B电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.
【详解】上半部分电路畅通的概率为：，
下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，
畅通的概率为：.
故选:A．
7．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.
【详解】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.

故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.
二、多选题
9．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．，，，的平均数等于，，…，的平均数
B．，，，的中位数不等于，，…，的中位数
C．，，，的标准差不小于，，…，的标准差
D．，，，的极差不大于，，…，的极差
【答案】BD
【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可.
【详解】对于A，令样本数据为，
则的平均数为2，而的平均数为3，两者不相等，A错误；
对于B，不妨令，，…，从小到大排列，
所以的中位数等于的中位数等于，B正确；
对于C，令样本数据为，
可知的平均数是5，的平均数是5 ，
所以的方差，
的方差，
所以，C错误；
对于D，不妨令，，…，从小到大排列，则，
，D正确.
故选：BD.
10．如图所示，正方体中，分别在上，且，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．与异面D．
【答案】BD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系.
【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为3，则
与不垂直，故A错误；
，故B正确；
，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点．则（ ）
A．抛物线的方程为B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线的方程，可判定A正确；设，得出和的方程，联立方程组，结合，得到是方程的两个不等式的实数根，再由韦达定理和，可判定D正确；由，得出直线，结合直线的点斜式的形式，可判定B不正确，再由圆锥曲线的弦长公式，结合二次函数的性质，可判定C正确.
【详解】由抛物线，可得焦点坐标，准线方程为，
因为抛物线上存在一点到其焦点的距离为，
由抛物线的定义可得，可得，
所以抛物线的方程为，所以A正确；
设，显然直线的斜率存在且不为0，设斜率为，
可得的方程为，
联立方程组，整理得，
因为是抛物线的切线，所以，即，
且点的纵坐标为，代入抛物线方程，可得横坐标为，即，
设直线的斜率存在且不为0，设斜率为，
同理可得：，且，
所以是方程的两个不等式的实数根，所以，
因为，
所以，所以D正确；
由，且，可得，
则直线的方程为，即，
又由，可得，
所以，即，
所以直线一定过定点，该点不是抛物线的焦点，所以B不正确.
由直线的斜率不为0，设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，所以，
则
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，所以C正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线有关问题的方法与策略：
1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.
12．已知椭圆：：的左、右焦点分别为、，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的离心率是
C．的最小值为D．的值为
【答案】AC
【分析】对于A：利用椭圆与抛物线的对称性可得点坐标，代入抛物线方程，进而可判断；对于B：将点坐标代入椭圆方程即可判断；对于C：利用椭圆定义以及基本不等式计算可判断；对于D：利用角平分线的性质结合比例的性质即可计算.
【详解】对于A：椭圆：的左、右焦点分别为、，右顶点为A，
则，
，
因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，
由椭圆与抛物线的对称性可得B，C两点关于轴对称，设，
因为四边形是菱形，所以中点是的中点，
所以，即，
所以，
则，所以，A正确；
对于B：由选项A得，代入椭圆方程可得，
化简得，进而可得，B错误；
对于C：由选项B可得，则，
所以，则，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，C正确；
对于D：连接和，如图：
因为是的内心，则为的平分线，
由角平分线定理可得，同理，
所以，
所以，
即，D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ．
【答案】或16
【分析】可先通过两直线平行求出参数，接着将两直线的变量系数化为一致，再利用距离公式求解即可.
【详解】因为，所以，解得，
则：，可化直线为，
所以与的距离为，解得或
则或．
14．已知为圆C：上任意一点，则的取值范围为
【答案】
【分析】求的取值范围表示圆上的点与点连线的斜率的取值范围，画出图形，可知当直线与圆相切时斜率取到最值，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由题意，表示圆上的点与圆外的点连线的斜率.
把圆化为标准式，
圆心，半径.
设过点的直线方程为，即.
当直线与圆相切时，斜率取得最值.
由，解得或.
所以的取值范围为.
故答案为：.
15．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得个的概率是 ．
【答案】
【分析】分成两种情况，恰好两门科目，三门科目，根据独立事件的乘法公式计算.
【详解】考生至少拿到两个的事件为，三门科目为事件，恰好两门科目为事件，由题意，，且互斥.
三门科目，
恰好两门科目， .
根据互斥事件的加法公式，.
故答案为：
16．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.
【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.
【点睛】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.
四、问答题
17．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】(1)x2+y2﹣2x﹣3＝0；
(2)y＝2或4x﹣3y+6＝0．
【分析】（1）由圆心在直线上，设圆心为（1，t），再由经过，两点可得1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，求得圆心和半径即可得解；
（2）根据题意切线的斜率存在可设直线方程为y＝kx+2，再利用直线和圆相切可得
d＝＝2，求得即可得解.
【详解】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（1，t），
则有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，
解可得t＝0，
即圆心的坐标为（1，0），
圆的半径r＝＝2，
则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；
（2）根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，
过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k，
则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；
则有d＝＝2，解可得k＝0或；
故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0．
五、解答题
18．在平面直角坐标系中，有两个圆：，和圆：，一动圆与圆内切，与圆外切．动圆圆心的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点．
(1)求曲线的方程；
(2)求实数k的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据两圆位置关系列式可得动圆圆心的轨迹为双曲线的一只，根据双曲线的定义可得轨迹方程；
（2）将双曲线方程和直线方程联立，根据方程有两不等负根列不等式组求解即可.
【详解】（1）圆：和圆：的圆心分别为，半径均为，
令动圆的半径为，显然，
当动圆Р与圆内切，与圆外切时，，
即，
因此动圆圆心的轨迹是以，为焦点，且实轴长为的双曲线的左支，
故曲线的方程为；
（2）直线与曲线交于两个不同的点，
联立，消去得，该方程有两不等负根，
所以，
解得.
六、问答题
19．2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图
(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据频率直方图按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案；
（2）确定第 组中的人数，从而求得5名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】（1）设中位数为x,平均数为,
因为前三个矩形面积为，
故，解得；
.
（2）人，人,即第五组有30人，第六组有20人,
人，人，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取两人,
设从抽取的5人中抽取2人，设五组的三人为 ，第六组的两人为 ,
则共有抽法为，共10种，
其中恰有一人得分为90及以上的抽法有6种，
故90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．
七、证明题
20．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，．
(1)证明：平面平面；
(2)若与所成角为，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，为的中点，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，再由平面的一个法向量为，由求解.
【详解】（1）证明：
∵，是的中点，∴，
又，，、平面，
∴平面，∵平面，
∴平面平面；
（2）解：∵、、，∴，
以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，
连接，
∵、，∴四边形为平行四边形，
∴，∴是异面直线与所成的角，则，
∴，则、、、，
∴，
设平面的法向量为，又、，
∴，令，则、，
∴，又平面的法向量，
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
∴．
八、解答题
21．已知抛物线C：，点，直线l过点M且与抛物线C交于A，B两点．
(1)若P为抛物线C上的一个动点，当线段MP的长度取最小值时，P点恰好在抛物线C的顶点处，求a的取值范围；
(2)当a为定值时，在x轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称？若存在，指出点N的位置并证明，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设，表示出，然后利用二次函数的性质求解；
（2）设直线的方程为，，假设存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称，联立，利用韦达定理代入计算即可得答案.
【详解】（1）设，则，
于是，
设，对称轴，
又时取最小值，
所以，得，
即a的取值范围是；
（2）设直线的方程为，，
假设存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称，
则，且设，
联立，消去得，
则，
所以，
于是，
整理得，
所以或，
当时，直线的方程为，此时点在轴上任意一点均满足假设，
当时，.
综上：存在异于点M的点，对任意的直线l，都满足直线AN，BN关于x轴对称
22．椭圆的上顶点为P，圆在椭圆E内．
(1)求r的取值范围；
(2)过点作圆C的两条切线，切点为AB，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M．直线AB与y轴交于点S，直线MN与y轴交于点T．求的最大值，并计算出此时圆C的半径r．
【答案】(1)
(2)最大值为，
【分析】（1）设椭圆上任意一点，可得，求出，进而可得r的取值范围；
（2）设，过点的直线的方程为，根据点到直线的距离公式得到，则可得，再联立，求出坐标，设出直线的方程，代入坐标计算，再求解即可》
【详解】（1）不妨设椭圆上任意一点，且
此时半径，
又，当x0=2时取等号.
所以，
所以r的取值范围为；
（2）过点作圆C的两条切线，
当两条切线均存在斜率时，
设
经过点的直线的方程为，
则，整理得，
所以有
又以为直径的圆的方程为
则直线的方程为，
整理得，令得，即，
联立，消去得，
所以，
即，
不妨设直线的方程为，
则，整理得，
所以为方程的两个根，
则，又，
所以，解得，
此时
，
当且仅当，即时取等号，
当两条切线中一条斜率不存在时，，此时,PA即y轴，
此时，，
综上的最大值为，此时.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是通过计算求出相关点的坐标，进而才能求出长度表达式，对于计算的准确性以及计算速度要求高.